научная статья по теме ЗАДАЧА ОБ ИЗНАШИВАНИИ ШТАМПА ПРИ ЕГО СЛУЧАЙНОМ СКОЛЬЖЕНИИ ПО ТОНКОМУ УПРУГОМУ СЛОЮ Математика

Текст научной статьи на тему «ЗАДАЧА ОБ ИЗНАШИВАНИИ ШТАМПА ПРИ ЕГО СЛУЧАЙНОМ СКОЛЬЖЕНИИ ПО ТОНКОМУ УПРУГОМУ СЛОЮ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 77. Вып. 5, 2013

УДК 539.3

© 2013 г. И. А. Солдатенков

ЗАДАЧА ОБ ИЗНАШИВАНИИ ШТАМПА ПРИ ЕГО СЛУЧАЙНОМ СКОЛЬЖЕНИИ ПО ТОНКОМУ УПРУГОМУ СЛОЮ

Рассматривается трехмерная задача об изнашивании штампа, который случайным образом скользит по тонкому упругому слою. С использованием модели деформирования асимптотически тонкого слоя и процедуры усреднения закона изнашивания по случайным направлениям скольжения штампа получено дифференциальное уравнение кинетики изнашивания штампа, аналитическое решение которого строится методом характеристик. Установлено, что характерной особенностью эволюции формы изнашиваемой поверхности штампа является ее эквидистантное смещение в плоскости контакта. Получено выражение для скорости такого смещения.

Как показывают многочисленные исследования [1], эволюция формы изнашиваемой поверхности имеет характерные особенности. Например, процесс изнашивания пары трения может сопровождаться ее приработкой, в результате чего изношенная поверхность принимает определенную форму. Это происходит, в частности, при взаимодействии вращающегося кольцевого штампа с упругим полупространством [2, 3] или в случае изнашивания неоднородно упрочненных поверхностей [4].

Другая характерная особенность эволюции формы изнашиваемой поверхности — ее смещение в направлении скольжения контртела. Такое смещение анализировалось применительно к волнистой поверхности абсолютно жесткого тела, изнашиваемого скользящим массивным штампом, который связан вязкоупругим элементом Фойгта с направляющей скольжения [5]. Было установлено, что волнистость поверхности смещается в направлении скольжения штампа и, в зависимости от вязкоупругих и инерционных характеристик системы, может уменьшаться или увеличиваться по амплитуде. В рамках аналогичной постановки задачи исследовалась устойчивость процесса изнашивания волнистой поверхности [6]. Смещение волнистой формы штампа происходит и при его изнашивании об упругую полосу, однако в этом случае знак и величина скорости смещения зависят от длины волны, т.е. наблюдается дисперсия волн [7].

Процесс изнашивания элементов пары трения при их случайном взаимодействии может быть описан с помощью процедуры усреднения закона изнашивания по случайным параметрам взаимодействия. Такой подход использовался для расчета эволюции форм изнашиваемых поверхностей подшипника скольжения, сферического шарнира, железнодорожного рельса [8].

Ниже исследуются особенности эволюции формы поверхности штампа, который случайным образом скользит по тонкому упругому слою и изнашивается.

1. Постановка задачи. Рассмотрим упругий слой толщины к, нижняя граница которого сцеплена с абсолютно жестким основанием (подложкой), а верхняя граница взаимодействует с абсолютно жестким контртелом (штампом), имеющим цилиндрическую боковую поверхность (фиг. 1, а). Под действием силы Рштамп прижимается своим торцом к слою и скользит по нему, при этом образующая боковой поверхности штампа располагается перпендикулярно поверхности подложки и область Э контакта совпадает с проекцией штампа на поверхность подложки, оставаясь неизменной. Отметим, что подобный характер взаимодействия штампа со слоем предполагает наличие соответствующей системы моментов, приложенных к штампу.

Введем систему координат Охуг, плоскость Оху которой совместим с поверхностью подложки, а ось г проведем через некоторую фиксированную точку £ штампа (фиг. 1, а). Относительно такой системы координат штамп может перемещаться только вдоль оси г.

Слой

А

Подложка

Штамп ч

\

Фиг. 1

Обозначим через 5 координату точки по оси z и определим форму g(x, у, 0 штампа как расстояние точек поверхности контакта штампа до плоскости z = 5(0 (фиг. 1, б).

Скольжение штампа по слою носит случайный характер. А именно, в каждый момент времени t штамп поступательно перемещается (скользит) с постоянной по величине скоростью V в произвольном направлении, которое задается углом а между вектором скорости штампа и осью х. Величина а является случайной и описывается функцией плотности вероятности р(а, 0.

При скольжении штампа по слою между ними возникает трение, подчиняющееся закону Кулона

4т = РР + То

(1.1)

где qT — касательное контактное напряжение по направлению скольжения штампа, р = = — а^ = Л — контактное давление, ц — коэффициент трения, т0 — адгезионная (молекулярная) составляющая трения. Кроме того, в результате трения о слой штамп изнашивается в соответствии с линейным законом

д Ж/ д / = ккр (1.2)

где дW/дt — скорость линейного износа Ж, кК — коэффициент износостойкости материала штампа.

Параметры ц, т0, кК в равенствах (1.1) и (1.2) могут зависеть от угла а направления скольжения штампа, т.е. допускается анизотропия трибологических свойств пары трения штамп — слой.

Ставится задача определить, как меняется форма g(х, у, 0 штампа в процессе его изнашивания при оговоренных выше условиях.

2. Основные уравнения. В произвольный момент времени t связь формы g(x, у, 0 штампа с упругими перемещениями ^(х, у, 0 верхней границы слоя вдоль оси z определяется условием контакта (фиг. 1, б)

-V(х, у, 0 = у, 0 + 5(^, 5({) = к - $(^, х, у е Э (2.1)

Считая слой асимптотически тонким [9], получим соотношения, описывающие его упругое деформирование. Прежде всего, пользуясь равенством (5.7) из Приложения, запишем соотношение между контактным давлением р и граничным перемещением ^

при условии, что штамп скользит в направлении, определяемом углом а (для краткости — "в направлении а"; w'a — производная по направлению а):

Bhp(x, y, t; а) = - w(x, y, t) - Х(а)<(x, y, t) =

(2.2)

= - w(x, y, t) - Х(а) [w'x(x, y, t) cos а + w'y(x, y, t) sin а]

Здесь

B = 1 - 2 v , Х(а) = 1 - 4 V h ц(а) (2.3)

2G( 1 - v) V 7 2(1 - 2v) HV 7

G — модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона, использована известная формула для производной по направлению [10] и приняты обозначения w'x = dw/dx, w'y = dw/dy. Кроме того, в дальнейшем площадь области Э контакта будет обозначаться через Sr и будут использоваться средние по области Э значения контактного давления, функции, описывающей форму штампа, и граничного перемещения:

p(t) = rn, {t)l = 1 rr{^(x'y,»Xdxdy (2.4)

Sr I w(t)l S3JJ I w(x, y, t)l

Э

Условие равновесия штампа вдоль оси z P (t) = Лp (x, y, t) dxdy

Э

при помощи выражений (2.2) и (2.4) можно свести к равенству

-Bhp( t) = w( t) + Ца) J/Sr (2.5)

в котором

J = j"j"[ w'x(x, y, t) cos а + w'y (x, y, t) sin а] dxdy = £ w (x, y, t) sin [y(x, y) - а] dl (2.6)

Э C

C — граница области Э, у(х, у) — угол наклона к оси х касательной к границе С в точке x, у е С, dl — элемент границы С. Последнее звено в цепочке равенств (2.6) получается на основе формулы Грина [10] в предположении, что функция w(x, y, t) и граница С гладкие.

Обозначим через ю среднее значение величины w(x, y, t)sin[y(x, y) — а] на границе С и представим последний интеграл в формуле (2.6) с помощью теоремы о среднем в виде произведения ю l, где l — длина границы С. Используя это представление и учитывая определение (2.3) величины X, можно преобразовать последнее слагаемое в правой части равенства (2.5) следующим образом:

Х(а) J/Sr = Х(а)ю/Sr = Х(а)ю/d ~юh/d (2.7)

где d = Sr/l — характерный размер области Э.

В дальнейшем будет рассматриваться случай бесконечно протяженного штампа, когда h/d ^ 0, так что, в силу соотношений (2.7), последнее слагаемое в условии равновесия (2.5) исчезает, и условие принимает более простой вид

-Bhp( t) = w( t) (2.8)

Условие контакта (2.1) позволяет исключить из равенств (2.2), (2.8) граничное перемещение w и в результате получить следующие деформационные соотношения:

Bhp(x, y, t; а) = g(x, y, t) + ^(a)[gX(x, y, t) cos а + gy(x, y, t) sin а] + 8( t) (2.9)

Bhp( t) = g( t) + 8( t) (2.10)

3. Уравнение кинетики изнашивания. Согласно закону изнашивания (1.2), при скольжении штампа в направлении а он изнашивается в каждой своей точке х, у со скоростью

д W

------ (x, y, t; а) = kw(а)р(x, y, t; а) (3.1)

д t

Следуя описанному ранее подходу [8], усредним левую и правую части равенства (3.1) по всевозможным значениям а е [0, 2п), используя соответствующую функцию р(а, t) плотности вероятности, и поменяем в левой части полученного равенства порядок операций усреднения и дифференцирования по t [11]. В результате, обозначая через W(x, y, t) средний по а износ штампа, получим уравнение

2п

^^ t] = |К(а)р(x,y, t; а)р(а, t)йа (3.2)

о

В дальнейшем будем подразумевать под g(x, y, t) усредненную по а функцию, описывающую форму штампа, связанную с износом w(x, y, t) равенством (фиг. 1, б)

W(x, y, t) = go(x, y) - g(x, y, t) (3.3)

где g0(x, у) — форма неизношенного штампа.

Подставляя в левую и правую части уравнения (3.2) выражение (3.3) для износа и выражение (2.9) для контактного давления, соответственно, после преобразований получим уравнение кинетики изнашивания штампа

р(t)g(x, y, t) + bi(t)gx(x, y, t) + b2(t)gy(x, y, t) + g(x, y, t) + ((t) = 0 (3.4)

с начальным условием

g(x, y, 0) = go(x, y) (3.5)

Здесь

2n

Bh

Cw(t Y

0

2 (3.6)

í ]

bí11(t) = T- íkw(аЖа)1cos fp^t)йа U cw( t)¡0 {sin а)

в(t) = "Г:-, Cw(t) = íк„(а)р(а, t)йа, c„ (t) J

Точкой над символом функции обозначается частная производная по времени. Величина ск представляет собой усредненный по а коэффициент износостойкости материала штампа.

Интегрирование левой и правой частей уравнения (3.2) по области Э при учете равенств (2.4) и (3.3) приводит к соотношению g (?) = —ск(?)p (?), которое можно представить в виде t

¿(I) = - ^(т)р(т)dт + go, go = 0) (3.7)

0

Подстановка выражения (3.7) в равенство (2.10) дает соотношение

t

5(0 = Bhp(I) + Jcw(т)р(т)йт -^ (3.8)

"" w

0

связывающее параметр 8 внедрения штампа со средним по области Э контактным давлением p.

4. Решение уравнения кинетики изнашивания. Решение линейного дифференциального уравнения (3.4) строится методом характеристик [12]. При начальных условиях (3.5) оно имеет вид

g(x, у, () = e-r(Х(х, Г), У(у, ()) - {) (4.1)

где

X(x, t) = x - jr1(x)dT, Y(y, t) = y - jT2(t)dT ; Y«(t) = b^), « =1, 2 (4.2)

00 t t

r ( t) = iw) = Ы^dT

0 0 (4.3)

= e^j^Лт = ]cw(T)p(T

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»