ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2012, № 6, с. 29-37
УПРАВЛЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ И В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
УДК 517.978.4
ЗАДАЧА ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ГРУППЫ СКООРДИНИРОВАННЫХ УБЕГАЮЩИХ В ЛИНЕЙНЫХ РЕКУРРЕНТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ1 © 2012 г. Н. Н. Петров, Н. А. Соловьева
Ижевск, Удмуртский государственный ун-т Поступила в редакцию 13.09.11 г.
Для линейной нестационарной задачи преследования группой преследователей группы убегающих при условии, что фундаментальная матрица однородной системы является рекуррен-той функцией, а все убегающие используют одно и то же управление, получены достаточные условия поимки хотя бы одного убегающего.
Введение. В теории дифференциальных игр хорошо известна задача преследования группой преследователей и задача уклонения от группы преследователей одного убегающего [1—9]. Естественным обобщением указанных задач является ситуация конфликтного взаимодействия, когда в игре участвуют две группы — преследователей и убегающих. Целью группы преследователей является поимка заданного числа убегающих, цель группы убегающих — противоположна [7—15]. В [14] получены достаточные условия поимки хотя бы одного убегающего в стационарной дифференциальной игре со многими преследователями и убегающими при условии, что убегающие используют одно и то же управление. Случай простого преследования рассматривался в [15].
В данной работе для линейной нестационарной задачи группового преследования при некоторых естественных предположениях получены достаточные условия поимки хотя бы одного убегающего в предположении, что убегающие используют одно и то же управление и фундаментальная матрица однородной системы является рекуррентой. Результаты примыкают к исследованиям [4, 5, 16, 17].
1. Постановка задачи. В пространстве Rk(k > 2) рассматривается дифференциальная игра n + m лиц: n преследователей Р1, Pn и m убегающих Е1, ..., Em. Закон движения каждого из преследователей Pi имеет вид
X = A(t)Xi + u, u e V. (1.1)
Закон движения каждого из убегающих Ej имеет вид
yj = A(t)yj + v, v e V. (1.2)
Здесь и далее x,yj,u,v e Rk, i e I0 = {1,..., n}, j e {1,..., m}, A(t) — непрерывная на [t0,да) квадратная матрица порядка k, V — строго выпуклый компакт Rk с гладкой границей. При t = t0 заданы начальные условия
X (t о) = x0, yj (t о) = y0, (L3)
причем x0 Ф y 0 для всех i, j.
Вместо систем (1.1)—(1.3) рассмотрим систему с начальными условиями
Ц = A(t)Zij + Ui - v, Ui, v e V, Zij(to) = 4 = x0 - y0. (1.4)
Отметим, что ц Ф 0.
Определение 1. Будем говорить, что задана квазистратегия 'j преследователя P, если определено отображение ' (t, z0,vt(•)), ставящее в соответствие начальному состоянию z0 =
1 Работа выполнена при поддержке программы Президиума РАН "Математическая теория управления".
= (г?!,..., г°т), моменту Iи произвольной предыстории управления vt(•) убегающего Еизмеримую функцию щ (() = <и ((, г0, V, (•)) со значениями в V.
При этом предполагается, что должно быть выполнено условие "физической осуществимости", т.е. если V1, V2 — два допустимых управления убегающего Е, причем V!(,) = V 2(() для почти всех (, то соответствующие им при отображении ^((, г(•)) функции и1, и2 также равны почти всюду при ( > 0. Отметим, что действия убегающих можно трактовать следующим образом: имеется центр, который для всех убегающих Е) выбирает одно и то же управление V. Обозначим данную игру через Г.
Определение 2. В игре Г происходит поимка, если существует момент Т0 = Т(г0), квазистратегии преследователей Рь ..., Рп, такие, что для любой измеримой функции у(-), v(t) е V, ( е [0, Т0], найдутся номера д е {1, ..., п}, р е {1, ..., т} и момент т < Т0, такие, что гдр(т) = 0.
Определение
3 [18]. Функция / : Я ^ Як называется рекуррентной, если для любого
е > 0 существует Т(е) > 0, такое, что для любых (, а е Я1 существует т(() е [а, а + Т(е) ], для которых выполнено неравенство
\/(( + т(()) - /(() <8.
Если можно выбрать т(() не зависящим от t для всех I, то функция /(() называется почти периодической.
Определени 4. Функция / : Я1 ^ Як называется рекуррентной на [(0, да), если существует рекуррентная функция В : Я1 ^ Як, такая, что /(() = В(() для всех ( е [(0,да).
2. Вспомогательные результаты. Обозначим через 1мХ, НХ, соХ, дХ соответственно внутренность, относительную внутренность, выпуклую оболочку, границу множества X, через Ф(() — фундаментальную матрицу системы
ю = А(()ю,
причем Ф((0) совпадает с единичной матрицей.
Лемма 1 [19]. Пусть 0 е 1п1со{Ь°,.--, Ь°}, Ь1 Ф 0. Тогда существует е> 0, такое, что выполнены следующие условия:
1) 0 £ ^2е(Ь(°) для всех /, где Бг(а) = {г : ||г - а|| - г} ■ Здесь и в дальнейшем рассматривается евклидова норма в Як;
2) для любых Ь е АеЬ0), ..., Ьв е АЕ(Ь°) верно 0 е 1и1со(Ь1, ..., Ь}
Следствие 1. Пусть выполнено условие 1п1хо{Ь10,..., Ь0} п со{с0,..., е°т} Ф 0. Тогда существует е > 0, такое, что Ысо^, ..., Ьп} псо{с1, ..., Ст} Ф 0,
для любых Ьь ..., Ьп, С1,..., Ст, таких, что Ь е АЕ(Ь;°), с} е Б^С). Определим функции
Х(у, к) = 8ир{Х : Х > 0, V - ХН е V} при к Ф 0,
(
0((, Ь0) = | ХМ4Ф(э)Ьг°) ёэ.
Определение 5 [20]. Векторы а1, а2, ., а, образуют положительный базис Як, если для любого х е Як существуют положительные вещественные числа а1,а2, ..., а,, такие, что
х = a1a1 + a 2a2 +... + а sas.
Лемма 2 [8]. Пусть b1, ..., bs е Rk, V — строго выпуклый компакт Rk с гладкой границей. Следующие утверждения равносильны:
1) 5 = minmax X(v, bi) > 0;
v e V i
2) векторы bb..., bs образуют положительный базис Rk;
3) 0 e Intcojb^,b2, ..., bs}.
Лемма 3. Пусть выполнены следующие условия:
1) матрица Ф(0 рекуррентна на [t0, да), а ее первая производная равномерно ограничена на [t0, да);
2) 0 е Intcojbj3, ..., b0
Тогда существует T > t0, такое, что для любого допустимого управления v() найдется ае I0, такое, что G(T, b^) > 1.
Доказательство. Определим два множества
Q = {t > t0 : Ф(t)bi0 е D2s(b°) для всех /},
Q = {q е I0 : Ф(^0 е D^0) для всех t > t0},
где е > 0 выбрано так, чтобы по отношению к набору [Ь°,..., Ь„} была справедлива лемма 1. Возможны два случая
1. Q = /0. Тогда = да. Здесь ц(О) — мера Лебега множества О с Я\
2. Q Ф 10. Будем считать, что Q = 0, т.е. значение каждой из функций Ф(?)Ь;- в некоторый мо-
мент не принадлежит шару В2е(Ь° ). Докажем, что при этом ц(Ц) = да.
Так как функции Ф(0Ь;° являются рекуррентными, то по б существует Т(е) > 0, такое, что для любого] существует ту(?0) е + Т(б)у; t0 + Т(б)у + Т(б)], для которых выполнено неравенство
||ф(?0 +ТJ(t0))b° - O(i0)b;°| <6
для всех I. Пусть
Оу = {t: I е [т у (^),ху+1(t0)),Ф(t0 + Щ е £2е(Ь;0) для всех г}, ^(Д, Б2) = тГ - ¿2||.
е ¿2 е В2
По условию функции Ф(0Ь;° равномерно ограничены, т.е. найдется такое положительное число М, что
||ф(ОЬ0| < M
max Ф(г)Ьг- И < M для всех i.
t e[io,»)
Из теоремы о среднем [21] имеем, что для любых t2 > t1 > t0 |o(t2)bi° - O(t1)bi0) < sup ||Ф(t)bi0|| • |t2 - h\ < M|t2 - h\.
t e [ti,t2]
Поэтому если при некотором Ь имеет место ||ф(^)Ь;° - Ф(^)Ь;°)|| > Ь, то справедливо неравенство
t2 > t, + —. Так как
2 1 M
dist(ÖDE(biVAE(bi0)) = S Ф(t0 + тj(to))bi e IntDE(bi°)
для всех i, j, то
Tj(t0), т j(t0) + £
M.
Q.j для всехj. Следовательно,
|Q) > |
= Ю.
( от
U а,
V J = о
В силу лемм 1 и 2 для любого
b = фъЬъ ..., bs) 6 D = D^b?) х D^b") х • • -D^0) справедливо неравенство p(b) = min max X(v, bt) > 0.
v e V i e I
Докажем, что функция р непрерывна на Б, т.е. для любого е > 0 существует 5 > 0, такое, что для всех ё, удовлетворяющих неравенству | Ь - Ь* <Ъ, выполнено |р(Ь) - р(Ь*)| < 6. Рассмотрим разность
min max X(v, b) - min max X(v, b*)
eV i e I0 v eV i e I0
|p(b)-p(b*)| =
v eV i e I0
max A,(v, b) - max X(v, b*)
< max
v e V
< max max | X(v, bt) - X(v, b*)|.
v e V i e Iо
По лемме 1.3.13 из [7] функция X непрерывна, поэтому для любого е > 0 существует 5 > 0, такое,
что для всех b, удовлетворяющих неравенству |b - b*| < 5, выполнено |X(v,b) - X(v,b*)| < s. Следовательно, функция p непрерывна на D. Так как D — компакт, то получим
r = min min max X(v, b) = min p(b) > 0.
b e D v eV i e I0 b e D
Таким образом, величина
5 = min min max X(v,Q>(t)bf) > min min max X(v, b) = r > 0.
t eQ v e V i e 10 b e D v eV i e I0
Далее
max
i e I (
G(t, b°) = max fX(v(s), Ф^0) ds > max f X(v(s), Ф^0) ds
i e I0 i e I0 j
t0 [t0,t] n Q
>1 [ У X(v(s)^(s)b;°)ds >1 [ 5ds = -^([t0,t] nO).
n J n J n
>
[t0,t] пй i e h [t0,t] n О
Отметим, что lim [t0, t] nQ) = да, так как p,(Q) = да. Тогда для момента T, определяемого из условия
5
|i([t0,T] nO) > 1,
и некоторого а е I0 выполнено G(T, ba) > 1. Лемма доказана.
3. Случай одного убегающего. Пусть m = 1, индекс единица в этом разделе опустим. Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:
1) матрица Ф(0 рекуррентна на [t 0, да), а ее первая производная равномерно ограничена на [t 0, да);
2) 0 е Intco{zi°, ..., z°n}.
Тогда в игре Г происходит поимка.
Доказательство. Определим число T (z0) следующим образом: T(z0) = min\t > 0 : inf minmaxGt(t,bi) > 1
[ v() b E D i E I0
В силу леммы 3 T(z0) < да. По формуле Коши решение задачи (1.4) при любых допустимых управлениях имеет вид
t
n
( ' ^ ъ (?) = ф(О +1 Ф & - ^
V '» У
для всех ? > ?0.
Пусть ^т), ?0 < т < Г0 = Т(г ) — произвольное допустимое управление убегающего Е и ^ > ?0 — наименьший корень функции вида
) = 1 - тах |йэ.
г^) = Ф(?1)г°
/С I0
Отметим, что, в силу определения Г0 и леммы 3, момент существует и < Т0. Задаем управление преследователей Р1 следующим образом:
щ($) = v(t) -М^(О,Ф(Ог0)Ф(Ог0 для всех ? е [^Т)].
Считаем, что Х^^), Ф(0г;°) = 0 для всех ? е [?1, Т0]. Тогда, с учетом формулы Коши,
( ^
1 - |*К(у(&), Ф(э)^0) йэ
V ?0 у
В силу определения для некоторого а е I выражение в скобках обращается в ноль, поэтому I а(?1) = 0. Теорема доказана.
Так как всякая почти периодическая функция является рекуррентной, то справедливо следующее утверждение.
Следствие 2 [16]. Пусть выполнены следующие условия:
1) матрица Ф(?) почти периодическая на [? 0, да), а ее первая производная равномерно ограничена на [?0,да);
2) 0 е 1п1со{г0,.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.