ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 4, с. 551-555
= ТЕПЛОМАССООБМЕН И ФИЗИЧЕСКАЯ ГАЗОДИНАМИКА
УДК 536.2(075)
ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ НА ОСНОВЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ © 2015 г. И. В. Кудинов, В. А. Кудинов
Самарский государственный технический университет E-mail: totig@yandex.ru Поступила в редакцию 02.04.2014 г.
C использованием гиперболического уравнения теплопроводности, найденного из условия релаксации теплового потока и градиента температуры в формуле закона Фурье, получено точное аналитическое решение краевой задачи динамической термоупругости для бесконечной пластины с симметричными граничными условиями первого рода. Показано, что в каждой точке пространства напряжения изменяются скачкообразно во времени с периодической сменой их знака. При незатухающем характере процесс изменения напряжений происходит по типу закрепленной с двух сторон струны, имеющей изломы (скачки напряжений), перемещающиеся по пространственной переменной во времени.
DOI: 10.7868/S0040364415030102
ВВЕДЕНИЕ
При высокой скорости изменения температуры температурные напряжения в любой конкретный момент времени зависят от предыстории распределения напряжений в теле. Время в данном случае, в отличие от квазистатических задач, приобретает смысл независимой переменной, в связи с чем в уравнениях термоупругости появляются инерционные члены, учитывающие изменение напряжений во времени. При этом различают связанные и несвязанные задачи динамической термоупругости. В случае связанной задачи во взаимосвязанном уравнении теплопроводности учитывается зависящий от деформации член механической связи. В несвязанных задачах этой зависимостью пренебрегается, т.е. не учитывается изменение температуры от деформации тела, а учитываются лишь инерционные члены в уравнениях равновесия, используемых для вывода уравнений динамической термоупругости. В работе рассмотрена несвязанная задача динамической термоупругости.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
При выводе одномерного уравнения динамической термоупругости используется уравнение равновесия и соотношение между напряжениями и деформациями [1—8]
дх
-.2 д u
= рд7'
Sх = (1 +;')(lw 2V)ах + а(T - T0). (2) (1 - v) E (1 - v)
Дифференцируя уравнение (1) по переменной x,
с учетом соотношения s х = dujdx получаем
д2 а х
д 2е х
дх2 Р dt2
= 0.
(3)
(1)
Подставляя (2) в (3), находим д2дх(х, г) _ 1 д2стх(х, г) _ 1 + V д2Т(х, t)
^ 7 " (4)
(г > 0,0 < х <5),
где с2 = Е(1 - у)/[(1 + у)(1 - 2у)р] — скорость распространения упругой волны, 8 — толщина пластины, стх — нормальное напряжение, х — координата, Т — температура, Т0 — температура в ненапряженном состоянии, I — время, Е — модуль упругости, V — коэффициент Пуассона; а — коэффициент линейного расширения; р — плотность, и — перемещение, б х = йи/йх — деформация.
Начальные и граничные условия для уравнения (4) при отсутствии внешней механической нагрузки для бесконечной пластины имеют вид
ах(х, 0) = 0, дах(х,0)/дг = 0, ах(0,г) = 0, ах (5, г) = 0.
Распределение температуры Т (х, г) в задаче (4), (5) предполагается известным из решения соответствующей задачи теплопроводности. В данном случае в качестве Т (х, г) было использовано аналитическое решение гиперболического уравнения теплопроводности, полученного на основе учета ре-
(5)
552
И. В. КУДИНОВ, В. А. КУДИНОВ
лаксации (инерционности) теплового потока и градиента температуры в формуле закона Фурье [9, 10].
Для приведения задачи (4), (5) к безразмерному виду введем следующие безразмерные пере-
менные:
а =
Fo =
ct
а x (1 - 2v) ^ _ aE (To - TCT)' 8
^ _ X Q _ T TC
(6)
T0 TCT
где а — безразмерное напряжение, Fo — число го-мохронности (безразмерное время), £, — безразмерная координата, © — относительная избыточная температура, Т0 — начальная температура, Тст — температура пластины при х = 0 и х = 5 (Т0 > Тст).
Задача (1)—(5) с учетом (6) приводится к виду
д2ст ( Бо) д2ст ( Бо) _д 20 ( Бо) д2,2 дБо2 дБо2
(Бо > 0,0 1,0 <0< 1), а &0) = 0, да (£,0)/5Бо = 0, а (0, Бо) = 0, а (1, Бо) = 0.
Математическая постановка задачи теплопроводности в случае, когда релаксируются тепловой поток и градиент температуры в формуле закона Фурье, имеет вид [9, 10]
Бот) + Бо д20£, Бот) =
(7)
(8) (9)
(10) (11)
dFoT
dFoT
д26>(Ъ, FOt) + Fo д30(Ъ, FOT)
(12)
(13)
дЪ, дЪ, dFoT
(FoT > 0,0 < Ъ < 1), 0 (£,0) = 1, 50 (£,0)/5FoT = 0, 0 (0, FoT ) = 0, 0 (1, FoT ) = 0,
где FoT = at/ 52 — число Фурье, Fo,. = ат r/ 52 = = const, тг — коэффициент релаксации, а — коэффициент температуропроводности.
В работах [9, 10] приводится точное аналитическое решение задачи (12), (13), имеющее вид
0 О;, Fo) =
да
= X [[ exp(z№ F°T) + c2k exp(z2k FOt)] x (14)
k=1
x cos
i_r 2 (1 - 2;)
1k'
где Z1k = -vk, Z2k = -VFor , C1k = -AZ2k, C2k = AZ
r = 2k - 1, A = 4B1/[(rn + 2B2B1)(z1k - z2k)], B1 = = sin (rп/2), B2 = cos (rП2).
Для того чтобы решения термоупругой и температурной задач были согласованы во времени, из условия Бот = Бо находим
Бот = аБо/(с5). (15)
Следовательно, в решении (14) при его подстановке в уравнение (7) вместо Бот необходимо использовать соотношение (15).
Подставляя (14) с учетом (15) в (7), получаем
52ст ( Бо) 52ст ( Бо) _
52,2 5Бо2 _
да
_ т2Х(е*ктРо + С2^е^тРо) х (16)
k=1
х cos
■(1 - 2^)
где т = а/(с8), г = 2к - 1.
Решение уравнения (16) с начальными и граничными условиями (8)—(11), следуя методу разделения переменных, принимается в виде
Fo) = X N©9(Fo),
(17)
где N (£) =
cos
k=1
r П(1 - 2^)
(r = 2k - 1; k = 1, да).
Подставляя (17) в (16), находим
X
k=1
2 2 r п cos
Lr п (1 - 2$)
9(FO) +
5 Wo). 5Fo2
x cos
Lr п (1 - 2$)
+ m
(C1kz1k e
ZutmFo
(18)
+ Ckz2keZ2kmFo) cos
L 2
(1 - 2$)
= 0.
Разделив каждый член суммы (18) на N(^), получим
X
k=1
dFo2
d o(Fo) , 2 2 re ч , —^ 2 + r n 9(Fo) +
+
m2 ((eZ1kmFo + C2kZ 2keZ2kmFo)
(19)
= 0.
Так как каждый член бесконечной суммы (19) представляет обыкновенное дифференциальное уравнение, то для ее выполнения достаточно потребовать решения любого из этих уравнений независимо от величины к, т.е.
d 9(Fo) dFo2
+ ^9(Fo) + n(Fo) = 0,
(20)
где D = r V, n(Fo) = m2 (ClkztkeZ1kmFo + C2kZ2*eZ2kmFo). Интегрируя уравнение (20), находим
да
да
да
Рис. 1. Распределение температуры в пластине при симметричных граничных условиях первого рода (расчет по (14)): т = 0.001, Бог = 0.001, п = 1000 (п — число членов ряда (14)).
Рис. 2. Распределение температуры при малых значениях числа Бо = сг182 (расчет по (14)): т = 0.001, Бог = 0.001, п = 10000 (п — число членов ряда (14)).
Фк (Бо)
- т
(21)
С1пк ^(глБо) + С2пк sin(rпБо) -
Сш1ш(¿т2 + V к )е "1ктРо +
/2 2 , ч/2 2, ч"1"
^кт + V к )(1ит + V к)
+ С2к11к (¿т2 + V к )е "2ктБо
/22 ч,22, ч
(^т + V к )(11кт + V к)_ где С1пк, С2пк — постоянные интегрирования.
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что решение (21) удовлетворяет уравнению (20) при любом значении г = 2к — 1 (к = 1, да).
Подставляя (21) в (17), получаем а Бо) =
ГО
= X [[ ^(гпБо) + С2пк sin(rпБо) + Д)] X (22)
к=1
х cos
1_\ г 21 (1 - 2^)
где Б0 = п(Бо)/(Д + т2г2), г = 2к — 1.
Для определения постоянных интегрирования С1пк, С2пк используем начальные условия (8), (9). Подставляя (22) в (8), (9), находим
С1пк - т
С1к^>1к (12кт "+V к )
2кт 2
^ к Х^2
V к )
+
С2к12к (11кт
V к )
(12кт 2
V к )(121кт 2
V к ).
(23)
С2пк - т [(т2С^^1к + C1kZl3kVк)/Д1 +
+ (т C2kZ2kZlk + С2к123kV к VД1 ] ,
г> I / 2 4 2,2 2, 2 2, 2ч Где Д = у1\к (12кт 11к + 12кт Vк + Vк11кт + Vк).
Подставляя (23) в (22), с учетом обозначений для Б и Б1 получаем
к=1
а ( Бо) = X 1 С2пк ^ (СкБо) + С1пк
х ео8
(СкБо) -
т
Ск^т2 + V к )ег1ктБо ..(¿т2 + V к Х^т2 + V к)
+ (24)
С2к^2к (¿т2 + V к )е '2кт¥о (¿т2 + V к )(1шт2 + V к)_
ео8
^ § (1 —)
Решение (24) точно удовлетворяет уравнению (16) и краевым условиям (8)—(11), в чем можно убедиться с помощью подстановки.
АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Распределение безразмерной температуры, найденной по формуле (11), приведено на рис. 1, 2. На рис. 3, 4 даны результаты расчетов правой части уравнения (13) (т.е. величины Бо) =
=-7), являющейся источником возникно-
дБо
вения динамических температурных напряжений. Их анализ позволяет заключить, что для любых в окрестности внешних поверхностей пластины (^ ^ 0 и ^ ^ 1) при Бо ^ 0 величина ©''(^, Бо) с уменьшением числа Бо возрастает (ввиду увеличения числа членов ряда правой части уравнения (13)), оставаясь равной нулю непосредственно в точках ^ = 0 и ^ = 1 при любых значениях числа Бо, в том числе и при Бо ^ 0. Изменение ©''(^, Бо) по координате для любых значений числа Бо показано на рис. 3.
Результаты расчетов температурных напряжений по формуле (22) для значений = 0.1, 0.3, 0.5
ГО
554
И. В. КУДИНОВ, В. А. КУДИНОВ
0"
4
Рис. 3. Изменение второй производной © "(£, Бо) = = д2®(£, Бо)/дБо2 по координате £ для отдельных моментов времени: т = 0.001, Бог = 0.001, п = 1000 (п — число членов ряда (14)).
а 0.002
0.001
0
-0.001
-0.002
1 2 3 4 5 6
Бо
Рис. 4. Изменение напряжений во времени в точках £ = 0.1, 0.3, 0.5 (расчет по (24)): т = 0.001, Бог = 0.001, п = 1000 (п — число членов ряда (24)).
4
Рис. 5. Изменение напряжений по координате £ для некоторых значений времени Бо (расчет по (24)): параметры те же, что на рис. 4.
приведены на рис. 4. Их анализ позволяет заключить, что напряжения в этих точках с течением времени изменяются скачкообразно, периодически изменяя знак, т.е. имеет место скачкообразно-волновой характер изменения напряжений. В момент времени Бо = 0.1 в точке ^ = 0.1 возникает скачок напряжения растяжения. Затем на участке времени 0.1 < Бо < 0.9 происходит незначительное снижение напряжения и в момент времени Бо = 0.9 в этой точке происходит еще один скачок напряжений, по величине равный первоначальному скачку. Второй скачок объясняется тем, что за время Бо = 0.9 прямая волна, достигая центра пластины (^ = 0.5), увеличивается в два раза по амплитуде колебания (в результате встречи двух волн, движущихся навстречу друг другу от внешних стенок пластины = 0 и = 1),
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.