ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2010, № 4, с. 27-38
= ТЕОРИЯ СИСТЕМ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.977
ЗАДАЧИ НАБЛЮДАЕМОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ РЕГУЛЯРНЫХ АЛГЕБРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
© 2010 г. А. В. Метельский,| С. А. МинюК, О. А. Панасик
Белоруссия, Минск, Белорусский национальный технический ун-т Гродно, Учреждение образования "Гродненский государственный ун-т имени Янки Купалы", Поступила в редакцию 10.06.08 г., после доработки 15.01.10. г.
Для линейных стационарных регулярных алгебро-дифференциальных систем рассмотрены задачи наблюдаемости, идеальной наблюдаемости, условной идеальной наблюдаемости. Сформулированы и доказаны спектральные и ранговые критерии разрешимости указанных задач, исследованы вопросы существования восстанавливающих операций. Эффективность подхода и проблемные моменты иллюстрируются конкретными примерами объектов наблюдения.
0. Введение. Рассмотрим систему наблюдения = Ах(г), г е Т = [0,г], (0.1)
(И
х(0) = я, я е К", (0.2)
с выходом
у (г) = Ох (г), (0.3)
здесь А0, А и О — постоянные п х п- и г х п -матрицы соответственно, х(0, t е Т — непрерывная функция, а Дх(0, t е Т, — непрерывно дифференцируемая функция, > 0 — фиксированный момент времени. Считаем, что система (0.1) регулярная, существует такое комплексное X, что ёе1[АА0 — А] Ф 0, а начальный вектор q является допустимым, т.е. система (0.1), (0.2) имеет решение. В литературе такие начальные данные называют также согласованными [1, с. 19] или совместимыми.
Начальный п-вектор q будет допустимым для системы (0.1) тогда и только тогда, когда выполняется равенство
[Еп - СоАо]я = 0, (0.4)
где С0 — первый элемент системы базовых матриц С,, I = 0, к, здесь к = тёех(А0, А) [1, с. 26—28].
Отметим, что в случае ёе1А0 Ф 0, условие (0.4)
отсутствует, так как тогда С0 = А^1 [1, с. 26—28] и
любой начальный вектор я е К" будет допустимым (согласованным) для системы (0.1).
В случае А0 = Еп (единичная п х п-матрица) различные подходы для исследования задач наблюдения имеются в монографиях [2—4].
Задача полной наблюдаемости регулярной ал-гебро-дифференциальной системы (АДС) (0.1)— (0.3), т.е. возможности определения допустимого начального положения (0.2) системы (0.1) по данным о поведении выходных величин в "буду-
щем", изучалась в работах [5—8]. В [5] свойство наблюдаемости системы (0.1)—(0.3) рассмотрено в случае A = En.
Спектральный критерий полной наблюдаемости регулярной системы (0.1)—(0.3) доказан в [6, 7], в [7] установлена формальная (сравнением критериев) двойственность задач управляемости и наблюдаемости регулярных АДС. Однако "истинная" двойственность означает [9, теорема 2], что, построив непрерывную операцию восстановления начального положения системы по наблюдаемому выходу, мы получим разрешающее управление в задаче управляемости двойственной системы. В [9] исследуются задачи идентификации для объекта наблюдения (0.1)—(0.3). Там же для вполне регулярных систем обоснована двойственность задач полной управляемости и конструктивной идентифицируемости, при этом указано [9, пример 3], что в случае регулярных АДС двойственность этих задач, вообще говоря, не имеет места.
Отметим также, что проблема наблюдаемости гибридных дифференциально-разностных систем изучалась в [10]. Однако гибридным системам, приведенным в [10], эквивалентны только те системы вида (0.1), у которых матричный пучок [XA0 - A] не имеет бесконечных элементарных делителей [11, с. 314] степени выше первой.
Впервые задача идеальной наблюдаемости в случае A0 = En была рассмотрена в [12]. Общий подход изучения задачи идеальной наблюдаемости обыкновенных дифференциальных систем предложен в [13]. Там же решена задача условной идеальной наблюдаемости.
В настоящей статье исследуются свойства полной наблюдаемости по Р. Калману и Н.Н. Красов-скому. В первом случае получены два критерия наблюдаемости регулярных АДС в форме Калма-на [2], записанные в терминах исходной системы.
Во втором случае предложен алгоритм построения непрерывной операции восстановления начального положения системы по известному выходу. Впервые изучаются вопросы идеальной наблюдаемости и условной идеальной наблюдаемости регулярных АДС. Здесь, так же как и в [14], исследование регулярных АДС и их качественных характеристик проводится с использованием системы базовых матриц Ю.Е. Бояринцева [1].
1. Полная наблюдаемость АДС. Задачи наблюдения для системы (0.1) связаны [2, с. 65] с определением настоящего положения х (т) по данным {у(г) : г > т} о поведении выходных величин в "будущем". Далее считаем т = 0, т.е. будем определять начальное положение х (0) (поскольку система (0.1)—(0.3) стационарная, то это не ограничивает общности рассуждений).
Определение 1. Начальное положение х(0) = q системы (0.1)—(0.3), удовлетворяющее условию (0.4), назовем наблюдаемым по Р. Кал-ману, если его можно восстановить по выходу (0.3) единственным образом.
Систему (0.1)—(0.3) назовем полностью наблюдаемой по Р. Калману, если каждое ее допустимое начальное положение наблюдаемо.
Утверждение. Пустьd — степень полинома ХА0 - А ], тогда й = гапкС0.
Доказательство. Запишем объект наблюдения (0.1)—(0.3) в канонической форме, используемой в [1, с. 25]: для регулярной пары матриц (А0, А) найдутся такие неособые матрицы Р и 0, что справедливы соотношения
A = PAQ A = PA Q,
где
'M 0 0 " ElM 0 0 "
A 0 = 0 Ei lR 0 , A = 0 R 0
_ 0 0 S _ 0 0 E,
(1.1)
(1.2)
Здесь блоки М и Я — нильпотентные матрицы порядков 1М и 1Я соответственно, блок S — неособая матрица порядка (М + 1К + /? = п), ЕЯ, ЕМ, — единичные матрицы порядков 1М и , соответственно 0 — нулевые матрицы подходящих размеров. Для конкретной пары матриц (А0, А) некоторые из пар блоков в (1.2) могут отсутствовать. Пусть при этом
D = A02A2, Ao2
[E, 0" 'R 0 "
lR , a2 = 0
_ 0 S_ E,
(1.3)
Тогда будет справедливо следующее равенство:
ёе1[Ы0 - А] = ёе1Р • ёе^М - Е,и] х
х detS • ёе^Е^ + ^ - Б] • ёе^.
С помощью некоторого невырожденного преобразования Р матрица М приводится к жордано-
(1.4)
вой форме М* = РМР х. Все характеристические числа нильпотентной матрицы равны нулю, поэтому матрица М* будет иметь верхнетреугольный вид. Тогда, очевидно, М - Ех ] = (-1)М. Отсюда и из (1.4) заключаем, что й = 1Я +18. Из определения [1, с. 26] базовой матрицы : С0 =
= 0'^СрО = ^{0;ЕЯ,Б-1} имеем
гапкС0 = гапкС0 = гаикЕ^ + гапкБ=
= и + Ь = й.
Утверждение доказано.
Отметим, что из доказательства утверждения 1 следует, что матрица Б в (1.3) имеет порядок d.
Те о р е м а 1. Для полной наблюдаемости по Р. Калману системы (0.1)—(0.3) необходимо и достаточно, чтобы
rank
GCo Ao GC0A
-1
= d.
(1.5)
[&(С(А)
Доказательство. Приведем пару матриц (А0, А), определяющую систему наблюдения (0.1)—(0.3), к канонической форме (1.1), (1.2). Полагая м>(1) = Ох(1) = со1[^1(?); ^2(?)], ( = Qq =
= со1[^д2], О = 00-1, у(0 = уЧО + у2«) = О*(*) =
= О1 м1(1) = О2м2(1), учитывая обозначения (1.3), преобразованную систему (0.1)—(0.3) запишем в виде двух независимых друг от друга подсистем
'dMw1(t) _ йг
м>1(0) _ (¡1,
(1.6)
y\t) = Gwi(t ),
IV 2(t ) = Dw (t ),
<w2(0) = q2, (1.7)
y 2(t ) = Gwlt ).
Ввиду нильпотентности матрицы M система (1.6) всегда полностью наблюдаема, поскольку
Wi(t) = 0, t е T, < wj(0) = ql, y 1(t) = 0, t е T, и условие согласования (0.4) для системы (1.6) принимает вид: qx = 0. Таким образом, y(t) = y2(t), t е T, поэтому система (0.1)—(0.3) полностью наблюдаема в том и только том случае, когда полностью наблюдаема обыкновенная система (1.7),
при этом х(0) = q = Q_1w(0) = Q~lq, q = col[0;q2].
Критерий Калмана [2, с. 68] полной наблюдаемости системы (1.7) имеет вид
rank
G2
g2d
= d.
(1.8)
g2d
d -1
Если учесть соотношения [0; О2] = 6СА и
|0;О2= адА)\ } = 1,( - 1, (1.9) то (1.8) можно записать так
rank
gc0a0
GC0 a
,d -1
= d.
rank
En C0A0
g gc0 a
,d -1
(1.10)
rank
E,
lM
Gi 0
0
G2 g2d
,d -1
n.
rank
En - C0A0
G GC0 A
GiCA)
d -1
= n.
Умножая матрицу в последнем равенстве на неособую матрицу Q справа и матрицу ё1а§{0-1; Е^} слева, получим условие (1.10).
Замечание 1. В [6, 7] получен спектральный критерий полной наблюдаемости по Р. Кал-ману регулярных АДС: для полной наблюдаемости системы (0.1)—(0.3) необходимо и достаточно, чтобы
rank
А)"
Умножая теперь матрицу в последнем равенстве на неособую матрицу Q справа, на основании
обозначений О = ООС0 = ОС0Р и (1.1) получим критерий (1.5). Теорема доказана.
Следствие 1. Для полной наблюдаемости по Р. Калману системы (0.1)—(0.3) необходимо и достаточно, чтобы
о(с0 а)
Доказательство. При доказательстве теоремы 1 показано, что система наблюдения (0.1)— (0.3) наблюдаема по Калману в том и только том случае, когда выполняется критерий (1.5), который с помощью элементарных преобразований можно привести к виду
0 О2Ба
Учитывая далее соотношения ё1а§{ Е1 ; 0} =
= Еп — С0А0 и (1.9), последнее условие перепишем в виде
ХА0 - А _ О _ для всех комплексных X.
Замечание 2. Из доказательства теоремы 1 вытекает, что начальное положение х(0) = д можно восстановить следующим образом: последовательно дифференцируя d — 1 раз выход системы (1.7), получаем
(у2)>) = ^4(0) = ^¿Ь i = 0, ( - 1. (1.11)
Поскольку выполняются условия (1.8), то система линейных алгебраических уравнений (1.11) имеет единственное решение д2 которое линейным образом выражается через производные
(уГ(0),,= 0, ( -1.
Построим вектор д = ^(0) = со1[0; д2 ]. Тогда
х(0) = О _1д = д.
Отметим, что такой способ вычисления начального положения q не всегда является удобным, так как он основан на приведении исходной системы к канонической форме, что может оказаться непростой задачей.
В формулировке критериев (1.5), (1.10) кроме исходных матриц участвует базовая матрица С0. Используя [1, с. 48—58], приведем алгоритм вычисления базовых матриц С¡,1 = 0, к, с помощью метода Фадеева [11, с. 90].
1. Находится число а, при котором ёе^А — - аА0] Ф 0.
2. Для матрицы У = [А - аА0]~1А0 осуществляется алгоритм Фадеева
У0 = У Р0 = 1 А, = Еп У = УА Р1 = -ФУ А = У1 + рЕп
У = У0А -1 р1 = -1«РУ а = у + рЕп (1.12)
У" = У{Ап-1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.