ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 6, с. 848-855
УДК 532.51.013.4:551.513
ЗАХВАЧЕННЫЕ СИММЕТРИЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ
© 2008 г. М. В. Калашник
Научно-производственное объединение "Тайфун" 249038 г. Обнинск, ул. Победы, 4 E-mail: lingel@obninsk.com Поступила в редакцию 26.06.2007 г., после доработки 26.02.2008 г.
Теоретически исследована структура захваченных симметричных возмущений во вращающихся стратифицированных сдвиговых течениях. Показано, что расположение области захвата определяется стратификацией атмосферы. Так, если характерная частота Брента-Вяйсяля больше инерционной частоты, захват происходит в области антициклонического сдвига скорости, если меньше - в области циклонического сдвига. Соответственно в первом случае частоты захваченных волн меньше инерционной частоты, во втором - больше. Задача о нахождении частот захваченных волн сведена к решению уравнения Шредингера, однако с более сложной зависимостью от спектрального параметра. Получены точные решения задачи для "треугольной" струи и гиперболического слоя сдвига.
1. Во вращающейся стратифицированной жидкости в поле силы тяжести существуют собственные волновые движения - инерционно-гравитационные волны [1]. В горизонтально-неоднородных сдвиговых течениях эти волны могут быть захвачены (локализованы) внутри слоя сдвига. Исследованию захваченных волн в атмосфере и океане посвящен ряд теоретических [2-6] и экспериментальных [7, 8] работ. Захват распространяющихся волновых пакетов в приближении геометрической оптики впервые исследован в [2]. С захваченными волнами связывают наблюдаемую интенсивную волновую деятельность в районах атмосферных и океанических фронтов и струйных течений [8].
В недавней работе [9] исследовалась структура захваченных симметричных возмущений, т.е. волновых возмущений, не зависящих от координаты вдоль потока. С использованием гидростатической модели атмосферы установлено, что в баротроп-ном струйном течении захват возмущений происходит в области антициклонического сдвига скорости, частоты захваченных волн всегда меньше инерционной частоты. В настоящей работе показано, что расположение области захвата возмущений в действительности определяется стратификацией атмосферы. Так, если характерная частота Брента-Вяйсяля больше инерционной частоты, захват происходит в области антициклонического сдвига, если меньше - в области циклонического сдвига. Соответственно в первом случае частоты захваченных волн меньше инерционной частоты, во втором -больше. Задача о нахождении частот захваченных волн сведена к решению уравнения Шредингера, однако с более сложной зависимостью от спектрального параметра. Получены точные решения задачи
для "треугольной" струи и гиперболического слоя сдвига.
2. Постановка задачи. Рассмотрим плоскопараллельное сдвиговое течение стратифицированной вращающейся жидкости и = (и(у), 0, 0), направленное вдоль горизонтальной оси x. Исследуем поведение симметричных возмущений этого течения, не зависящих от координаты x вдоль потока. В приближении Буссинеска линеаризованная система уравнений динамики имеет вид [1]
Эu ,TJW , „ dv х ЭФ
_ + (U(y) - /)v = o, dv + fu = -¥'
(i)
dw ЭФ да .,2 „ dv dw „
-=-— а = ---—, т—+ Nw = 0, + — = 0. д t д z д t ду д z
Здесь u, v, w - компоненты скорости вдоль осей x, у, z (ось z направлена вертикально вверх), Ф, р - возмущения давления и плотности, нормированные на постоянную среднюю плотность, а = -gp - плавучесть, g - ускорение свободного падения, f - параметр Кориолиса, N2 > 0 - квадрат частоты Брента-Вяйсяля, U'(y) = dU/dy. Рассматриваем (1) в области D = {-го < у < тс, 0 < z< H} с условием непротекания w = 0 на горизонтальных границах z = 0, H.
В случае N2 = const, для функции тока v = -Byfiz, w = ду/ду из системы (1) следует уравнение
Э t2
-.2 -.2 -, э у + d_vj/
ЭУ dz2-
22 + /2 [ 1-R (У + N2 ^ = 0,(2) dz Э y
содержащее безразмерный параметр Щу) = и(у)//. С точностью до знака этот параметр представляет собой отношение величины завихренности сдвигового течения гоШ = -и(у)к (к - вертикальный орт) к
2
величине фоновой завихренности от вращения системы как целого fk. Если и (у) < 0 (циклонический сдвиг), фоновая и сдвиговая завихренности параллельны, если и(у) > 0 (антициклонический сдвиг) -антипараллельны. Параметр К(у) играет важную роль в теории симметричной устойчивости. Аналогично [10-12] можно показать (см. Приложение), что достаточное условие устойчивости сдвигового течения относительно симметричных возмущений имеет вид:
К(у) = и'(у)/Г < 1 (3)
всюду в Б. Обратим внимание, что, согласно (3), течения с циклоническим сдвигом всегда симметрично устойчивы.
При выполнении (3) уравнение (2) имеет решения, гармонически зависящие от времени и синусоидальные по г:
у = ф( у) ехр (г'ю*?) 8ш (п кг/И).
(4)
Здесь ю* > 0 - частота колебаний, к = 1, 2, ... - номер
вертикальной моды колебаний. Подставляя (4) в (2), для ф(у) получим уравнение
, 2 2
4 + [/(К- (у) -1) + ю* ]ф = 0,
йу N - ю*
пк
т = И
(5)
В анализе удобно использовать безразмерную форму (5). Представим сдвиговое течение в виде и(у) = = и0У(уД,), где и0 - амплитуда, Ь - горизонтальный масштаб течения. При этом К(у) = КоУ^Д,), где Ко = = и^А^ - число Россби. Используя Ь в качестве масштаба длины и обозначая N = Щ, ю = ю*/£ X = пкЬ/И, из (5) получим уравнение
, 2 х 2
^-ф + -Р-; [КоГ (у)-1 + ю2]ф = 0, (6)
йу2 N - ю2
которое, вместе с краевыми условиями ограниченности ф при |у| —► го, определяет спектральную задачу для нахождения безразмерной частоты колебаний ю.
3. Свободный слой сдвига. Рассмотрим вначале свободный слой сдвига - течение, описывающее гладкий монотонный переход между двумя постоянными предельными значениями скорости на бесконечности. Для этого течения V'(у) —► 0 при |у| —► без ограничения общности можно считать, что тах^'у = |V'(0)| = 1. Отметим, что, согласно (3), слой антициклонического сдвига устойчив при Ко < 1. Ниже будет рассматриваться этот случай.
3.1. Качественный анализ. Захваченные волны в слое сдвига описываются решениями уравнения (6), экспоненциально затухающими при |у| —► Подобные решения могут существовать, если частота
колебаний ю удовлетворяет системе неравенств Q(0, ю) > 0, ю) < 0, где через Q(у, ю) обозначен коэффициент при ф в (6). Эта система записывается в виде
± Ко - 1 -I- ю ^
N - ю2
> 0,
ю 2 - 1
N - ю 2
< 0,
(7)
где знак плюс отвечает антициклоническому сдвигу, знак минус - циклоническому. При выполнении (7) уравнение (6) имеет, по крайней мере, две точки поворота у1(ю), у2(ю), такие что Q(у, ю) = 0. Если функция | V '(у)| имеет один максимум, точек поворота ровно две. При этом в интервале (у1, у2) решения (6) осциллируют, вне его - экспоненциально затухают.
Элементарный анализ показывает, что в случае антициклонического сдвига решение системы (7)
2
существует лишь при NN > 1 - Ко и записывается в
виде: 1 - Ко < ю2 < тт(1, NN ). Частоты захваченных волн, таким образом, меньше инерционной частоты (ю < 1).
Аналогично, в случае циклонического сдвига ре-
2
шение системы (7) существует лишь при NN < 1 + Ко
и записывается в виде: тах(1, N ) < ю2 < 1 + Ко. В этом случае всегда ю > 1.
Объединяя эти результаты, можно заключить, что при NN > + Ко захват происходит только при антициклоническом сдвиге, при N < - Ко (в
частности, при нейтральной стратификации N = 0) -только при циклоническом сдвиге.
Эквивалентный подход к исследованию спектральной задачи основан на записи (6) в форме уравнения Шредингера
21
й-ф + - [Е - и( у )]ф = 0,
йу2 Ь
(8)
описывающего движение частицы в поле с потенциалом и(у). Так, в случае антициклонического сдвига,
Е = ю2, и(у) = 1 - Ко У(у), Ь = (N - ю2)/Х2. Область существования частот захваченных волн находится из условий: 1) [Е - и(0)]Е - и(^)] < 0 (потенциал и(у) имеем минимум), 2) Ь(ю) > 0 (в отличие от квантово-механического случая, аналог постоянной Планка Ь зависит от спектрального параметра). При такой записи захваченные волны аналогичны связанным состояниям в квантовой механике; им отвечает дискретный спектр уравнения Шредингера. Помимо дискретного спектра, у этого уравнения имеется и непрерывный спектр, образованный в случае антициклонического сдвига значениями ю > 1. Каждое такое значение является дважды вырожденным; ему отвечают два решения (8), описывающие волны, распространяющиеся в противоположных направ-
лениях. В случае циклонического сдвига непрерывный спектр образован значениями ю < 1.
3.2. Точное решение для антициклонического сдвига. Как и в задачах квантовой механики [13], можно построить точные решения (6), (8) для некоторых типов потенциалов. Рассмотрим антициклонический сдвиг У(у) = Ш у при N > 1. Уравнение (6) принимает вид
однозначно определяют ю. Выражая ю через в, из (12) для собственных значений найдем
ю = юп = 1 -
(^2-1 )вП
X2- вп
(17)
2
й (р
+
X2
йу2 ' Ы2- ю2
ЩО 1 2" -1 + ю
!-сИ2у
( = 0.
(9)
Замена переменных
Используя (17), легко показать, что 1 - Що < юп < 1, т.е. частоты захваченных волн меньше инерционной частоты. Минимальное значение ю отвечает п = 0. При X —- ~(Ь > н) ю0 = юmin ~ 1 - Що.
Собственные функции (п(у), отвечающие собственным значениям (17), выражаются через полиномы Якоби РП [14]:
г1 ^ в/2
5 = Ш у, ( = (1 - 5 ) д
(10) (п(у) = ( 1- 52)в/2РПР'Р)(5), в = вп, 5 = Шу,
приводит (9) к гипергеометрическому уравнению (1-52)^-2(в +1)5ййррр + (у2-в2-в)д = 0, (11)
РГ(5) = 1- «2)-в4[(1- 5=)п•в]. (18)
2"п!
Й5
Й5
Й5
= X2 ( 1 - ю2 )
N N - ю2
Що X2
ы2 - ю2'
(12)
Ограниченные при 5 = ±1 решения (11) (в виде поли-
Возмущению с минимальной частотой (п = 0) отвечает четная собственная функция (0(у) = 1/сИвоу (при X > 1 в0 ~ 4 а/(а + 1)). Значению п = 1 отвечает нечетная собственная функция фх(у) = Ш у/ сИв1 у. Легко проверить, что (п(у) имеет ровно п нулей на
номов) существуют, если выполнено соотношение число,ой прям°й.
[14]
у2-в2-в = 2п (1 + в) + п(п-1), п = 0,1,2,... ,
(13)
из которого находятся частоты ю. С учетом у2 =
= Що(Х2 - в2)/(N - 1), соотношение (13) сводится к квадратному уравнению
(а +1 )в2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.