ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 73. Вып. 4, 2009
УДК 533.6+517.944
© 2009 г. Ю. А. Чиркунов
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С НУЛЕВОЙ СКОРОСТЬЮ ЗВУКА
Методом А-операторов для системы п -мерных (п > 1) уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука найдены все законы сохранения нулевого порядка. Выполнено групповое расслоение этой системы относительно бесконечной подгруппы, являющейся нормальным делителем ее основной группы Ли преобразований; найдена основная группа разрешающей системы. С помощью перехода к массовым лагранжевым переменным найдены нелокальные симметрии первого порядка для исходной системы. Специальный выбор массовых лагранжевых переменных позволяет привести эту систему к эквивалентной ей редуцированной системе, содержащей п — 1 пространственных переменных, которая при п = 2 с помощью комплексных зависимых и независимых переменных записывается в виде одномерного комплексного уравнения теплопроводности.
1. Введение. Систематическое исследование подмоделей газовой динамики было начато Л.В. Овсянниковым [1, 2] в рамках программы "Подмодели". Одна из таких подмоделей, под номером 13 [2], задаваемая системой уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука
и, + (и -У)и + -Vр = 0, р, + и -Ур + р^уи = 0, р1 + и -Ур = 0 (1.1)
Р
х е Яп, п > 1
и будет основным объектом исследования в данной работе. Здесь и = и(, х) е Яп — вектор скорости, р = р(, х) — плотность, р = р (г, х) — давление.
Для уравнений (1.1) ниже получена полная система законов сохранения нулевого порядка. Наличие в основной группе системы (1.1) бесконечного нормального делителя позволило выполнить групповое расслоение [3] этой системы. С помощью специального выбора массовых лагранжевых переменных удалось редуцировать эту систему, то есть преобразовать ее к системе, содержащей меньшее число независимых переменных.
2. Метод А-операторов. Рассматривается произвольная система (£) дифференциальных уравнений для т (т > 1) искомых функций и = (и1, и2,..., ит) от п +1 (п > 1) независимых переменных у = (хх1, х2,..., хп). Пусть [£] — многообразие в продолженном
пространстве, задаваемое уравнениями системы (£) и всеми ее дифференциальными следствиями.
Законом сохранения для системы (5) называется [3] вектор А = Л^у,и,и, = = (Л0, Л1, Л2,..., Л") такой, что (Б • Л)[5] = 0, где Б = (Б о, Б ь Б 2,..., Бп); Б{ = Б х, — оператор полного дифференцирования по переменной х ( = 0,1,2,..., п).
Определение 1. Пусть А — закон сохранения системы (5). Эволюционный опера-
тор обобщенной симметрии X = ^у,и,^и>...^-5и +..., допускаемый уравнением
(Б • Л) = 0 в силу системы (5) и всех ее дифференциальных следствий, будет называться А-оператором этой системы. Таким образом, А-оператор системы (5) задается соотношением
(Х(Б •Л))И = 0 (2.1)
Для множества А-операторов системы (5) можно указать оценку снизу: это множество содержит алгебру Ли всех обобщенных симметрий системы (5).
Было показано [4], что результат действия каждого эволюционного оператора обобщенной симметрии системы (5) на любой ее закон сохранения является законом сохранения этой системы.
Связь А-операторов системы с ее законами сохранения устанавливается двумя следующими предложениями.
Предложение 1. Действие любого А-оператора системы (5) на закон сохранения А дает закон сохранения этой системы.
Предложение 2. Пусть А — закон сохранения системы (5). Всякий эволюционный оператор обобщенной симметрии X = ^у, и, и, и, ■ ди +..., для которого вектор ХА есть закон сохранения этой системы, является ее А-оператором.
Определение 2. А-оператор X системы (5) будет называться ее тривиальным А-оператором, если вектор ХА — тривиальный закон сохранения этой системы.
Определение 3. Два А-оператора системы (5) будут называться А-эквивалентны-ми, если их разность есть тривиальный А-оператор этой системы.
Действие А-эквивалентных А-операторов системы (5) на закон сохранения А дает эквивалентные законы сохранения этой системы. Следовательно, множество А-операторов системы (5) для каждого закона сохранения А разбивается на классы А-экви-валентных А-операторов.
Имеет место следующая теорема о порождающем законе сохранения для системы дифференциальных уравнений.
Теорема 1. Если система дифференциальных уравнений (5) имеет закон сохранения нулевого порядка А, общий ранг матрицы Якоби — которого равен числу незави-
ди
симых переменных системы (5), то тогда каждый ее закон сохранения может быть получен в результате действия на закон сохранения А некоторого А-оператора этой системы.
Метод получения законов сохранения для систем дифференциальных уравнений с помощью теоремы 1 будет называться методом А-операторов.
3. Законы сохранения. В газовой динамике физический смысл закона сохранения А = (Л0, Л1, Л2,..., Л") определяется компонентой Л° — плотностью закона сохранения,
и вектором потока В = Л1 - Л°ы, где Л] = (Л1, Л2,..., Л").
Для отыскания всех законов сохранения нулевого порядка для системы (1.1) в качестве порождающего закона сохранения А берется закон сохранения импульса:
A0 = р u • b, B = p b
(3.1)
где Ь — фиксированный единичный вектор.
Тривиальные законы сохранения нулевого порядка для этой системы — функции только независимых переменных.
Решение системы определяющих уравнений (2.1) в данном случае показывает, что множество нетривиальных А-операторов для системы (1.1) порождается следующими операторами:
X1 = X 2 =
X 3 = X4 =
J_
u • b
1
u • b
1
u • b
1
u • b
(
u •d u +
ph (p)K2 - 2h(p)
\
X(p) •du + (pu • X'(p) -^T^ldp
X(p)• b u • b
QШ • дu + fpQp(p)<x> • u - Qb • b
-ц(p) •du + | p(tu - x) • ц' (p) " |дp
ty(p) • b
u • b
X5 =
Pg (p)'.
u • b
где й(р), g(р), X(р), ц(р) — произвольные функции, Q(р) — произвольный антисимметричный тензор второго ранга в В" при п > 2 и Q(р) = 0 при п = 1.
Действие операторов Х1, Х2, Х3, Х4, Х5 на закон сохранения (3.1) дает соответственно следующие законы сохранения для системы (1.1):
A0 = ph'(p)H- - h(p), B = h(p)u
(3.2)
A0 = pX'(p) • u, B = X(p) A0 = pQp (p)(x) • u, B = Q(p)(x) A0 = p((u - x)- ц'(p), B = tp(p) A0 = pg(p), B = 0
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Здесь (3.2), (3.3) и (3.4) — обобщенные законы сохранения энергии, импульса и момента импульса, (3.5) — закон сохранения, определяющий обобщенный закон движения центра масс, (3.6) — закон сохранения давления.
При g (p) = const закон сохранения (3.6) — это закон сохранения массы.
Таким образом, множество нетривиальных законов сохранения нулевого порядка для системы (1.1) при всех n > 1 состоит из законов сохранения (3.2)—(3.6).
Групповая интерпретация законов сохранения (3.2)—(3.6) такова: основная алгебра Ли точечных операторов системы (1.1), вычисленная по стандартной методике, оказывается бесконечномерной и содержит идеал, порождаемый операторами
Уу = / '(р)рдр + / (р)др (3.7)
где / = /(р) — произвольная функция. Факторалгебра по этому идеалу конечномерна и имеет базис:
д,, дх, гдх + ди, гд, + х •дх, гд( - и •ди + 2рдр Г(х)•дх + г(и) •ди (3-8)
(Г — произвольный антисимметричный тензор второго ранга в ЕР при п > 2 и Г = 0 при п = 1).
Действие оператора Уу на известные [4, 5] для уравнений газовой динамики классические законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и закон сохранения, определяющий закон движения центра масс, дает соответственно обобщенные законы сохранения (3.2)—(3.5). Это означает что оператор У у является A-оператором системы (1.1) для всех перечисленных классических законов сохранения.
4. Групповое расслоение. Наличие в основной группе Ли преобразований системы (1.1) бесконечного нормального делителя N порождаемого операторами (3.7), позволяет эффективно осуществить групповое расслоение этой системы.
Базис дифференциальных инвариантов первого порядка группы N можно выбрать следующим образом:
г, х, и, —2(р,Ур-р,Ур), 1 р,, -Ур
р2 Р Р
Автоморфная система группового расслоения системы (1.1) относительно группы N имеет вид:
Б,(ра) + Бх[р(а • и)] = 0, р, = ра • и, Ур =-ра (4.1)
а разрешающая система:
— = а, и • [а, + У (а • и)- а<Цуи| = 0; — = д, + и -V
— 1 К ' * сН (4.2) <а, + V(а • и) - (а • и)У) • а = 0
где Q — произвольный антисимметричный тензор второго ранга в Яп при п > 2 и 2 = 0 при п = 1; а = а (,, х) — вектор ускорения.
Представление системы (1.1) в виде равносильного ей объединения систем (4.1), (4.2) и есть искомое групповое расслоение.
При п = 1 разрешающая система (4.2) принимает вид
= а, — = 0 (4.3)
— —
Следовательно, для одномерного движения ускорение сохраняется в частице. Введение массовой лагранжевой переменной
% = %(г, х): —% = 0, %х = Р —
позволяет проинтегрировать систему (4.3):
2
г 1
= а0(£), и = га0(Д) + и0(£), х = —а{)(£) + ги{)(£) + Х0(£), р = —
2 х^
где а0 , и0 , х0 — начальные значения соответствующих величин. Давление определяется из автоморфной системы (4.1):
р = -{а0 (£)
При п = 2 и п = 3 разрешающая система (4.2) приводится к виду
—и = а, а, + У (а • и)- а ё1уи = иЛ (УЛа), а • (У Л a) = 0 (4.4)
—г
При п = 2 последнее уравнение системы (4.4) выполнено тождественно, а при п = 3 она является переопределенной.
Решение соответствующей системы определяющих уравнений показывает, что основная группа Ли преобразований разрешающей системы (4.2) (п > 2) конечномерна и базис ее алгебры состоит из операторов
д г, д х, гд х + д и, гд г + х •д х - а • д а
гдг - и • ди - 2а • да, Г(х) • дх + г(и) • ди + г (а) • да
(Г — произвольный антисимметричный тензор ранга 2 в Я").
Следовательно, основная группа Ли преобразований разрешающей системы (4.2) является продолжением на а = —и/—г порождаемой операторами (3.8) факторгруппы основной группы системы (1.1) по нормальному делителю, порождаемому операторами (3.7).
5. Лагранжевы переменные. С помощью массовых лагранжевых переменных
4 = 4 (г, х):
—§ = 0, —г
дх
= Р (5.1)
система (1.1) записывается в виде
д х
хгг + р% = 0, рг = 0 (5.2)
д^
Вектор скорости и плотность определяются по формулам
Р =
-1 дх
(5.3)
Имеет место следующая альтернатива [2].
1. В системе (5.2) можно считать р = р(г, 4) неизвес
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.