ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 1, 2015
УДК 532.516
© 2015 г. С. И. Мартынов
ЗАМЕЧАНИЯ ПО СТАТЬЕ О.Б. ГУСЬКОВА «МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ДИНАМИКЕ ВЯЗКИХ СУСПЕНЗИЙ».
ПММ. 2013. Т. 77. Вып. 4. С. 557-572
В вышеупомянутой статье рассматривается задача о динамике взаимодействующих сферических частиц в вязкой жидкости. По этой проблеме опубликовано большое число работ, в которых предлагаются разнообразные методы решения задачи. Поскольку целью замечаний не является обзор методов и подходов, имеющихся в литературе по данной теме, отметим только некоторые из них, которые активно используются в последние годы. Помимо численных методов, основанных на методе конечных элементов, это метод стоксовой динамики [1] и метод решеточного уравнения Больц-мана [2]. Перечисленные методы имеют как достоинства, так и недостатки. К недостаткам следует отнести большие вычислительные затраты при их программной реализации на компьютере для расчета динамики большого числа частиц. В то же время можно констатировать, что в настоящее время не существует метода, одинаково пригодного для решения широкого класса задач динамики дисперсных систем, и исследования в этой области по-прежнему остаются актуальными.
Однако подход, предлагаемый в рассматриваемой статье для решения задачи многих тел в вязкой жидкости, не является оригинальным. Был предложен [3, 4], а затем развит [5] подобный метод решения задачи о гидродинамическом взаимодействии N частиц в вязкой жидкости. Метод основан на представлении решения уравнений Стокса в виде ряда, члены которого содержат тензорные коэффициенты. В результате задача сводится к решению алгебраической системы уравнений для скалярных функций, входящих в тензорные коэффициенты. Был приведен [3, 4] вид самих тензоров в зависимости от скорости потока жидкости, разложение скалярных функций по малому параметру, а также результаты численных расчетов для разных частных случаев течения жидкости. Этот метод был модифицирован [5] таким образом, что каждая частица из множества N частиц рассматривается как помещенная в поток, образованный основным течением и возмущениями от остальных частиц, и решение задачи представлено в виде, аналогичном случаю одиночной частицы в потоке. Фактически это и есть реализация метода самосогласованного поля для взаимодействующих частиц. Метод [3] тестировался на многочисленных известных теоретических и экспериментальных результатах по динамике не только частиц, но и капель [6—8]. Собственно, этот метод применим к решению задач о взаимодействии большого числа частиц в любых внешних полях, для моделирования которых используются уравнения Пуассона и Лапласа. Поэтому он применялся к решению задач по взаимодействию поляризующихся или намагничивающихся частиц во внешнем электрическом или магнитном поле [9]. Кроме того, методом [3] получены различные результаты по взаимодействию как конечного числа твердых частиц и капель в различных потоках как вязкой [4—8], так и идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкости [10]. Метод позволяет решать задачи о динамике большого числа частиц при наличии плоской стенки [11]. Для динамики частиц в быстропеременных потоках и внешних полях разработан аналогичный метод [12, 13]. Таким образом, все результаты, заявленные в аннотации к рассматриваемой статье, уже получены и не содержат новых.
148
С.И. Мартынов
Для решения уравнений Стокса в рассматриваемой статье используется так называемый метод декартова анзаца. Как и любой другой, предлагаемый метод необходимо протестировать на известных результатах, полученных другими способами, в том числе и для частиц разного радиуса. В статье не только отсутствуют ссылка на публикации последних лет по данной тематике и сравнительный анализ предлагаемого метода с уже используемыми, но и утверждается, что имеются лишь немногочисленные результаты по динамике взаимодействующих частиц числом более трех. На самом деле опубликовано большое число как экспериментальных, так и теоретических результатов по динамике взаимодействующих частиц, например, [14—16]. Некоторые подходы основаны на использовании симметрии в расположении частиц, что позволяет получить решение задачи. В рассматриваемой статье проводится сравнение полученного решения с результатами для двух частиц, полученных методом отражения. Поскольку метод отражений — приближенный, то корректнее провести сравнение с точным решением [17]. Поэтому можно утверждать, что метод, предлагаемый в статье, недостаточно апробирован.
Еще одно замечание связано с выводом, что при взаимодействии трех частиц их скорости с точностью до 0(е3) определяются только парными взаимодействиями, как это следует из анализа структуры полученного решения. Между тем был сделан вывод [3], что решение задачи о гидродинамическом взаимодействии даже трех частиц в принципе нельзя свести к сумме решений задач о парных взаимодействиях частиц. Это связано с тем, что хотя решается линейная задача, однако, граничные условия для скорости жидкости на поверхности каждой частицы являются интегральными в том смысле, что описывают суммарный вклад гидродинамического взаимодействия выделенной частицы со всеми остальными. Таким образом, в граничных условиях для скорости нельзя отделить результат гидродинамического взаимодействия выделенной частицы с какой-либо другой частицей от результата взаимодействий этой же выделенной частицы со всеми остальными частицами, вследствие чего решение задачи о гидродинамическом взаимодействии трех и более частиц нельзя представить в виде суммы решений задач о гидродинамическом взаимодействии пар частиц, где суммирование берется по всем возможным комбинациям пар из заданной конфигурации частиц. Погрешность представления гидродинамического взаимодействия всех частиц в виде их парных взаимодействий тем больше, чем больше число частиц, участвующих в таком взаимодействии. Это различие проявляется в значениях скалярных коэффициентов, что также объясняет причину расхождения интегралов, возникающую при попытке учесть взаимодействие бесконечного числа частиц, суммируя результат их парных взаимодействий.
Как известно [18], для стационарных течений в приближении Стокса и Озеена скорость затухает на бесконечности как В-1, где В — расстояние от центра частицы до точки, в которой определяется скорость. Для стационарного течения Навье—Стокса оценки дают асимптотику в виде Вк, где к < 2. Из этих оценок видно, что простое суммирование возмущений от каждой частицы приводит к расходящимся рядам для большого числа частиц. Таким образом, прямое использование процедуры получения решения для ограниченного числа частиц не проходит для задач гидродинамики, теплопроводности, магнитной или электрической проницаемости смесей при большом числе взаимодействующих частиц. С использованием метода, представленного в работе [3], эта проблема была рассмотрена и решена [19—21] для бесконечной периодической решетки частиц в вязкой жидкости.
С учетом вышеизложенного, можно утверждать, что в рассматриваемой статье делается ошибочный вывод о том, что практические возможности построенного метода никак не ограничены количеством дисперсных частиц в жидкости.
Автор признателен редакции журнала за предоставленную возможность высказать свои замечания.
Прикладная математика и механика. Вып. 1, 2015
149
ЛИТЕРАТУРА
1. Bossis G., Brady J.F. Dynamic simulation of sheared suspensions. I. General Method. // J. Chem. Phys. 1984. V. 80. P. 5141-5154.
2. LaddA.J.C. Numerical simulations of particulate suspensions via a discretized Boltzmann equation. Pt 2. Numerical results // J. Fluid Mech. 1994. V. 271. P. 311-339.
3. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие частиц // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 2. С. 112-119.
4. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 1. С. 84-91.
5. Баранов В.Е., Мартынов С.И. Влияние гидродинамического взаимодействия на скорость осаждения большого числа частиц в вязкой жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 1. С. 152-164.
6. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие и деформация капель // Инж.-физ. журнал. 2001. Т 74. № 3. С. 155-160.
7. Мартынов С.И., Пронькина Т.В. Численное моделирование осаждения составных капель эмульсии // Системы управления и информационные технологии. 2009. № 3.2(37). С. 267-271.
8. Мартынов С.И., Пронькина Т.В. Составная капля эмульсии в однородном потоке вязкой жидкости // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2010. № 2. С. 85-93.
9. Коновалова Н.И., Мартынов С.И. Динамика магнитных частиц в вязкой жидкости // Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009. № 3(11). С. 2-10.
10. Борискина И.П., Мартынов С.И. Влияние гидродинамического взаимодействия на движение частиц в идеальной жидкости // Тр. Средневолжского математического об-ва. 2003. Т. 5. № 1. С. 93-97.
11. Баранов В.Е., Мартынов С.И. Моделирование динамики частиц в вязкой жидкости при наличии плоской стенки //Ж. вычисл. математики и мат. физики. 2010. Т. 50. № 9. С. 16691686.
12. Коновалова Н.И., Мартынов С.И. Обтекание двух сфер нестационарным потоком вязкой жидкости // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4. № 4. С. 467-481.
13. Коновалова Н.И., Мартынов С.И. Моделирование динамики частиц в быстропеременном потоке вязкой жидкости //Ж. вычисл. математики и мат. физики. 2012. Т 52. № 12. С. 2247-2259.
14. Durlofsky L.J., Brady J.F., Bossis G. Dynamic simulation of hydrodynamically interacting particles // J. Fluid Mech. 1987. V. 180. P. 21-49.
15. Ganatos P., Pfeffer R., Weinbaum S. A numerical solution technique for three-dimensional Stokes flows, with application to the motion of strongly interacting spheres in a plane // J. Fluid Mech. 1978. V. 84. P. 79-111.
16. Zhao Y, Davis R.H. Interactions of two touching spheres in a viscous fluid // Chem. Eng. Sci. 2002. V. 57. P. 1997-2006.
17. Stimson M., Jeffrey G.B. The motion of two spheres in a viscous fluid // Proc. Roy. Soc. 1926. Ser. A. V. 111. P. 110-116.
18. Serrin J. Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics// Handbuchder
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.