КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2013, том 51, № 4, с. 323-337
УДК 531.4
ЗАМКНУТАЯ ФОРМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О БЫСТРОМ ВРАЩЕНИИ ТРЕХОСНОГО СПУТНИКА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГРАВИТАЦИОННОГО
МОМЕНТА
© 2013 г. Мартин Лара1, Себастьян Феррер2
1Columnas de Hércules 1, Испания 2Grupo de Dinámica Espacial, Universidad de Murcia, Испания Поступила в редакцию 03.05.2012 г.
Исследуется быстрое вращение трехосного спутника, возмущенное гравитационным моментом. Гамильтониан задачи Эйлера—Пуансо можно представить в разных переменных. Независимо от их выбора, гамильтониан приводится к каноническим переменным, удобным для исследования возмущенного движения, по существу одним и тем же преобразованием. Два последовательных канонических преобразования выделяют из возмущенного движения его вековую часть. В предлагаемой работе вековой член гамильтониана и преобразования усреднения получены в замкнутой форме как функции "коэффициента трехосности". Решение, выраженное через эллиптические функции и интегралы Якоби, справедливо для нерезонансных вращений в предположении, что скорость вращения намного больше угловой скорости орбитального движения и скорости прецессии.
Б01: 10.7868/80023420613040055
1. ВВЕДЕНИЕ
Движение искусственного спутника вокруг его центра масс приближенно описывается как вращение твердого тела, не подверженного влиянию внешних моментов. Возмущения, действующие на спутник [4], обычно малы, но со временем их влияние может накапливаться и существенно изменять характер вращения. Поэтому качество приближения движения свободным вращением быстро ухудшается со временем.
Для интегрирования уравнений возмущенного вращения обычно используют численные методы, но приближенные аналитические решения дают более глубокое понимание качественных особенностей движения. Поэтому первые аналитические теории были разработаны еще в самом начале космической эры [8, 17, 30]. Аналитические решения строятся как возмущения свободного вращения твердого тела, причем среди возмущающих факторов гравитационный момент обычно доминирует. Методы теории возмущений успешно используются как в аналитических теориях, так и для построения высокоэффективных численных алгоритмов [22].
Вращательное движение можно изучать в переменных, соответствующих разным представлениям трехмерной группы вращений. На практике чаще всего используются углы Эйлера, их подстановки и кватернионы. Выбор представления зависит от предполагаемого применения теории: будет ли это расчет траекторий пассивного дви-
жения, управление ориентацией или определение ориентации [29]. В процессе построения аналитической теории необходимо решить уравнение в частных производных, т.н. гомологическое уравнение. Частные производные производящих функций возникают при вычислении скобок Пуассона от гамильтониана невозмущенной задачи. Успех исследования в большой мере определяется выбором переменных. Например, углы Эйлера дают естественное описание вращательного движения, но приводят к неоправданному усложнению гомологического уравнения, поскольку гамильтониан задачи Эйлера—Пуансо, записанный в углах Эйлера, зависит от двух углов и трех сопряженных импульсов. Тот же гамильтониан, записанный в переменных Андуайе (1923), связанных с мгновенным вектором момента количества движения и с его нормальной плоскостью, имеет только одну степень свободы.
В частном случае динамически осесимметрич-ного твердого тела переменные Андуайе сводят гамильтониан к функции от обобщенных импульсов. Благодаря этому они очень удобны для построения возмущенных решений. Если динамическая симметрия нарушена незначительно, то гамильтониан можно представить в виде суммы осесимметрической части и малого возмущения. Обычная процедура метода возмущений действует и в этом случае и приводит к решениям, которые выражаются через тригонометрические функции [15, 31, 32].
В общем случае отклонение о т осевой симметрии не мало, и предпочтительно использование переменных, допускающих полное приведение гамильтониана Эйлера—Пуансо. Классический подход, основанный на процедуре Гамильтона— Якоби, позволяет преобразовать гамильтониан к переменным типа действие [16]. Насколько нам известно, Ю.А. Садов (1970) первым сумел выполнить это преобразование в общем случае. Приблизительно тогда же Хитцль и Брекуэлл (1971), не знавшие о работе Садова, выполнили усреднение гамильтониана в переменных Анду-айе. Позже Киношита (1972) использовал этот результат как промежуточный этап при выводе своих переменных типа действие-угол. Недавно было высказано предположение, что все решения задачи Эйлера—Пуансо, вероятно, входят в семейство преобразований, основанных на процедуре Гамильтона—Якоби.
Целью своей работы Киношита видел теорию вращения Земли, поэтому он удовлетворился разложением преобразования из переменных Анду-айе в переменные действие—угол в ряд по степеням коэффициента трехосности. Этот подход вполне оправдан, поскольку фигура Земли очень близка к эллипсоиду вращения, так что отклонение от осевой симметрии можно считать возмущением. Другой способ состоит в разложении переменных Андуайе и применении к нему стандартных преобразований Ли [12, 23].
Случай, когда отклонение от осевой симметрии не мало, требует других подходов. Тот факт, что интегрирование уравнений задачи Эйлера— Пуансо приводит к эллиптическим интегралам, существенно усложняет учет возмущений. Для преодоления этих сложностей в возмущающей функции эллиптические тета-функции обычно заменяют их Фурье-разложениями [3, 21, 26, 28]. Однако в некоторых случаях можно обойтись без этого разложения и получить решение в замкнутой форме. Таков, например, случай быстро вращающегося спутника, которым мы и будем заниматься.
Асимптотический случай быстрого вращения предполагает, что угловая скорость спутника велика по сравнению с угловой скоростью орбитального движения. Предполагается также, что центр масс спутника движется по кеплеровой эллиптической орбите вокруг притягивающего центра, а спутник имеет размеры, намного меньшие, чем орбита, так что возмущающий потенциал можно принять в приближении МакКаллаха (МасСиПа^, 1840). В этих упрощающих предположениях удалось получить выражение для векового члена в форме, конечной по коэффициенту трехосности [18, 30]. Мы продвинулись дальше на этом направлении и получили конечные уравне-
ния для определения периодических членов возмущенного вращения.
Статья организована следующим образом. Сначала мы напоминаем, как гамильтониан задачи Эйлера—Пуансо, записанный в переменных Андуайе, приводится к нормальной форме методом Гамильтона—Якоби. Мы показываем, что решение невозмущенной задачи выражается через неполные эллиптические интегралы 1-го и 3-го родов.
Полное приведение выполнено в общем виде, не требующем априорного задания формы приведенного гамильтониана, т.е. алгоритм применим к любому каноническому преобразованию, выводимому из уравнения Гамильтона—Якоби. Более того, поскольку преобразованному гамильтониану можно придать стандартную форму функции от модуля эллиптических интегралов (в дальнейшем для краткости называемого эллиптическим модулем), мы параметризовали с его помощью семейство канонических преобразований, выводимых из уравнения Гамильтона—Якоби.
Далее выводится силовая функция возмущающего гравитационного момента и обсуждаются упрощения, вносимые предположением о быстром вращении. Гамильтониану возмущенного движения быстро вращающегося спутника придана общая форма, записанная через эллиптические функции Якоби. Любое преобразование, принадлежащее вышеупомянутому семейству, обеспечивает полное приведение гамильтониана.
Уравнения быстрого вращения интегрируются в первом приближении по степеням гравитационного возмущающего момента с помощью преобразований Ли. Решение выражается конечной функцией от эллиптического модуля. Порождающая функция выражается через дзета-функцию Якоби. Мы используем это обстоятельство, чтобы показать, как преобразование к переменным, не относящимся к типу действие-угол, вводит в преобразование смешанные члены, содержащие вековую и периодическую части. Все выражения достаточно компактны, хотя и требуют вычисления полных и неполных эллиптических интегралов первого и второго родов в дополнение к эллиптическим функциям Якоби и дзета-функции Якоби.
В заключение мы приводим в качестве примера траектории вращательного движения, вычисленные для спутника с такими же орбитальными параметрами и инерционно-массовыми характеристиками, как у спутника ПЕГАС-А.
2. ГАМИЛЬТОНИАН НУЛЕВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ: ПЕРЕМЕННЫЕ АНДУАЙЕ И ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ-УГОЛ
В задачах о возмущенном вращении в качестве нулевого приближения обычно рассматривается свободное вращение твердого тела вокруг центра масс. Для дальнейшего удобно записать гамильтониан нулевого приближения через переменные Андуайе [1].
Пусть А < В < С означают главные центральные моменты инерции тела. Введем жестко связанную с ним систему координат, направив координатные оси по главным осям инерции. Тогда гамильтониан свободного вращения будет иметь вид [9]
Н _ (бШ2у + ео^М И2 - N + N
V А
В
2С'
(1)
сконструированным переменным действие—угол. Такое преобразование можно осуществить в общем виде. Соответствующие уравнения Гамиль-тона—Якоби порождают целое семейство преобразований [13]. Ниже мы напомним основы метода, проделаем необходимые выкладки и покажем, что полученное преобразование содержится в общем семействе.
А. Приведение по методу Гамильтона—Якоби. Будем искать каноническое преобразование Т: (к, ц, V, Л, М, N ^ (€, 8, к, Ь, О, Н), превращающее (1) в гамильтониан Ф = Ф(Ь, О). Искомое преобразование можно получить из порождающей функции Б = Б(ц, V, Ь, О) такой, что
(€, Я, И, И) _
дБ
д(Ь, в, ц, V)
(2)
где (X, ц, V, Л, М, Щ — переменные Андуайе: угол X определяет положение линии узлов плоскости П, ортогональной вектору кинетического момента, на плоскости хоу инерциальной системы координат. Ему сопряжен импульс Л = Мсоб/, причем М обозначает модуль кинетического момента, /-наклонение плоскости П к плоскости хоу. Положение экваториальной плоскости связанной тройки осей по отношению к плоскости
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.