АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2009, том 43, № 3, с. 230-239
УДК 521.172:531.011,521.18
ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ ДВУПЛАНЕТНЫХ СИСТЕМ
ПО МАССАМ ПЛАНЕТ
© 2009 г. Э. Д. Кузнецов1, К. В. Холшевников2
1Уральский государственный университет, Екатеринбург 2Санкт-Петербургский государственный университет Поступила в редакцию 19.01.2009 г.
Методом осреднения исследована устойчивость по Лагранжу двупланетных систем Солнце-Юпитер-Сатурн и 47 UMa на интервале времени 106 лет. При увеличении масс Юпитера и Сатурна в 19 раз возможны тесные сближения этих планет. Исследование устойчивости по Лагранжу при последовательном увеличении масс позволяет получить верхнюю оценку возможных масс внесолнеч-ных планет. В планетной системе 47 UMa тесные сближения возможны при увеличении минимальных масс в 38 раз. Сближения обнаруживаются при анализе оскулирующих элементов, в средних элементах сближений нет. Изучены резонансные свойства шести внесолнечных двупланетных систем, в которых внешняя планета менее массивна, чем внутренняя. Значения больших полуосей орбит планет в системах HD 82943 и HD 73526 лежат в зоне узкого резонанса, в системах 47 UMa, ц Ara, HD 108874 - в области широкого резонанса. В системе HD 12661 резонансов низкого порядка не обнаружено.
PACS: 95.10.Ce
ВВЕДЕНИЕ
Изучение орбитальной эволюции планетных систем является одной из фундаментальных задач небесной механики. Обзор исследований по орбитальной эволюции больших планет Солнечной системы выполнен в работе (Холшевников, Кузнецов, 2007).
В данной статье мы продолжаем исследование орбитальной эволюции слабовозмущенных двупланетных систем, начатое в работах (Холшевников и др., 2001; 2002) и (Кузнецов, Холшевников, 2004; 2006; 2009). Основное внимание уделяется исследованию устойчивости в зависимости от масс планет с учетом возможных резонансов средних движений. Под устойчивым будем понимать такое поведение системы, при котором оскулирующие эллипсы на космогонических временах остаются в границах, препятствующих тесным сближениям, причем афелийное расстояние первой от своего солнца планеты остается меньшим перигелийного расстояния второй планеты с некоторым запасом, определяемым радиусом сферы действия более массивной планеты. Это определение выделяет один из видов устойчивости по Лагранжу.
Опишем кратко методику исследования, использованную в вышеперечисленных работах. Положения планет описываются в координатах Якоби (Субботин, 1968). Используется система близких к кеплеровым оскулирующих элементов. Все позиционные элементы малы и безразмерны:
а = (а - а0)/а0, е, I = 8т(//2), а угловые являются
долготами: а = I + g + О, в = g + О, у = О. Здесь а, а0, е, I, I, g, О - большая полуось и ее некоторое среднее значение, эксцентриситет, наклон к фиксированной плоскости, близкой к неизменной плоскости Лапласа, средняя аномалия, аргумент перицентра, долгота восходящего узла. Возмущающий гамильтониан представлен рядом Пуассона (ряд Фурье по всем угловым переменным с коэффициентами в виде ряда Тейлора по всем позиционным переменным). Используются разложения с символьными параметрами (Кузнецов, Холшевников, 2004; 2006; 2009), т.е. для всех элементов орбит и масс сохранены буквенные выражения, что позволяет работать с произвольными планетными системами. Применяется метод осреднения в форме Хори-Депри (Холшевников, 1985). Осредненные уравнения движения интегрируются численно. Аналитически вычисляются разности оскулирующих и средних элементов как функции от последних и нормы этих разностей.
В планетных системах основную роль в сохранении устойчивости движения играет иерархия масс. Масса Юпитера на три порядка меньше солнечной. Масса Сатурна еще в три раза меньше. Каков запас устойчивости Солнечной системы по массам при сохранении в начальный момент положения в фазовом пространстве? Для простоты ограничимся случаем двух планет, Юпитера и Сатурна. Масса Урана, который вдвое дальше Сатурна от Солнца, составляет 15% от массы Сатурна, а Нептуна, еще в полтора раза более далекого, - 18%. Массы планет земной группы существенно меньше. Так что дву-
планетное приближение вполне приемлемо для выяснения качественной картины движения.
Вероятно, подобная картина наблюдается в большинстве внесолнечных планетных систем. Действительно, из 283 открытых к декабрю 2008 г. планетных систем лишь у 35 известно более одной планеты, из них у 12 обнаружено более 2 планет. Безусловно, это - эффект селекции. Скорее всего, массы остальных планет малы, так что в большинстве случаев допустимо двупланетное приближение. В дальнейшем можно распространить исследования и на многопланетные системы.
Основной метод, используемый при поиске вне-солнечных планет, - метод лучевых скоростей - не позволяет определить массу m планеты, а дает лишь оценку произведения msini, где i - наклон орбиты к картинной плоскости, т.е. угол между лучом "наблюдатель - центр масс системы" и вектором площадей (Кузнецов, Холшевников, 2002). Естественно предположить, что все или почти все неустойчивые системы распались, мы наблюдаем лишь устойчивые движения (принцип Н.Г. Четаева, см. (Четаев, 1962; с. 245)). В настоящей работе мы интегрируем уравнения движения тем же методом Хо-ри-Депри, который был применен к системе Солнце-Юпитер-Сатурн, последовательно увеличивая массы планет до тех пор, пока система не распадется. Таким путем получается верхняя граница возможных масс планет (и нижняя граница угла i), что важно для астрофизики. Насколько нам известно, впервые подобный подход для оценки масс экзопла-нет сверху был применен в работе (Ito и Miama, 2000) к системе и And.
Замечание. Уравнения движения в осреднен-ных элементах интегрировались численно на интервале времени 106 лет. Этого достаточно для обнаружения неустойчивости. Однако нет полной гарантии, что устойчивое на этом интервале времени движение останется таковым и в дальнейшем. Таким образом, наши выводы о распаде системы при больших массах можно считать доказанными, тогда как утверждения об устойчивости при меньших массах следует принимать с такой оговоркой: движение устойчиво на указанном интервале времени, и отсутствуют признаки неустойчивости на больших временах.
ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ СОЛНЦЕ-ЮПИТЕР-САТУРН: ВАРЬИРОВАНИЕ МАСС ПЛАНЕТ
В работах (Nacozy 1976; 1977) с помощью численного интегрирования на интервале времени 105 лет исследована эволюция двупланетной системы Солнце-Юпитер-Сатурн для случая, когда массы планет увеличены в % раз. Использовались два набора начальных данных. В первом при варьировании параметра % сохранялись начальные
значения больших полуосей орбит Юпитера и Сатурна, во втором - начальное отношение их средних движений. Оба варианта показали схожие результаты. Двупланетная система остается устойчивой до значения % = 29. При % > 29 наступает резкий переход к неустойчивости. При % = 29.25 вековые возмущения появляются во всех элементах орбит и происходит выброс Сатурна из системы за время 104 лет.
Для исследования поведения системы на космогонических временах часто применяют метод осреднения. В работе (Сухотин, Холшевников, 1986) для двупланетной системы Солнце-Юпитер-Сатурн методом Альфана-Горячева получены осредненные уравнения движения и выполнено их численное интегрирование при массах планет, увеличенных в % раз. Найдено, что афелийное расстояние орбиты Юпитера превышает перигелийное расстояние орбиты Сатурна при % = 99.1, что существенно превышает оценку % = 29, полученную в цитированных работах Nacozy. Сделан вывод (как оказалось, неверный), что осреднение довольно сильно приукрашивает картину движения в следующем смысле: область возможных значений масс планет, при которых сохраняется устойчивость, становится намного шире.
В настоящей работе при анализе устойчивости также используется осреднение по быстрым переменным (средним долготам). В отличие от схемы (Сухотин, Холшевников, 1986) разложения доведены до второй степени по малому параметру и, главное, проведен возврат от средних к оску-лирующим элементам, что существенно изменило картину движения.
Предварительно в наших работах (Кузнецов, Холшевников, 2004; 2006) с помощью рациональной версии эшелонированного пуассоновского процессора EPSP (Ivanova, 2001) методом Хори-Депри были получены разложения осредненного гамильтониана H0 + цН1 + ц2Н2, производящей функции ц7\ + ц2Т2 и правых частей уравнений движения в средних элементах для двупланетной задачи с точностью до второй степени малого параметра ц. За последний взято значение ц = 10-3, близкое к отношению массы Юпитера к массе Солнца. В разложениях сохранены в символьном виде параметры, определяющие основные характеристики системы: малый параметр, массы планет, средние значения больших полуосей орбит планет. С помощью этих разложений здесь исследована устойчивость по Лагранжу двупланетной системы Солнце-Юпитер-Сатурн при варьировании масс планет по методу Накози.
Осредненные уравнения движения для двупла-нетной системы Солнце-Юпитер-Сатурн интегрировались численно методом Эверхарта 15 порядка (Everhart, 1974) на интервале времени 106 лет.
Таблица 1. Элементы орбит Юпитера и Сатурна в системе координат Якоби, отнесенные к эклиптике и равноденствию 12000.0, на эпоху ГО2451545.0
Эле-
менты Юпитер Сатурн
орбиты
а, а. е. 5.180251657371911 9.537772115117789
е 0.04612072144971203 0.05300214774332714
I, град 1.304244457671266 2.485920201168172
а,град 34.35262572836114 50.01825047394624
в, град 13.81883121562768 92.33558314553019
У град 100.4850488754535 113.6520425009415
Таблица 2. Минимальные значения разностей расстояний для системы Солнце-Юпитер-Сатурн (в а. е.)
X Ar° Arm Ar o
2 3.31 3.36 3.70 0.42
5 3.10 3.22 3.56 0.61
10 2.66 3.04 3.20 0.81
15 1.74 2.82 2.53 0.95
16 1.39 2.77 2.27 0.97
17 0.89 2.71 1.64 0.99
18 0.14 2.64 0.93 1.02
19 -1.13 2.55 0.21 1.04
Элемент 47 UMa b 47 UMa c
a, а. е. 2.13(12) 3.79(24)
e 0.061(14) 0.00(12)
g, град 172(15) 127(56)
T0, JD 2450365(34) 2451360(500)
m sin i, mj 2.63(23) 0.79(13)
к элементам орбит Юпитера и Сатурна в системе координат Якоби (табл. 1). Перед началом численного интегри
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.