ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 9, с. 771-783
= ТОКАМАКИ
УДК 533.9
"ЖЕСТКОСТЬ" И "ТВЕРДОСТЬ" ПРОФИЛЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
В ТОКАМАКЕ
© 2004 г. Ю. Н. Днестровский, А. Ю. Днестровский, С. Е. Лысенко
РНЦ "Курчатовский институт", Институт ядерного синтеза Поступила в редакцию 30.10.2003 г.
Окончательный вариант получен 08.01.2004 г.
Вводятся и формализуются понятия жесткости и твердости профиля температуры в токамаке. Под жесткостью понимается сохранение профиля при изменении плотности плазмы, граничной температуры и мощности нагрева, под твердостью - сильная зависимость центральной температуры от граничной. Аналитические оценки и численные расчеты для модели с критическими градиентами показывают, что при низкой граничной температуре (L-мода) профили, как правило, являются жесткими, но не твердыми. В Я-моде при достаточно большом пьедестале температуры существует диапазон параметров, в котором профили являются и жесткими, и твердыми. Однако при слишком большой температуре пьедестала и плоском профиле вводимой мощности профиль температуры может потерять и твердость, и жесткость. Такое поведение профиля температуры электронов наблюдается в ряде импульсов с Я-модой и большой плотностью на установках DIII-D и JET. Проводится также анализ жесткости и твердости профиля температуры в установках MAST и Т-10.
1. ВВЕДЕНИЕ
Сохранение профилей температуры в токамаке отмечалось много раз, начиная с известной работы Б. Коппи [1]. До последнего времени по ряду причин обсуждался только профиль электронной температуры. Однако недавно на установке АББЕХ-И в нескольких режимах были прослежены профили температуры как электронов, так и ионов [2]. Еще раз было подтверждено, что относительные профили температуры сохраняются при сильном изменении параметров плазмы. По-видимому, в первый раз отмечено, что профили температуры ионов сохраняются даже лучше, чем профили температуры электронов.
Помимо понятия "сохранения формы профиля" в литературе часто используется понятие "жесткости" профиля. К сожалению, это понятие однозначно не определено. Чаще всего под жесткостью понимают все то же сохранение относительной формы профиля при изменении условий разряда. Однако иногда говорят, что профиль является жестким, если абсолютные значения температуры внутри шнура пропорциональны граничной температуре. Это определение жесткости на самом деле не эквивалентно первому определению. Оба определения эквивалентны, если относительный профиль сохраняется по всему сечению шнура вплоть до границы. Однако в эксперименте сохранение профиля, как правило, отмечается лишь в так называемой "градиентной зоне" 0.4а < г < 0.8а, где а - малый радиус плазмы. В периферийной зоне г > 0.8а может существовать переходный слой [3], в котором связь между профилем температуры внутри плазмы и гранич-
ными условиями нарушается. Для краткости в настоящей работе свойство плазмы сохранять профиль температуры мы будем называть "жесткостью профиля" или просто "жесткостью", а сильную связь абсолютных значений температуры в центре шнура с ее граничными значениями -"твердостью профиля" или "твердостью". Более точные определения будут даны ниже.
В транспортных моделях для описания эффекта сохранения формы профиля температуры используют понятие "критического градиента". При превышении градиента над критическим поток тепла резко возрастает, поэтому профиль температуры мало изменяется. Для определения критического градиента используются разные подходы. В [4] критический градиент определяется границей устойчивости дрейфовых колебаний (ITG, ETG или TEM мод). В наших работах [5, 6] критический градиент связывается с каноническими профилями температуры и тока, определяемыми через минимум функционала свободной энергии плазмы.
Настоящая работа посвящена выяснению условий появления свойств жесткости и твердости профилей температуры электронов и ионов. Сначала в разд. 2 даются более строгие определения этих понятий. Затем в разд. 3 рассматриваются примеры для транспортной модели с критическим градиентом [6] при разных профилях вложенной мощности. Здесь выясняются условия сохранения жесткости и твердости профиля температуры. В разд. 4 проводится численное моделирование ограничений на жесткость на примере установок с параметрами Т-10 и MAST. В последнем параграфе раз-
температура 1.00
0.66
T0 + Ta
To
2T0 R = 1 абсолютно твердый
R = 0.4
К Ч ^^^/УУУУУУУ^Уу./ "■»«. -«. ////./Уч.
^//У//
начальный ^
R << 1 абсолютно мягкий 1 1 1 • |
2Ta
Ta
0.5
1.0
радиус
мы, ее геометрии и профиля вложенной мощности [7]. При переходе от пикированного к плоскому профилю вложенной мощности величина 5 уменьшается. В частности, для АББЕХ-И в Н-мо-де 5, ~ 2.3, 5е ~ 5 [2]. Основания для выбора отношения (1) в качестве исходного для определения жесткости будут обсуждаться ниже в разделе 3.1.3.
Понятие твердости профиля связано с зависимостью температуры в центре шнура Т0 = Т(г = 0) от граничной температуры Та = Т(г = а). Удобно ввести коэффициент твердости
R = (Ta IT0)dT0ldTa
(2)
Рис. 1. Что случится с профилем, если увеличить граничную температуру Та в 2 раза? Если профиль абсолютно мягкий, то центральная температура поднимется на Та, если профиль абсолютно твердый, центральная температура удвоится. Область твердых профилей заштрихована.
дела моделируются экспериментальные разряды установок DIII-D и JET с Я-режимом и большой плотностью. Показано, что в этих разрядах жесткость и твердость профиля температуры электронов разрушены. В Заключении обсуждаются пределы значений параметров плазмы, при которых можно ожидать появления или разрушения эффектов жесткости и твердости.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ И ТВЕРДОСТИ ПРОФИЛЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
Для определения жесткости профиля введем коэффициент жесткости
S = (T(r = 0.4a) - Ta)|(T(r = 0.8a) - Ta). (1)
Здесь T - температура электронов или ионов, Ta = T(r = a) - температура данного сорта частиц на границе. В дальнейшем все определения и формулы могут относиться как к электронам, так и ионам.
Профиль температуры мы будем называть жестким (stiff), если отношение (1) слабо зависит от плотности плазмы n, величины вложенной мощности Ptot и граничного условия Ta.
Выбор точки r = 0.4a в (1) связан с тем, что в области r < 0.4a профиль температуры часто возмущен пилообразными колебаниями. Выбор точки r = 0.8a определен существованием переходной ("мягкой") области на периферии плазмы, о чем говорилось во Введении. Внутреннюю область 0.4a < r < 0.8a часто называют градиентной зоной. Отношение (1) содержит значения температур на границах градиентной зоны. Абсолютная величина этого отношения может зависеть от тока плаз-
Жесткий профиль температуры будем называть твердым (rigid), если величина R удовлетворяет условию
R > R0 = 0.4. (3)
Интегрируя (2) относительно T0, получаем
To = CTR (4)
Профиль твердый, если показатель удовлетворяет условию (3). Абсолютное значение R зависит от многих факторов: величины граничной температуры, абсолютного значения и профиля вложенной мощности, геометрии плазмы. Мы увидим в дальнейшем на примерах, что при малой граничной температуре условие (3) не выполняется и профиль температуры не является твердым.
Рис. 1 иллюстрирует понятие твердости профиля. Здесь показано возможное изменение профиля температуры для разных коэффициентов твердости R при увеличении граничной температуры Ta в два раза. Если профиль "мягкий", так что R <§ 1, то можно ожидать, что центральная температура T0 увеличится на ту же величину, что и граничная: 5T0 = 5Ta ("абсолютно мягкий" профиль на рис. 1). Если профиль "абсолютно твердый" (R = 1), то, в силу (4), центральная температура линейно зависит от граничной. Область твердых профилей, для которых выполняется неравенство (3), на рис. 1 заштрихована.
3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ОБЛАСТИ ЖЕСТКОСТИ И ТВЕРДОСТИ
3.1. Линеаризованное уравнение с критическим градиентом для температуры
В качестве примера рассмотрим уравнение для плазменного шнура с круглым сечением радиуса а и большим радиусом Я. Под температурой Т будем понимать температуру электронов, хотя все, о чем говорится ниже, относится и к температуре ионов. Выражение для потока тепла Г, содержа-
0
щее критическим градиент, имеет следующий вид [6]
-Г = к[ dTI dr - (dTc/dr) TITc ] + к0 dTI dr. (5)
Здесь к и к - коэффициенты основной и фоновой теплопроводности (к > Kq), Tc - канонический профиль температуры, r - радиальная координата. Фоновая теплопроводность Kq включает в себя как неоклассическую теплопроводность, так и аномальную теплопроводность, не связанную с критическими градиентами. Заметим, что выражение для потока (5) допускает пинч тепла. Если градиент dT/dr станет меньше критического (dTC /dr) T/Tc, то поток (5) может поменять знак. Более подробно эта проблема обсуждается в разделе 3.2. Введем безразмерный критический градиент Qc = R/LTc = -R/TCdTC /dr и безразмерную координату р = r/a. Тогда выражение для потока (5) примет вид
-Г = ((к + KQ)/a)[dT/dp + KT], (6)
где
K = (к/(к + Kq))Kq, Kq = Qc /A (K < Kq), (7)
A = R/a - аспектное отношение. Параметр K описывает скорость экспоненциального нарастания решения от границы плазмы к центру. В настоящем разделе мы предполагаем, что к, к0 и K постоянны по сечению и не зависят от T. Тогда стационарное уравнение для температуры в пренебрежении тороидальными поправками в выражении для дивергенции и обменным членом между ионами и электронами примет вид
-(1/p)d/dp{p(K + K0)/a2[dT/dp + KT]} = P, (8)
где
P = P(p) = Pq f(р)
(9)
- плотность вложенной мощности, f(p) - безразмерная функция,
Pq = Ptot/(2VF(1)), (10)
F(p) = J f (р' )р' dp',
(11)
Р1о1 - полная вложенная мощность, V - объем плазмы. При сделанных предположениях уравнение (8) линейно. Интегрируя его один раз, будем иметь
где
dT/dp + KT = -T *, T * = T* g(p)
(12) (13)
- характерная температура, определяемая величиной и профилем вложенной мощности и теплопроводностью,
T* = Ptotl (R (к + Ко)(2 п)2), (14)
g (Р) = Ptot(p) I (Р Ptot), ( g( 0 ) = 0, g( 1 ) = 1 ),
(15)
P
It (р) = J PdV = Ptot F(p) IF (1)
- мощность, вложенная внутри радиуса р. В си
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.