МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2015
УДК 532.529:534.2
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ЖИДКОСТЯХ С ПОЛИДИСПЕРСНЫМИ ПАРОГАЗОВЫМИ И ГАЗОВЫМИ ПУЗЫРЬКАМИ
© 2015 г. Д. А. ГУБАЙДУЛЛИН, Ю. В. ФЕДОРОВ
Казанский научный центр РАН, Институт механики и машиностроения, Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань e-mail:gubajdullin@mail.knc.ru, kopperfildd@ya.ru
Поступила в редакцию 13.05.2014 г.
Представлена математическая модель, определяющая распространение звуковых волн в двухфракционной смеси жидкости с полидисперсными парогазовыми и газовыми пузырьками с учетом фазовых превращений. Записана система интегро-дифференциальных уравнений возмущенного движения двухфазной смеси, получено дисперсионное соотношение, найдена равновесная скорость звука. Показано, что с увеличением концентрации пара равновесная скорость звука уменьшается. Представлено сравнение теории с существующими экспериментальными данными для фазовой скорости в воде с пузырьками пара и в смеси фреона с пузырьками пара.
Ключевые слова: звуковые волны, пузырьковая жидкость, дисперсионное соотношение, мас-сообмен.
Известно, что присутствие пузырьков пара или газа в жидкости существенно меняет ее акустические свойства. Имеется значительное количество работ, посвященных теоретическому исследованию распространения гармонических возмущений в таких смесях. Различные проблемы акустики смесей жидкостей с пузырьками газа или пара рассмотрены в известных монографиях [1, 2]. Описанию основных особенностей двухфазных сред пузырьковой структуры посвящена работа [3]. Здесь приведен обзор результатов исследований распространения волн в жидкостях с пузырьками постоянной массы и работ по волновой динамике жидкостей, содержащих пузырьки пара или растворимого газа. В [4] для смеси жидкости с газовыми пузырьками получена дисперсионная зависимость волнового числа от частоты колебаний и теплофизических свойств фаз в случае плоских волн, показана необходимость учета сжимаемости несущей фазы для задач акустики пузырьковых жидкостей.
Задача о распространении малых возмущений в жидкости с полидисперсными пузырьками газа в той или иной постановке исследована в [5—9], а с монодисперсными пузырьками пара — в [10—13].
Результаты экспериментальных измерений скорости звука в смеси воды с пузырьками пара приведены в [14] и в смеси фреона с пузырьками пара — в [15]. Сравнение эксперимента и теории проведено в [12, 13].
В работе [16] рассмотрены парогазовые пузырьки, совершающие малые радиальные колебания в жидкости под действием акустического поля. Показано, что капиллярные эффекты и фазовые переходы в совокупности приводят к новой резонансной частоте мелких паровых пузырьков, отличной от резонансной частоты Миннаэрта. В [17] получено дисперсионное соотношение, определяющее распространение гармонических возмущений в двухфазных смесях жидкости с пузырьками пара и газа для
сферических и цилиндрических волн. Показано сильное влияние концентрации пара в пузырьках на затухание импульса давления. В [18, 19] исследовано распространение акустических волн в двухфракционных смесях жидкости с монодисперсными парогазовыми и газовыми пузырьками различных размеров и разного состава с фазовыми превращениями.
В настоящей работе приводится обобщение модели [18] на случай полидисперсных фракций дисперсной фазы.
1. Основные уравнения. В системе координат, связанной с невозмущенной средой, линеаризованные уравнения сохранения массы, количества пузырей, импульса, энергии и пульсационного движения имеют вид [18], обобщенный на случай полидисперсных фракций дисперсной фазы с использованием описанной ранее процедуры [20]
dpi +р dU = Р20 /byz - ку\
дt 10 dx 1 -kyo\ тт Ia
dpy + dui = P20 /kh—ky\
dt dx 1 - kyo\ т m f a
dp2a dui = Pao /kyz - ky\ dp2b +P^ doi = 0
dt dx 1 - kyo\ т m ' dt dx
M + naQ M = 0, M + „b dUl = 0
d t dx dt dx
P10 W + M = 0 д t dx
VR = mJr^H) + mj, ma = mb = ^ (1.1)
dt \ TT1a / \ TT1b L P10 P10
ЛГТ71 a >~\ t Ь >~\ • mi mi
dRa = a20 dP2a + a - T>a dTb = a20 dP2b + b - T>b dt Pa0c2a dt TT2a dt pW dt TT2b
/Tj a - Tl\ + / Tj a - T2a\ = - l0 / kys - ky\ \ TT1a f \ TT2a f 1 - kV0 \ Tm j
\ TT1b lb \ TT2b lb da = + mka 1 /kh-k^
dt a 3 1 - ky0\ T m /a' w» = + WRa , wb = WAb + WR b
WA» = P2a -aP11/3, wAb = P2b -bP11/3
p°A(a20)' P°0C1(a20)'
drb ¥ = Wb
Г dWSi + 4Vl w _ P2a - Pi r dWRb + 4vi , _ a - Pi ra~--+-wR a _-, rb—--+-wR b _-
dt ra Po dt rb P°
g PlO b PlO
В качестве уравнений состояния будут использоваться следующие линеаризованные соотношения [21]
Pl = Ci2p1°, ^ = + ARakV + T2a, = Pl + T2b (1.2)
p0 p2a T0 p0 p°b T0
'0
Условие насыщенности пара на поверхности раздела фаз примем в виде [21]
Тм = Ekfc + Gp2a (1.3)
То Po
Введен следующий линейный оператор осреднения hj = -j J N0(rj)go(rj)hdrj, р2о = J N0(rj)go(rj)drj
P20 &rj &rj
/ \ 4 3 о 4 r min maxn / • go(rj) = 3P2j, Ar, = [rj , rj ], (j = а b)
Параметры межфазного взаимодействия в соответствии с работой [21] записываются следующим образом
_ _ 2cp1P2jrj _ _ 2c2jp2jrj2 , . _ b _ _ ^
Xnj _ ™ 1 ' XT2j _ ™-Ö-' ^J _ а'Ь'' Tm _ MI, n
3Nu1A1 3Nu2jA2j 3Sh1.D1
Rvо - Д?о e _ rvoRßo G _ ^ Rvо R2a Л2я R2a
-2а - куо^го + кв0Кв0 > - Р^> кв0 - > + кв0 - 1
р20 р20
_ Р10 а Ь ,
а10 - _~ , а10 + а 20 + а 20 - 1 Р10
с2а = + кв0срва , ^2а = + кв0^ва, С2Ь = СрвЬ
ООО а о
р2а - кУ0рУ0 + кв0рв0> р2а - а20р2а
Здесь и далее нижние индексы 1 и 2 относятся к параметрам жидкой и дисперсной фазы, V и в — относятся к паровому и газовому компонентам дисперсной фазы, £ — к поверхности раздела фаз. Штрихи обозначают возмущения параметров, 0 — начальное невозмущенное состояние. Переменные с индексом а относятся к парогазовым пузырькам радиуса га, с индексом Ь — к пузырькам газа радиуса гЬ, х — координата, I — время, р°, р — истинная и средняя плотность смеси, и1 — скорость, р — давление, п — число пузырьков в единице объема, ™ — скорость радиального движения пузырьков, а — объемное содержание, А — коэффициент теплопроводности, с — удельная теплоемкость, Ми — число Нуссельта, к — массовая концентрация компоненты дисперсной фазы, -V и -в — паровая и газовая постоянные, — безразмерный коэффициент массообмена или число Шервуда, 10 — удельная теплота парообразования, D1 — коэф-
фициент диффузии, №(га) и N (гь) — функции распределения пузырьков разных газов по размерам.
2. Дисперсионное соотношение. Исследуем решения ф' = {и', р1, р\, 'а •••} системы уравнений (1.1—1.3), имеющие вид прогрессивных волн
Ф' = А„ ехр['(К*х - ю?)]
(2.1)
Здесь К * = К + IК **, Ср = ю/К, ' = -1, где К *
комплексное волновое число,
К ** — линейный коэффициент затухания, Cp — фазовая скорость.
Подставляя решение в виде (2.1) в систему уравнений (1.1—1.3) и после некоторых математических действий, проводимых аналогично в работе [8], можно свести к промежуточной системе уравнений
С г, а о ь о Л о а о ь о
К - 3а20р10 - 3а20р10 I А + 3а20р10 А + 3а20р10 д _ о
г^ С I р1 С р2а С р2Ь
Яа Ль ) Яа Ль
К = ■
а10
С1 )
ю
Ъ =
Н] рю
1 + V;
, 4vl ,
к1 =~Т - 0 =
С1(а220)1/3
-АкУ =
_ I АкУ1 - АкУ
т т
Атул - А-
-АТ1 = ШаГ™а -ЛП) + ТУЬ —'Т1
1&%Т1а
АтуЬ — Ат
ттпь
АТ 2а =
а 20 а АТЪ а - АТ2а
- Ар2а
р20с2а
'®ТТ 2а
ь
А _ а 20 А
АТ 2Ь = ь Ар2Ь
р20с2Ь
А АТЫ - АТ 2ь АР2ь
I+ с2а \ '®тТ1а /а
i атеЬ - АТ1
ср1
гютпь
+ С2ь
1 ^ а Р0; Ар2а 3 ^а
V Яь Р0; Ар2ь 3 Яь
;ютт 2ь
АТХ а - АТ2а
2а
АТ£ ь - АТ2ь
'ЮХт2ь I ь (
к I АкУ1 - АкУ
к60 \ Ш
= 0
V
Ар1
Т 2а
АТ2ь
' Т0
АЯа + I АкУ = 0
АТЪ а _ Т7Л ,ГА
-0 Р0
р2а
а
Поскольку параметры жидкой фазы не зависят от радиуса пузырьков, справедливы следующие тождества
(АЛ)] - А<ь V1 = и1> Р\, Р1
Следовательно, чтобы вынести неизвестные амплитуды Лр2., Л.... из-под знака оператора осреднения (...)., нужно выразить их через амплитуды параметров жидкой фазы Лц 1 = иь Рl, Р1).
Таким образом, исключая неизвестные амплитуды и из условия существования у линейной системы уравнений нетривиального решения вида (2.1), получено следующее дисперсионное соотношение
2 = X + 3аа р 6а(Н8д + Нзи + Н) -П„ (1 - Н+ 2Ь) + С2 2 1 + ^ + 2Ъ
+ 3аЪ р ШН8Ъ + Н3Ъ + Н9а) - ~ (1 - Н4Ъ + ) (2 2)
2 1 + ^а + гъ
Н7уН2у Н2.
Н9] = НЦ + НЪ] + Н7], =—--Н4у, б/ = —
НИ + Н6. ТТ / Ца\ , з /
П. =~ ^ ^, Н1а = ЗТ^а^-—3-
Ни = 3Т0 (^М , Н2а = СрХУ1а , Н2Ъ = Ср1 ('Д \^Ъ'2Н Ъ
У = {12а)а у = К (11а)а (^1а)а
1
Нза = 3ШпТо\ ( ^ -^М У,а ^^
г2а/ а \^аг2а/а \^аг2а/а) /ЮТт1 .
Нзъ = -ЗтъТ
Н4а ^ ^ (1 - ^^
Н4Ъ = тъ {Нъ)ъ, Н5а = УъМьБ^
ЕТ0 \ '2а
Н5Ъ = (М^ъ)ъ, Н6а = У1аМ4а)а "
ЕТ0\ '2а
^2а/ а
Н6Ъ = (М4ъ}ъ, Н7а = №з£а)а - таУ1а ^
Н7Ъ = (М^ъ, Н8а = -(М^ + таУ2а (М*,)
а
а
3Т0 Т0
н8ь = - <ь, Ма = — - 70 - <2а I 1 - ^ I + 6-0 <2а
1 1 . 6—0
Яа р0 Ра0С2а ^ <2а) р0 ь
М2а = 6Т0?3а + ^ <2а , М1Ъ = 3—0 - 70
р0
Р20
Яь р0 Р20С2ь
- Г,
Ъ г
Л/Г а 20 * т '0 Ъ 3а
М 2ь =~^Пь, Ьа =--+ Ла-
Р20 к60 < 2а
Мик
,, 670 „
МЪа = Ша-0 ?1а - Ш,
р0 <2а
М4а = М,а -
2а
?3аМ-1а <2а
;ют„
М3ь = -Шь
М1ь?1ь ?2ь '
М4ь = М2ь -
2ь
ЬьМи ?2ь
L2a = 1 -
Ла < ш
ЕТ0 <2а
<21 =
1
1 - '
1(ЙХт 2}
<3у - ср1<1 у - с2/2у, -
Д-а + 1-Ша I —0
кв0
Выделим отдельно случай кУ0 = 1, к60 = 0, когда в жидкости имеются не парогазовые, а чисто паровые пузырьки. В этом случае, в дисперсионном соотношении (2.2) изменятся следующие величины
А- = 1, Уа =
V л Ша - 1
(<Ш/<2а1а
У2а =■
Е {¡0 + Т)(1 - Ша )<3а/<2а> а
(1 - Ш°)Т0
6 = 1
(¡0 + —0(1 - Шд )?3а/<2а>а
Поскольку величина E в выражениях сокращается, можно принять Е = 1. Выражение для равновесной скорости звука Се в двухфракционной смеси жидкости с полидисперсными парогазовыми и газовыми пузырьками получено из дисперсионного соотношения (2.2) при предельном переходе ю ^ 0, и имеет следующий вид
Се =
( \-1/2 + Р10 + ^2
С/ р0
^4
(2.3)
= к60Ш1(Е—0(а 20 + а 20) + 6Ла а20)
^2 = Ша'0(1 - 6)(а20 + а20)/ср1
^3 =
к6 0 р0 ср1
^ + Е(а а0 +а ь0)
70
+ Щь_
о о
^р2а р2ь
ш1 = 1 + "Ша + ^^, = ^к + ш1ЕТ0к60
<-р1
Ср1
В случае, когда паровая составляющая отсутствует, т.е. кУ0 ^ 0, 10 ^ 0, равновесная скорость звука (2.3) совпадает с полученным ранее в [8] выражением Ce.
Фиг. 1. Зависимости фазовой скорос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.