ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 5, 2013
УДК 531.72
© 2013 г. С. А. Назаров
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СПЕКТРА ЗАДАЧИ О ВОЛНАХ В ОГРАНИЧЕННОМ ОБЪЕМЕ ДВУХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ
Построена асимптотика собственных частот и воли на свободной поверхности и поверхности раздела двухслойной идеальной весомой жидкости в двух случаях: жидкость близка к однородной и верхний слой имеет незначительную плотность. Асимптотические формулы обоснованы при условии, что объем жидкости ограничен. Для задачи о поверхностных волнах, набегающих на погруженный или полупогруженный бесконечный цилиндр, указаны достаточные условия существования локализованных решений предельных задач, а также сформулирована гипотеза об обязательном захвате волны телом, не пересекающим обе поверхности.
1. Постановка задачи. Исследуются гармонические колебания двухслойной весомой идеальной несжимаемой жидкости в резервуаре конечных размеров. Компоненты жидкости считаются однородными и несмешиваемыми, а движение — малоамплитудным и безвихревым. В этих предположениях можно принять определяющие соотношения линейной теории поверхностных волн (см. [1, 2] и др.). Основная цель работы — изучение асимптотического поведения собственных частот при с ^ +0 и при с ^ 1 — 0; здесь 1 — с = = р0/р1 — отношение плотностей верхнего и нижнего слоев. Предельное значение е = 0 отвечает однородной жидкости, а при с = 1 верхний слой становится невесомым.
Настоящая работа инициирована статьями Н. Кузнецова [3—5], посвященными формальному асимптотическому анализу при в ^ +0 (впрочем, неполному: нет формулировки основной предельной задачи, которую нельзя извлечь из представленного материала) двумерной задачи о косом набегании волны на бесконечный цилиндр, погруженный в двухслойную жидкость, но не пересекающий внутреннюю поверхность раздела. Было обещано [3] обосновать асимптотические формулы, однако в течение 18 лет публикаций на эту тему не появилось. Поскольку рассматривается ограниченный резервуар, полученные далее результаты не позволяют устранить имеющийся пробел. Тем не менее, в заключительном разделе приведены предельные задачи, установлены достаточные условия существования в них захваченных волн (локализованных решений) и выдвинута гипотеза об обязательном захвате волн произвольным цилиндром при каком-то допредельном значении отношения р0/р1 е (0, 1).
Приведем математическую постановку задачи о колебаниях двухслойной жидкости в ограниченном объеме. Пусть О — область в евклидовом пространстве К3 с липшицевой
границей дО и компактным замыканием ^ = О и дО. Предположим, что область О лежит в нижнем полупространстве
К— = (х = (у, *)е К2 X к : * < 0}
и разделим поверхность дО на два подмножества 2 и Г0, причем Г0 с д К - — непустой открытый плоский участок, свободная поверхность верхнего слоя жидкости. Пусть еще С > 0 и
^1 = (х е^: *<-й, = (х е^: *>-й}, Г1 = (х е^: * =-й} (1.1)
Фиг. 1
Потенциал скоростей е-""'ф(х), описывающий гармонические во времени ? колебания жидкости, удовлетворяет уравнениям Лапласа
-руДфу(х) = 0, х е О; у = 0, 1 (1.2)
а также условиям непротекания (краевым условиям Неймана)
ф!(х) = 0, х е 1!; у = 0, 1 (1.3)
кинематическим условиям (спектральным условиям Стеклова)
Р0дгф0(г, 0) = р0^ф°(г, 0), х еГ0 (1.4)
Р0 (дгф0 (г, -й) - (г, -й)) = Р1(дгф1(г, -й) - ^ф1(г, -й)), х еГ1 (1.5)
и условию неразрывности на поверхности раздела
дгф0(г, -й) = дгф1 (г, -й), х е Г1 (1.6)
Здесь ф — сужение функции ф на множество О, — производная вдоль внешней нормали, определенная почти всюду на липшицевых поверхностях Е0 = 3О0\(Г0 и Г0) и
Е1 = 3О:\ Г1 (стенки и дно резервуара), X = £-1ю2 — спектральный параметр, ю > 0 — частота гармонических колебаний и g > 0 — ускорение свободного падения, а р1 — постоянная плотность жидкости в слое О. Гравитационная устойчивость положения жидкостей требует выполнения неравенства р0 < р:. Далее положим — 1 и р0 = р е (0, 1).
Оба множества О0 и О1 считаются областями с липшицевыми границами (фиг. 1, а), причем последнее требование является принципиальным (см. разд. 8), но рассмотрение ситуаций, изображенных на фиг. 1, б и в, не встречает осложнений, и требование связности множеств О0 и О1 введено исключительно для упрощения изложения. Отметим, что потенциал скоростей ф может претерпевать скачки на поверхности Г1, и это приходится учитывать при формировании асимптотических анзацев в разд. 3.
Сам формальный асимптотический анализ, представленный в разд. 3, весьма прост, но трудности возникают при обосновании асимптотик по нескольким причинам. Во-первых, из-за присутствия спектрального параметра в краевом условии нужна предварительная подготовка (введение следового оператора [6]; см. разд. 2) для применения аппарата теории самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Во-вторых, для того чтобы сделать задачу регулярно возмущенной при малых е или р, нужна перенормировка собственных чисел и функций (см. далее соотношения (3.5), (3.13) и (3.15)). В-третьих, в особой обработке нуждается серия собственных чисел задачи о волнах на поверхности однородной жидкости, порожденной предельным переходом е —> +0 (см. асимптотическую формулу (6.8) и комментарии к ней). Все препятствия преодолены в разд. 4—6 при помощи вариационной постановки задачи и предельного перехода в соответствующем интегральном тождестве, а также классической леммы о "почти собственных" числах и векторах (см. [7] и [8], гл. 6). Как ни странно, вариационная формулировка задачи о двухслойной жидкости впервые приведена только в статье [9].
В разд. 5 и 6 доказаны оценки погрешностей асимптотических приближений как для собственных чисел, так и для собственных функций. Отметим, что в случае малого р "расщепление" предельного кратного собственного числа происходит лишь в младших асимптотических членах, которые построены в конце разд. 3.
2. Вариационная постановка задачи и следовой оператор. Пусть И:(О) — пространство Соболева и И — пространство функций ф, сужения ф на О которых принадлежат И1(О) ( = 0, 1). В гильбертовом пространстве Н введем специфическое скалярное произведение [9]
<ф,у> = <ф,у> у + <ф, у> р (2.1)
<ф,у>у = £ р/Уф,УУ)ы (2.2)
у = 0,1
<ф, у>р = Р0(ф0, V0)г0 + (р1 - р0)-1 (р1ф1 - р0ф0, р1 V - р0^°)г (2.3)
Здесь V = §гаё, а ( , )п и ( , )г — натуральные скалярные произведения в пространствах Лебега Х2(О) и Х2(Г) соответственно. Нужное свойство положительности билинейной формы (2.1), симметричной по определению, следует из неравенств Стеклова—Пуанкаре
IIф!; Н(О)||2 < с/Цуф; Ь2(0)12 + ||ф!; ¿2(Гу)||2), у = 0, 1 (2.4)
и вытекающих из него, а также определений (2.1)—(2.3) и соотношений
II ф0 ; ¿2 (г0 ^ < с0 <ф, ф> р
Цф1; ¿2(Г1 )||2 < С1 (<ф, ф>р + ||ф0; ¿2(Г0)||2) < (2.5)
< С1«ф, ф>р + ||ф0; Н1(0°)||2) < С1 (<ф, ф>р + ||ф0; ¿2(0°)||2) < ^ <ф, ф>
Умножим уравнения (1.2) на гладкие пробные функции ^ и воспользуемся формулой интегрирования по частям при учете условий (1.3)—(1.6). Заметим, что соотношения (1.5) и (1.6) обеспечивают равенства
дгф0(У, -й) = дгф1 (у, -й) = МР1 - Р0)-1(Р1 ф1 (У, -й) - Р0ф0(У, -й)) (2.6)
В результате приходим к вариационной формулировке спектральной задачи (1.2)—(1.6) как интегрального тождества [9] с билинейными формами (2.2) и (2.3)
<ф,у> у = Х<ф,у> р (2.7)
Итак, требуется найти число X и нетривиальную функцию ф е Н, для которых тождество (2.7) выполнено при любой пробной функции у е Н. Введем следовой оператор Т в пространстве Н формулой [9]
< Тф, у> = <Ф, у>р, Ф, уе Н (2.8)
Этот оператор положителен, непрерывен и симметричен, а значит, самосопряжен. Согласно определениям (2.1)—(2.3) и (2.8) его норма равна единице. В силу компактности вложений Н1(О) с L2(F) оператор T компактен, и согласно известным теоремам ([8], теоремы 10.2.2 и 10.1.5) его дискретный спектр образует бесконечно малую последовательность собственных чисел
1 = То >Т1 >х2 >...>т„ >... (2.9)
а точка т = 0 исчерпывает существенный спектр и является бесконечнократным собственным числом с собственным подпространством
Н = {ф е Н: ф° = 0 на Г0, р1 ф1 - р0ф0 = 0 на Г1}
Добавим в правую и левую части тождества (2.7) слагаемое (ф, у)р и разделим результат на 1 + X. В итоге обнаружим, что вариационная задача (2.7) эквивалентна абстрактному уравнению
Тф = Тф (2.10)
с новым спектральным параметром
Т = (1 + X)-1 (2.11)
Связь (2.11) спектральных параметров X и т преобразует последовательность (2.9) в неограниченную монотонно возрастающую последовательность
0 = Х00 = Х01 <Х1 <^2 <...<Х„ <... (2.12)
собственных чисел задачи (2.7). Здесь используется нумерация, отличая от нумерации собственных чисел (2.9) оператора Т. Дело в том, что последовательность (2.9) — результат применения общей теории, а при образовании последовательности (2.12) учтено, что функции из пространства Н могут иметь скачки на поверхности Г1, и поэтому нулевому собственному числу задачи (2.7) отвечают две собственные функции
Г1, х еП0 , ч Г 0, х еП0 ф00(х) = 1 ^ ф01(х) = 1 , (2.13) 10, х еП1 11, х еП1
Остальные собственные функции фь ф2, ..., фи, ... еНоператора и краевой задачи можно подчинить условиям ортогональности и нормировки
< Тф„,фш) = <ф п> фт> р = 8„ т, П, т = 1, 2, ... (2.14)
где Ъп т — символ Кронекера. Подставляя в тождество (2.7) пробные функции (2.13), выводим еще два условия ортогональности
|Ф°(у, 0)dy = 0, |ФП(у, -d)dy = 0; n = 1, 2,... (2.15)
г0 г1
Отметим, что соотношение (2.11) переводит собственное число т = 0 следового оператора в бесконечно удаленную точку, которая, разумеется, не влияет на спектр задачи (1.2)—(1.6), оказывающийся в результате целиком дискретным.
3. Формальный асимптотический анализ. Пусть сначала р: = 1 и р0 = 1 — s, где s — малый положительный параметр. В пределе при s = 0 жидкость становится однородной, и поэтому логично в асимптотические анзацы
А,(е))~Л, ф(б, х)~Ф(х) (3.1)
для собственного числа и собственной функции задачи (1.2)—(1.6) поместить спектральную пару {Л, Ф} следующей предельной задачи:
-ДФ(х) = 0, х еП, 5уФ(х) = 0, х еЕ
0 (3.2)
<ЭгФ(у, 0) = ЛФ(y, 0), х еГ0
Известно, что собственные числа задачи Стеклова (3.2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.