ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 4, 2013
УДК 531.36 62-565
© 2013 г. В. Г. Быков
АВТОБАЛАНСИРОВКА РОТОРА С ОРТОТРОПНО УПРУГИМ ВАЛОМ
Исследуется процесс самобалансировки статически неуравновешенного ортотропно упругого ротора, оснащенного шаровым автобалансировочным устройством. На основе простейшей модели ротора Джеффкотта выведены уравнения движения в неподвижной и вращающейся системах координат, а также уравнения, описывающие стационарные движения типа регулярной прецессии. Получены формулы для расчета амплитудно- и фа-зо-частотных характеристик прецессионного движения ротора. Установлено, что условия существования сбалансированного стационарного режима для ортотропного ротора имеют такой же вид, как и для изотропного ротора, но область устойчивости такого режима для ортотропного ротора уже, чем для изотропного. Проведено численное исследование нестационарных режимов движения ротора в случае вращения с постоянной угловой скоростью и в случае прохождения через критические скорости с постоянным угловым ускорением. Установлено, что режим медленного прохождения критической области для ортотропного ротора гораздо опасное, чем аналогичный режим для изотропного ротора.
В промышленной, транспортной, бытовой и прецизионной технике все шире применяются шаровые автобалансирующие устройства (АБУ), предназначенные для полной балансировки высокооборотных роторов с переменным дисбалансом. Несмотря на то, что первый патент на шаровое АБУ появился более 120 лет назад [1], а первая теоретическая работа опубликована более 80 лет назад [2], интерес к этой тематике не ослабевает, о чем свидетельствуют как многочисленные статьи и патенты, так и появившиеся за последние несколько лет фирменные технологии по применению АБУ в разных отраслях машиностроения, компьютерной и бытовой технике.
Для изучения прецессионных движений статически неуравновешенных роторов пригодна простейшая механическая модель в виде точечной массы, присоединенной к невесомому валу (модель ротора Джеффкотта [3]). Обычно рассматривают два ее варианта: жесткий вал в упругих опорах или гибкий вал в шарнирных опорах. В случае изотропных упругих опор и изотропного упругого вала оба варианта эквивалентны. Учет анизотропных характеристик ротора и опор приводит к различиям в уравнениях, выражающих специфические особенности обоих вариантов. Имеется ряд работ [4—8], посвященных особенностям автобалансировки жестких роторов, закрепленных в анизотропных упругих опорах, однако вопрос об автобалансировке анизотропного гибкого ротора в литературе не отражен.
1. Уравнения движения. Рассмотрим динамически симметричный, статически неуравновешенный ротор в виде массивного тонкого диска, закрепленного посередине невесомого ортотропного упругого вала, вращающегося в вертикальных шарнирных опорах 01 и 02. Для компенсации статического дисбаланса (не обязательно постоянного) ротор оснащен шаровым автобалансирующим устройством (АБУ), представляющим собой кольцевую обойму, в которой могут свободно передвигаться п шариков одинаковой массы. Обойма крепится на одной оси с ротором так, что расстояния между центрами балансировочных шариков и центром диска одинаковы и равны г (фиг. 1).
Фиг. 1
В рамках модели Джеффкотта будем рассматривать движение ротора только в плоскости статического эксцентриситета, т.е. горизонтальной плоскости, проходящей через геометрический центр диска С и центр масс О. Балансировочные шарики будем считать материальными точками.
Введем три системы координат: неподвижную ОХУ2, вращающуюся О^пС и жестко связанную с ротором С^'п'С'. Ось ^ неподвижной системы направим вертикально вверх вдоль оси, соединяющей центры опор, а начало координат выберем так, чтобы оси X и У лежали в плоскости статического эксцентриситета. Ось ^ вращающейся системы совпадает с осью 2, а оси \ и п коллинеарны осям и п' системы координат, связанной с ротором. В силу предположения об ортотропии упругих свойств вала его диаграмма жесткости имеет вид эллипса. Оси связанной с ротором системы координат направим вдоль осей эллипса жесткости. Соответствующие этим осям коэффициенты упругости вала обозначим через к^ и кп. Положение центра масс диска зададим эксцентриситетом 5 = СО и фазовым углом а между вектором дисбаланса и осью
В силу сделанных допущений описанная механическая система имеет п + 3 степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем: координаты X и У точки С в неподвижной системе, угол 9 между осями ОХи О^ (угол поворота ротора), углы (; = 1, ..., п) отклонения шариков относительно диска.
Выражения для кинетической и потенциальной энергии системы имеют вид
T =
i- m0 (XG + YG) + IIG 02 + 2 ®i X & + Yb) )
V = 1 k% (X cos 0 + Ysin 0)2 + 1 kn( - Xsin 0 + Ycos 0)2
где
XG = X + s cos (0 + a), XBi = X + r cos (0 + ) Yg = Y + s sin (0 + a), YB¡ = Y + r sin (0 +
m0 — масса ротора, m1 — масса балансировочного шарика, IG — момент инерции ротора относительно оси проходящей через точку G перпендикулярно плоскости XY. Здесь и далее, если не оговорено иное, суммирование ведется от i = 1 до i = n.
Предполагая, что на ротор действуют только силы внешнего демпфирования, запишем выражение для диссипативной функции Релея
D = i СоО2 + Y) + 2 y2
где c0 — коэффициент внешнего демпфирования, c1 — коэффициент вязкого сопротивления движению шариков в обойме АБУ.
Считая угол 9 = 9(0 заданной функцией времени, введем новую переменную Ф, = 9 + и запишем уравнения Лагранжа второго рода относительно обобщенных координат X, Y, и ф,
(m0 + nm1 )X + c0X + (k^cos20 + кц sin20)X + -(к^ - кц) Ysin20 =
= - — [m0scos(0 + a) + m1rV cosp,] dt2 ^
(m0 + nm1) Y + c0 Y + (к%sin20 + кц cos20) Y + 1 (к% - кц)Xsin20 = (L1)
= - — [m0ssin(0 + a) + m1 rV sinp,] dt2
m1 r2p, + c1 (ф - (3),- = m1r(xXsinp, - Ycosp,), i = 1, ..., n
В случае, когда ротор вращается с постоянной угловой скоростью 0 = ю, удобно записать уравнения движения во вращающейся системе координат O^nZ Связь между координатами X, Y и п задают формулы ортогонального преобразования
X = cos ю t - n sin ю t, Y = sin ю t + n cos ю t
Умножим первое уравнение системы (1.1) на cosrat и сложим со вторым, умноженным на sinrat, затем умножим второе уравнение на cosrat и вычтем первое, умноженное на sinrat. В результате получим автономные уравнения движения относительно переменных п и у,-. Переходя к безразмерным координатам
| = £/r, П = П /r
автономные уравнения представим в виде
(1 + пц)(^ - 2vn - v2+ 60- vñ) + к^ = cos a + ц V ((v + y í)2cos y, + y ¡ sin y,)
(1 + пц)(г| + 2 v£, - v2 n) + S0 (n + ) + к2П = (1.2)
= sv2sin a + ц V ((v + y i )2sin y, - y, cos y,)
y, + 61 y, = - 2vn - v2£,) siny, - + 2v£, - v2тcosy,, , = 1, ..., n
2
= sv
В системе (1.2) дифференцирование подразумевается по безразмерному времени ~t = Q t; Q = 7( ks + кц)/(2 m0)
а v = ю/Q — безразмерная угловая скорость ротора. Параметры ц = m1/m0, s = s/r считаем малыми; остальные параметры имеют следующий смысл:
^п » 2kp t 2 kn
->Q _
Sc = ---Q-, = --Ц, k = , k2 = -í-^
mo Q И; Qr2 h + k + kn
Далее для простоты волну над безразмерными переменными писать не будем. Для нахождения частных решений вида
= £,о = const, п = П о = const, = yi0 = const
положим в системе (1.2) значения всех производных от обобщенных координат равными нулю. В результате получим систему трансцендентных уравнений, описывающую стационарные режимы движения ротора типа регулярной круговой прецессии:
(k1 - (1 + n^)v2)£,0 - 50vn0 = sv2cosа + ^v2^cosyi0
(k2 - (1 + n^)v2)п0 - S0v£,0 = sv2sinа + ^v2^ sinyi0 (1.3)
^0siny;-0 - %cos= 0, i = 1, ..., n
2. Стационарные режимы движения ортотропного ротора без АВУ. Для ротора без АБУ, т.е. в случае ц = 0, из первых двух уравнений (1.3) находим
22 г 2 (k2 - v) cos а + 50 v sin а 2 (k, - v) sin а + 50 v cos а
^0 = sv V—2-y-2 0 2 2 , П0 = ev v—1-2--2-0-— (2.1)
(k1 - v )(k2 - v ) + 60v (k1 - v )(k2 - v ) + S0v
откуда получаем формулы для расчета амплитуды и фазового угла круговой прецессии
«0 = л/^0 + п°, tg Ф0 = П0/%0 (2.2)
Заметим, что несмотря на наличие внешнего демпфирования знаменатель в выражениях (2.1) для ортотропного ротора, в отличие от изотропного, может при определенных соотношениях между параметрами обращаться в нуль. Соответствующие этому значения параметра v отвечают критическим угловым скоростям, при которых амплитуда круговой прецессии становится бесконечной. Введем безразмерный коэффициент
X = (- kn)/ (+ kn)
характеризующий степень анизотропии упругих характеристик ротора. Тогда, подставляя в равенства (2.1) выражения
k1 = 1 + X, k2 = 1 - X (2.3)
получим уравнение для нахождения критических частот v4 - (2 - 60) v2 + 1 - X2 = 0
V, 80
1.0
0.5
80 = 0.05 У2 — / / /
0.5 V! ч 80. . \ / / ^^ / / у
х х / / / / /
0.5 \Х\
Фиг. 2
1.5
При выполнении условия
т>50Л/1 - 80 / 4
(2.4)
это уравнение имеет два действительных положительных корня, соответствующих двум критическим угловым скоростям:
'1, 2
= >¡1 - 82/2 ^Т^2 - 80 + 8
¡0/4
(2.5)
На фиг. 2 сплошными кривыми показаны зависимости критических частот от параметра анизотропии X, рассчитанные по формулам (2.5) для трех значений коэффициента демпфирования 80; графики демонстрируют "разбегание" критических частот с ростом |Х|.
Условие (2.4) можно записать в виде
8о < 80*
= ^2 (1 -Л
- Г)
(2.6)
Параметр 8* представляет собой "критическое демпфирование" — наименьший коэффициент демпфирования, при котором знаменатели в выражениях (2.1) не обращаются в нуль. Зависимость 8* от X изображена на фиг. 2 штрихами.
Стационарные амплитудно- и фазо-частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) орто-тропного ротора, рассчитанные по формулам (2.2) при 80 = 0.1, представлены на фиг. 3
для слабо ортотропного ротора (к2 = 0.9кь или |Х| = 0.05, 8* = 0.05), и для сильно ор-
тотропного (к2 = 2к1, или |Х| = 0.333, 8*0 = 0.338). Для сравнения штриховыми кривыми показаны АЧХ и ФЧХ изотропного ротора (к1 = к2). В первом случае коэффициент демпфирования 80 не удовлетворяет условию (2.6), поэтому на критической скорости ортотропный ротор имеет конечную амплитуду отклонения центра диска. Во втором
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.