ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 75. Вып. 6, 2011
УДК 532.5:533.6.011.5
© 2011 г. Х. Ф. Валиев, А. Н. Крайко
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА С ИЗМЕНЕНИЕМ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ НА "ОТРАЖЕННОЙ" УДАРНОЙ ВОЛНЕ
Автомодельные одномерные нестационарные задачи рассмотрены при допущении изменения показателя адиабаты на ударной волне (УВ), идущей ("отраженной") от центра или оси симметрии (далее — центра симметрии ЦС) или от плоскости. Среда — идеальный (невязкий и нетеплопроводный), совершенный газ с постоянными теплоемкостями. В задачах с сильными УВ изменение показателя адиабаты в газе приближенно моделирует такие физико-химические процессы, как диссоциация и ионизация, а в задаче о схлопывании сферической полости в жидкости — превращение жидкости в пар. В обоих случаях показатель адиабаты при переходе через отраженную УВ уменьшается. Рассмотрены задачи о схлопывании сферической полости, об отражении сильной УВ от ЦС и более простая задача с показателем автомодельности единица. При допущении роста показателя адиабаты автомодельные решения двух первых задач отвергаются из-за уменьшения энтропии с момента отражения УВ. При допущении уменьшения показателя адиабаты решения этих задач по той же причине становятся непригодными лишь по прошествии конечного времени. Пока уменьшение показателя адиабаты не достигло некоторого порога, структура автомодельного решения не претерпевает качественных изменений. При превышении указанного порога автомодельное решение возможно, если с момента отражения из ЦС по специальному закону будет расширяться цилиндрический или сферический поршень. При отсутствии поршня течение за отраженной волной становится неавтомодельным. При торможении плоского потока возможны режимы с примыканием УВ с разных сторон к центрированной волне разрежения.
Решенная Гудерлеем [1] автомодельная задача об отражении УВ от ЦС рассматривалась затем многими авторами (см. [2—12]). В задаче Гудерлея сильная УВ движется к ЦС по холодному газу с нулевыми температурой и давлением и конечной плотностью. Во всем течении газ считается идеальным (невязким и нетеплопроводным) и совершенным с постоянными теплоемкостями и их отношением (показателем адиабаты) у. В задаче о схлопывании сферической полости в сжимаемой жидкости [2, 5, 13—16] уравнения состояния среды принимаются такими же, как у совершенного газа, но с у > 2.5. В отличие от рассмотренных ранее задач [1—16] ниже в этих задачах допускается изменение у при переходе через идущую от ЦС ("отраженную") УВ. Обнаруживаемые при этом качественные особенности проследим на задаче о схлопывании сферической полости, затем на задаче Гудерлея и менее подробно на задаче об ударном торможении потока, направленного к плоскости или к ЦС [17—19]. Допущение изменения у (в последней задаче — и уменьшения, и увеличения) приводит к интересным особенностям УВ и течений в целом.
1. Схлопывание сферической полости с образованием ударной волны. В этой задаче при отсутствии характерной плотности (в полости р = 0) известна начальная величина
энтропийной функции х- = р/рУ , сохраняющаяся до ударной волны (УВ). Размерность этой величины
[X-] = [ р]/[р]т- = ¿г-2 / [рГ--1
где L и T — размерности длины и времени. Следовательно, размерность плотности
имеет комбинация Х(г/?)а с X = х-а/2 и а = 2/(у_ — 1), а для скорости среды u, скорости звука а, плотности, давления и удельной энтальпии h справедливы представления
с а ау_
С = С, и = пг-и{0, а = п-А©, р = Х г- Я©, р = п\ г— Р©
' 2 2 ? 2 ? ? ? " (1.1) н = п2т = А^ШШ, п = 1, а = —2—, ау- = а + 2 =
г У ± -1 у ± к у - -1 у - -1
Здесь £ — автомодельная переменная, г — расстояние от центра или оси симметрии (ЦС), время t отсчитывается от момента схлопывания полости, k — подлежащий определению показатель автомодельности, С — постоянная, выбором которой, как видно из дальнейшего, можно распоряжаться достаточно произвольно, а у_ и у+ — показатели адиабаты перед и за отраженной УВ КЗ (фиг. 1, кривые 1 и 3 — траектории границы полости и УВ КЗ). Так как скорость звука а > 0, то А < 0 при t < 0 и А > 0 при t > 0. Условие изэнтропичности до УВ КЗ дает связь: Р(0 = к2 Яу - (О.
Согласно решениям, построенным для у+ = у_, и из физических соображений скорости границы полости и УВ в начале координат г = t = 0 должны обращаться в бесконечность. Поэтому их траектории в плоскости И в начале координат касаются оси г. Эти траектории — линии постоянства £ = Сл и £ = ^яб для границы полости и УВ. Следовательно, например, траектория границы полости: Гс = &/С,1„ ее скорость: йг/Л = Сг1 - У(^л) = nr/t и подлежащий определению показатель k > 1, а п = 1Д; < 1. Скорость границы полости совпадает со скоростью частиц среды, а давление, плотность и скорость звука на ней в силу конечности и выражению для а2 = у_р/р одновременно обращаются в нуль. Отсюда согласно формуле для скорости границы и равенствам (1.1) имеем
и(£н) = 1, А(Сн) = Я(Сн) = Р(Сн) = 0 (1.2)
Воспользовавшись определением заменим формулы для и, а, р ир из представлений (1.1) выражениями
и = пси (С) а = пСА(Р С аХ Я(Р р = пСау - X Р(Р
к-1* ' к-1* ' ^ (к-1)а*-а > * (к-1)ау^ ау-
- ц - ц - 'С,
Согласно им при k > 1 для почти всех конечных £ при приближении к началу координат и, а, р и р растут неограниченно. Исключение — отвечающая границе полости величина £ = СЛ. Здесь согласно условиям (1.2) бесконечна только скорость среды и границы, а а = р = р = 0 всюду, включая начало координат.
При приближении к оси г и на ней, т.е. при t и стремящихся к нулю, конечность параметров среды, которые в силу равенств (1.1) при г > 0 обратно пропорциональны положительным степеням t, возможна, лишь если
¿7(0) = А(0) = Л(0) = Р(0) = 0 (1.3)
Для автомодельного течения отношения р+/р_ и р+/р_, где индекс минус (плюс) приписан параметрам перед (за) УВ, на всей отраженной УВ КЗ конечны и постоянны. Поэтому при у+ = у_ постоянна и величина %+, т.е. течение за УВ также изэнтро-пично, хотя и с большей, чем перед ней энтропией: > %_. Благодаря этому при
Фиг. 1
у+ = у_ не только до УВ КЗ, но и за ней из уравнений неразрывности, движения и энергии:
-2 /др, др\, ¡ди V-1 „ ¡ди ди\ , др „ а I — + и — I + р I--+ и-) = 0, р I--+ и —) + —= 0
\дt дг! \дг г I \дt дг) дг (1 4)
дР + и дР-А"2 I + идА = 0 .
д1 дг ш дг! с V = 1, 2 и 3 для течений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами достаточно использовать два первых. Их решения при условиях (1.2) и (1.3) до УВ КЗ достаточно для определения показателя автомодельности k и п = 1Д;. Эту часть задачи вне зависимости от величины у+ можно решать так же, как ранее [2, 5, 13—16]. Однако при у+ ф у_ для нахождения ^ и построения решения за УВ, где течение, как видно из дальнейшего, в таких случаях неизэнтропично, необходимо привлекать все уравнения (1.4). По этой причине подход, не предполагающий изэнтропичности течения, использовался и за, и до УВ КЗ.
Уравнения, справедливые для изэнтропического (до УВ КЗ) и для неизэнтропиче-ского (при у+ ф у_ — за УВ КЗ) течений, получаются подстановкой представлений (1.1) в дифференциальные уравнения (1.4) и после разрешения относительно производных принимают вид
С и = СЛ =——, С - = —/з-; /о = /о(и, А) = (1 - и)2 - А2 (1.5)
Ь /о' ^ 2(1 - и)/о' ^ (1 - и)/о
Здесь
/1 = /1(и, А,п,у_,у±) = (1 - и)(1 - пП)и + [а(1 - п)у_/у± - ЗнЩА2 /2 = /2(и, А, п, у_, у±) = (у± -1/ + [2 - (3у± - 1)п и]/о /з = /з(и, А, п, у _, у ±) = /1 + [а - (3 + а)п и]/о Штрих означает дифференцирование по уравнения с у± = у_ описывают течение до УВ КЗ, а с у± = у+ — за КЗ (на фиг. 1, а и б — под и над кривыми 3). Уравнения (1.5) не
изменяются при умножении Z на произвольный множитель. Поэтому С в формуле для Z из представлений (1.1) можно выбрать так, что = 1. Поделив второе уравнение (1.5) на первое, получим
dA = Äf2 (1.6)
dU 2(1 - U)f
При у± = у_ это уравнение сводится к
dA = 4f2 (17)
dU 2fi '
f = f1(U, A,n,у_) = (1 - U)(1 - nU)U + [a(1 - n) - 3nU]A2
f2 = f2(U, A, n, y_) = 2 + (n - 3 + y- - 3nY_)U + 2n(y_U2 - A2)
В отличие от уравнения (1.6) в знаменателе правой части уравнения (1.7) нет множителя (1 — U). Из-за этого вертикаль U = 1, будучи интегральной кривой (ИК) уравнения (1.6), не является таковой для уравнения (1.7). Ось U, где А = 0, — ИК обоих уравнений.
В плоскости UA (фиг. 2) ИК уравнения (1.7) должна в силу условий (1.2) и (1.3) из точки М(1, 0) попасть в начало координат 0(0, 0). Обе эти точки особые: O — узел, а M — седло. Одна сепаратриса седла — ИК уравнения (1.7): A = 0, т.е. ось U. Вторая сепаратриса — также ИК, идущая из этой особой точки, вблизи нее — парабола
U = 1 _ 3 -а(к - 1) A 2 Y_(у- _ 1)(k _ 1)
с вертикальной касательной при любых к > 1.
На приходящих в точку М "звуковых линиях" — прямых: U ± A = 1 стоящая в знаменателях правых частей уравнений (1.5) функция f0 = 0. Звуковая линия SL—: U — A = 1 — особая С—-характеристика (Z = Zc, штриховые кривые 2 на фиг. 1, а и б), догоняющая границу полости в момент прихода ее в ЦС. В точке N перехода ИК через SL- одновременно должны обратиться в нуль все числители уравнений (1.5), в частности: fi(U, A, ...) = 0 иf2(U, A, ...) = 0. Решив эти уравнения, найдем
= _ 1 = (а - 1)ц-2 tV^, к-1 1,2 1,2 4 (1.8)
Д(а, ц) = (а - 1)У - 4(а + 1)ц + 4, ц1,2(у_) = 2 / (Vä +1)2
где ^1j2(y—) — корни уравнения А(а,ц) = 0, ^1(y—) > Ц2(у—) и А < 0 при ц2 < ц < ц1.
Поскольку а12 — действительные функции, к > 1, а ц = к — 1 > 0, то 0 < ц < ц2 и ц > ц1. Однако для ц > ц1 при t ^ 0 нарушается условие ограниченности энергии [20]. Действительно, согласно представлениям (1.1) при любом постоянном значении t > 0 энергия шарового слоя, заданного двумя значениями автомодельной переменной 0 < Z < Z1 < zRS, равна
* = E(-,0 <Z 2 < z < с rs) - -j2p«> ^«у 2(z) * ß* =
C2
Показатель степени ߣ > 0 при к < (5y— — 3)/(2y—) или при ц < 3(y— — 1)/(2y—). Для ц = = Ц1(Y—) последнее неравенство нарушается при y— > 1.0527. Для ц = ц2 интеграл энер-
-0.5
Фиг. 2
гии при t ^ 0 сходится при 1 < у_ < 76.947. Для ц = 0 или k = 1 он сходится при всех у_ > 1. В силу этого показатели автомодельности k, дающие решение зад
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.