ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 5, 2013
УДК 531.391
© 2013 г. С. В. Чайкин
БИФУРКАЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ СПУТНИКА-ГИРОСТАТА В ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ ЕГО ГИРОСТАТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
Изучаются бифуркации равновесий спутника-гиростата, центр масс которого равномерно движется по круговой кеплеровой орбите вокруг притягивающего центра. Предполагается, что ось вращения статически и динамически уравновешенного маховика, вращающегося с постоянной относительной угловой скоростью, зафиксирована в главной центральной плоскости инерции гиростата, содержащей ось среднего момента инерции, и не колли-неарна ни одной главной центральной оси инерции системы. Задача решается в прямой постановке — по заданным моментам инерции, величине гироскопического момента и направляющим косинусам оси вращения маховика определяется все множество равновесий относительно орбитальной системы координат спутника-гиростата и проводится исследование изменений этого множества в зависимости от бифуркационного параметра — величины гиростатического момента системы. С использованием средств компьютерной алгебры выполнен параметрический анализ относительных равновесий трех возможных классов равновесий системы на круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил.
Рядом авторов (см., например, [1—4]) для рассматриваемой модели находились относительные равновесия и исследовались условия их устойчивости. Традиционный подход к изучению устойчивости равновесий спутника-гиростата имеет два характерных аспекта. Достаточные условия устойчивости относительных равновесий изучаются с использованием функции Ляпунова, сконструированной по методу Четаева в виде связки интегралов уравнений движения системы [5—7] и характеризуются следующими двумя принципиальными условиями1 (см. также [8, 9]; в работе [9] упругий стержень, защемленный одним концом в носителе спутника-гиростата, следует считать бесконечно жестким):
1) проекция кинетического момента системы в рассматриваемом равновесии на нормаль к плоскости орбиты должна быть достаточно большой (имеется ограничение снизу);
2) в относительном равновесии орт местной вертикали (орт направлен по радиус-вектору, проведенному из притягивающего центра в центр масс спутника-гиростата) должен находиться в одной из двух областей (всего их четыре) между круговыми сечениями главного центрального эллипсоида инерции системы, через которые проходит его большая ось.
Необходимые условия устойчивости относительных равновесий, условия их гироскопической стабилизации изучаются на основании идей Ляпунова по исследованию устойчивости по первому приближению с использованием теорем Томсона—Тэта—Четаева [5, 10—12]. В случае расположения вектора гироскопического момента вдоль главной центральной оси инерции гиростата изучались необходимые условия устойчивости и условия гироскопической стабилизации [13].
Для рассматриваемого здесь частного случая расположения гиростатического момента результаты по изучению необходимых условий устойчивости и условий гироскопической стабилизации соответствующих относительных равновесий спутника-гиростата автору не известны.
1. Уравнения, определяющие множество относительных равновесий. Рассматривается в ограниченной постановке [14] движение спутника-гиростата в центральном ньюто-
1Степанов С.Я. Аналитическое и численное исследование устойчивости стационарных движений: Дис... д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2001. 219 с.
новском поле сил. Центр масс системы перемещается по кеплеровой круговой орбите вокруг притягивающего центра с постоянной орбитальной угловой скоростью. Гиростат — твердое тело (носитель), в котором зафиксирована ось вращающегося с постоянной относительной угловой скоростью статически и динамически уравновешенного маховика [15]. Ось собственного вращения совпадает с осью симметрии маховика и располагается в одной из главных центральных плоскостей инерции системы, перпендикулярной либо большей, либо меньшей оси инерции гиростата.
Для описания движения спутника-гиростата в ограниченной (пренебрегается взаимным влиянием движения системы относительно ее центра масс и движением последнего по орбите) прямой (по заданным моментам инерции и вектору гиростатиче-ского момента системы найти возможные относительные равновесия) постановке задачи вводятся следующие правые прямоугольные декартовы системы координат:
1) орбитальная система координат Оук с ортами соответствующих осей Е,к (к = 1, 2, 3) и полюсом О в мгновенном центре масс спутника-гиростата, ось Оу3 (орт ^3) направлена по местной вертикали, ось Оу2 направлена по нормали к плоскости орбиты так, что орбитальная угловая скорость ю = ю^ 2, где ю = |ю|;
2) жестко связанная с носителем спутника-гиростата система координат Охк (хк— орт соответствующей оси) с полюсом в точке О, ее оси выбраны так, что матрица компонентов центрального тензора инерции I имеет диагональный вид: diag (/1,12,13), при этом 11 < 12 < Iз, а постоянный вектор гиростатического момента системы /, деленный на ш, в осях Охк имеет матрицу компонентов (0, /2, /3)Т, причем
Очевидно, векторы Е должны удовлетворять соотношениям (связям), задаваемым посредством скалярного и векторного произведения следующим образом:
^] =Ъу, ^ ]£>к =\цк
где 5] — дельта Кронекера, Е,]к — символ Леви-Чивиты [16].
Если в уравнениях движения системы, которые здесь в явном виде не используются и поэтому не приводятся, приравнять к нулю производные по времени входящих в них величин, то после преобразований получим известные уравнения (см., например, [2, 4]) относительно компонент ортов , задающие относительные равновесия
спутника-гиростата:
При этом уравнения связей для ортов Е здесь и, как правило, далее не выписываются, хотя постоянно имеются в виду. Введем векторы
При учете равенств = Е,2 х^3, = х^2 запишем эквивалентную систему уравнений
И2 = И /2, И = И Л, И > 0, И > 0, + Я = 1
¡Л¡з = 0, ¡1 (1^2 + И) = 0, ¡з (I¡2 + И/4) = 0
А = (1%2 + /)х^2, О = %2 х (1%2 + И/4) = 0.
(1.1)
Замечание 1. Если хотя бы один из векторов А или О на решении (1.1) не равен нулю, например А ^ 0, О = 0, тогда, очевидно, ^ = ± А/|, а в качестве орта вслед-
ствие связей между ортами £,, следует брать £3 = ^ х £2. Если орты ^ (их два вследствие знака ± в выражении для £2 и построенный таким образом орт £3 (их, очевидно, также два) удовлетворяют условию £3 = 0, то каждая тройка {£ь £2, £3) задает относительное равновесие спутника-гиростата, иначе нет (случай невыполнения последнего равенства рассмотрен в разд. 2). Если оба вектора А 0, О 0, то ^ = ± А/|А| и £3 = (±) О Щ. Символ (±) означает, что знак плюс или минус выбирается таким образом, чтобы орты {£ь £2, £3} образовывали правую тройку. Условие
{А = 0, О = 0} о (3к е {1, 2, 3}: 1\\хк, %2\хк}
и в рассматриваемом случае не дает решений (не определяет относительных равновесий), так как /2 Ф 0, /3 Ф 0, т.е. вектор гиростатического момента не параллелен ни одному из ортов хк.
Замечание 2. Каждый орт £2, удовлетворяющий системе (1.1), определяет сразу две пары соответствующих ему ортов {£ь £3}, т.е. два относительных равновесия системы.
Запишем (при учете равенства /1 = 0) уравнения (1.1) в осях Охк, проведем эквивалентные упрощающие преобразования (вычтем из второго уравнения (1.1) первое, умноженное на 1:, и представим результат в виде следующей системы уравнений:
{£12 = 0 (А2 - Аз - О2 - Оз - 0), А1 Ф 0, Щ = 0 } (1.2)
{£12 = 0 (А2 - А3 - О2 - Оз - 0), А1 = 0, О1 Ф 0} (1.3)
£12 ф 0, (^22^32 + £22К32 + £32К23)(^22^32 + (^22К32 + £32К23)/4)^32 +
+ £12 ((£32 + К31 )(^32 + Кз1/4) 12з1 + (£,22 + К1Х ^ + К1Х/4) ^) = 0 (1.4)
((^32 + 5К31/8)2 - 9*^/64)1з1 + ((£22 + 5К21 /8)2 - 9К21/64) = 0
Здесь
(I, -I]), Ку= 1,11л, А1 = £22£32 + £22К32 + £32К23,
А2 -£12 (£32 + К31) , А3 -£12 (£22 + К21)
Значения О, получаются, если в выражениях для А, формально заменить Щ на К^/4. При этом компоненты векторов А и О имеют вид
А1 - -132А1, А2 - I3lA2, А3 - -121А3 , (°1 = 13201, °2 = —131О2, <°3 = 121О3
Замечание 3. Под уравнением понимаем также и множество всех значений переменных из соответствующих пространств, обращающих его в тождество. Фигурная скобка {, кроме конъюнкции л, означает в этом случае пересечение соответствующих множеств; квадратная скобка [ далее, кроме дизъюнкции V, означает их объединение.
2. Относительные равновесия класса 2 и класса 3 и их ветвления. Принята следующая классификация возможных относительных равновесий спутника-гиростата (см., например, [2]):
а) класс 1 — относительные равновесия, при которых орты осей Охк направлены в ту или в другую сторону вдоль осей Оук, т.е. каждый орт хк (к = 1, 2, 3) тем или иным обра-
зом совпадает с каким-либо из ортов ±^1, ±^2, ±^з; например, если х1 = , то в равновесиях этого класса
{х2 = $2 , х3 = ^з} V {х2 = ^3 , х3 = Ч2} V {х2 = , х3 = Чз}
и т.д.;
b) класс 2 — относительные равновесия, при которых какой-либо орт xk совпадает с одним из ортов ±^1, другие оси не направлены ни по одному из ортов ±^2, ±
c) класс 3 — относительные равновесия, при которых какой-либо орт xk совпадает с одним из ортов ±^з, другие оси не направлены ни по одному из ортов ±^2, ± ;
ф класс 4а — средняя ось (орт x2) главного центрального эллипсоида инерции системы лежит в плоскости орбиты (в плоскости {^1, $з}), при этом ни один из ортов xk не совпадает ни с одним из векторов ±^;
е) класс 4Ь — ни одна из осей Охк не лежит ни в одной из координатных плоскостей системы Оук.
Разрешая группу уравнений (1.2) (при учете связи Е, 2 = 1)
К2з ||е , Кз2 | К2зКз2
{^22 + ^32 = 1, $12 = 0, ^22 +^^2 + = 0} (2.1)
приходим к необходимости отыскания вещественных корней уравнения четвертой степени
Д^) - (1 - ^2) ((з2 + Кз2/4)2 + ¡^з/16 = 0
по модулю не больших единицы, при этом Е,22 = ±д/ 1 - (ниже выбор знака уточняется).
Пусть четыре возможных вещественных корня этого уравнения занумерованы в порядке убывания:
(|з2 \ > (|з2 )2 > (Iз2 )з > (Iз2 )4.
Они определяют возможные точки пересечения гиперболы с единичной окружностью.
Утверждение 1. Уравнения (2.1) имеют:
a) четыре тройки решений 12 = 0,122, |з2}, определяющих
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.