ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 2, 2015
УДК 531.36:534.1
© 2015 г. Л. Д. Акуленко, С. А. Кумакшев, С. В. Нестеров
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
На основе теории Ляпунова—Пуанкаре, численно-аналитических методов сагиттарной функции и ускоренной сходимости исследуются собственные частоты и формы параметрических колебаний механических систем. Изучен пример физического маятника с подвижными внутренними массами. Численно-аналитическим методом ускоренной сходимости исследованы малые параметричесие колебания математического маятника переменной длины при произвольном значении коэффициента модуляции. С помощью процедуры продолжения по параметрам построены периодические решения и определены границы областей устойчивости (в линейном приближении) и неустойчивости (областей параметрического резонанса). Для произвольных допустимых значений коэффициента модуляции основных низших мод колебаний построены диаграммы типа Айнса—Стретта. Установлен ряд качественных эффектов, которые принципиально недоступны при применении рутинных вычислений методами возмущений.
Механизм возбуждения колебаний посредством периодического изменения параметров наряду с внешними силовыми и моментными воздействиями и автоколебательным механизмом самовозбуждения колебаний представляют существенный интерес в теоретическом и аналитическом [1—13], а также вычислительном и прикладном [14—19] аспектах.
Параметрические колебания описываются линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами и согласно Ляпунову [3—6] посредством неособой замены переменных приводятся к форме линейной системы с постоянными коэффициентами. Данное свойство составляет основу первого метода Ляпунова исследования устойчивости (по линейному приближению) периодических движений произвольных нелинейных систем. Конкретизируем математическую модель; пусть имеет место периодическая по времени t достаточно гладкая по переменным х, р система
x = F(t, x; p), F(t + T, x; p) = F(t, x; p); x e Dx с Rn, p e Dp с Rl, p = const (0.1)
где х — я-вектор фазовых переменных, р — /-вектор постоянных параметров, Т — постоянный период, не зависящий от р. Ставится задача построения ^-периодического решения x(t,p) в допустимой области значений х е Dxприр е Dp, (N = 1, 2, ...). С помощью методов теории Ляпунова—Пуанкаре она приводит к нелинейной краевой задаче вида (0.1) и смешанному краевому условию [4]
x(t + NT, p)= x(t, p), t > t0, p e D0 с Rl (0.2)
В качестве конструктивного подхода предполагается применение метода возмущений (малого параметра) на основе известного при р = р0 порождающего (невозмущенного) решения. В частности, для изолированного решения x0 имеем [4]
xо(t) = x(t,p0), p0 e Dp; x(t,p) = xo + exx + 82x2 + ..., |p-p0 = e e [0,8о] (0.3)
Коэффициенты xi (i > 1) подлежат определению посредством решения линейных неоднородных периодических систем. Соответствующие однородные уравнения описываются системой в вариациях относительно х = x0, р = р0. Эффективное построение NT-периодических решений xi(t) связано с нахождением фундаментальной матрицы решений и применением альтернативы Фредгольма [4, 20—24]. Задача решается однозначно, если x0(t) — изолированное порождающее решение.
Если порождающее решение x0 не изолированное, то учет возмущений (s Ф 0) на основе теоремы Вейерштрасса наряду с разложением типа (0.3) может приводить к разложениям по дробным степеням малого параметра s [4] и к его расщеплению [22—24].
Доказательство сходимости рутинной процедуры (0.3) к решению нелинейной краевой задачи (0.1), (0.2) и оценка величины s0 (как правило, весьма грубая) проводятся методом мажорантных функций Вейерштрасса [4]. Если вектор-функция F обладает конечной гладкостью по х, р (по t достаточно потребовать непрерывность), то искомое периодическое решение строится с помощью метода последовательных приближений. Существование решения обосновывается по методике С.Н. Шиманова [4] как в случае изолированного, так и неизолированного порождающего решений.
Процедура продолжения по параметру s при s0 < s < s1 осуществляется аналогичными разложениями или последовательными приближениями; затем полагается s1 < s < s2 и т.д.
Отметим, что изложенная схема решения применима для более широкого класса периодических (на многомерном фазовом цилиндре) вращательно-колебательных движений системы (0.1), для которых условие (0.2) требует соответствующей модификации [20—24]. Также требуется выполнение условий периодичности функции F по вращающимся переменным.
Итак, пусть искомое периодическое решение x(t, p) построено; оно отвечает определенным начальным условиям x(t0, p) = x0(p). Ставится вопрос об устойчивости движения по Ляпунову, т.е. по отношению к малым возмущениям начальных данных х0(р). Согласно первому методу Ляпунова для вариации ^ = х — x(t, p) в линейном по ^ приближении имеет место система с периодическими коэффициентами
4 = Ф(^ p)4, Ф(^ p) = Fx(t, x(t, p)), Ф(/ + NT, = p) (0.4)
Согласно теореме Ляпунова [3, 4], линейная система (0.4) посредством неособого линейного преобразования переменной ^ приводится к системе с постоянной матрицей Л(р)
П = Лц, 4 = п(t, p)n, П(t+NT, p) = П(t, p)
detП Ф 0, t > 0, p e PDp '
В результате устойчивость по Ляпунову решения x(t, p) (0.3) определяется вещественными частями корней Xj(p) характеристического уравнения системы (0.5)
Xj = Argdet (Л - IX), j = 1, ..., n; Re Xj < 0 (0.6)
стандартным образом [3—6]. Критические случаи ReA,y- = 0 определяют границы областей устойчивости; они требуют дополнительных более изощренных приемов анализа [3, 4, 22, 24]. Построение матриц П и Л связано с аналитическими методами малого параметра и численными методами.
Наряду с классическими приемами более продуктивным представляется решение нелинейной периодической краевой задачи (0.1), (0.2), а также построение границ областей устойчивости на основе соотношений (0.5) и (0.6) с помощью конструктивных
Фиг. 1
численно-аналитических методов ускоренной сходимости и сагиттарной функции в сочетании с процедурами продолжения по параметрам [17—19].
Наряду с указанным классом систем уравнений в вариациях (0.4) существенный интерес представляет приближенное исследование положений равновесия упругих систем переменной во времени жесткости, маятников с переменной инерционной характеристикой или положением точки подвеса, электромеханических систем с переменными параметрами (емкостью, индуктивностью, сопротивлением) вертикально колеблющихся сосудов с тяжелой однородной или стратифицированной жидкостью и др. Эти системы приближенно описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными (в частности, периодическими) коэффициентами, аналогичными (0.4). Параметры модуляции, представляющие определенный интерес, могут изменяться в значительных пределах. Такие объекты важны в прикладном аспекте и имеют существенное теоретическое содержание.
1. Постановка задачи. Исследуем устойчивость нижнего положения равновесия плоского физического маятника М, содержащего подвижную точечную массу m (фиг. 1). Считается, что в связанной с маятником системе координат Оху материальная точка m совершает заданные периодические движения x(t), у(^; связь между плоским телом и точкой предполагается геометрической, т.е. голономной. Координаты подвижной
точки определяются в связанной с несущим телом системе координат Оху, где О — неподвижная в инерциальной плоскости OXY ось (точка) поворота. Для простоты ось х проводится через точку С — центр масс тела М, расстояние ОС = L.
Абсолютные координаты XM m, YM m, кинетическая KM m и потенциальная UM m энергии тела М и точки m имеют представления через обобщенную координату ф — угол между осями — OYи Ох вида
XM = L sin ф, YM = -L cos ф;
Xm = x sin ф + y cos ф, Ym = - x cos ф + y sin ф
Km = Jo ф2, Km = 1 m [(x2 + у2)ф2 + 2(xy - Ху)ф + X2 + y2 ] ( )
UM = -MgLcos ф, Um = mg( - x cos ф + y sin ф), 0 <ф< 2я (mod2 я)
Здесь J0 = JC + ML2 — момент инерции тела относительно точки О, JC — собственный момент инерции. Уравнение Лагранжа для переменной ф имеет форму
/ф + 2 m(xx + уу)ф + g [ ML sin ф + m (x sin ф + y cos ф)] +
2 2 (1.2)
+ m(xy -xy) = 0, /(x, y) = /0 + m(x + y )
Если х и у — периодические функции аргумента t, то уравнение (1.2) имеет вид системы (0.1), для которой может быть поставлена и исследована задача о стационарных вращательно-колебательных движениях. Отметим сперва, что посредством неособой
замены u = J/ф уравнение приводится к форме, не содержащей "кориолисова слагаемого" (т.е. /ф ). Такое преобразование будет применено далее при исследовании линеаризованного уравнения в окрестности устойчивого положения равновесия. Ниже рассматриваются частные случаи системы (1.2).
1) Пусть х = p(t)cosa(t), у = p(t)sina(t); тогда х2 + y2 = p2(t), а коэффициент перед ф в уравнении (1.2) равен рр независимо от a(t); он равен нулю при р = const. Выражение, содержащее x и y , принимает вид р(ра + 2р а) и обращается в нуль при a = const; если же р, а = const, то оно также равно нулю.
2) Для ситуации р = const уравнение (1.2) представимо в форме
22 /ф + MgLsinф + mgрsin(ф + а(t)) + mр а(t) = 0, / = /0 + mр (1.3)
3) В случае а = const на маятник с суммарным моментом инерции J = const действуют моменты сил, зависящие от углов ф и ф + a, где a = а t + a0 согласно формулам (1.3).
4) К параметрическим колебаниям приводит ситуация у = 0, т.е. точечная масса m движется вдоль оси Ох, что соответствует изменению приведенной длины (момента инерции) маятника. Этот случай представляет существенный интерес при анализе устойчивости нижнего положения равновесия ф = 0 (mod 2п).
Далее основное внимание уделяется исследованию параметрических колебаний системы в окрестности ф, ф = 0 при y(t) = 0.
2. Модификация задачи о параметрических колебаниях. Соответствующая величине у = 0 система (1.2) описывается более простым уравнением
/ф + /ф + ^sin ф = 0, W(x )= g(ML + mx), /(x ) = /0 + mx2 (2.1)
Стандартной заменой Лежандра или с помощью формулы Остроградского она приводится к системе уравнений Гамильтона или к виду у
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.