ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 5, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. А. О. Казакова, А. Г. Терентьев
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ТРУБЫ, ПОГРУЖЕННОЙ В ЖИДКОСТЬ
Предлагается численный метод решения плоской задачи об определении напряженного состояния трубы произвольного сечения, погруженной в однородную несжимаемую жидкость. Осуществлен переход от граничных условий этой задачи к граничным условиям для бигармонической функции напряжений, что позволяет применить разработанный авторами ранее алгоритм решения краевых задач для полигармонического уравнения к решению рассматриваемой задачи. Показано, что граничные условия для двусвязных областей содержат три неизвестные постоянные. Получены условия для нахождения этих постоянных в удобном для реализации численного алгоритма виде. В качестве примеров рассмотрены трубы с сечениями в виде концентрического, эксцентрического и эллиптического колец.
В связи с расчетами прочности подводных объектов большого водоизмещения [1, 2] представляют интерес методы расчета цилиндрических корпусов при переменном внешнем давлении. Если длинное цилиндрическое тело расположено в жидкости горизонтально, то вдоль каждой его образующей давление постоянно, и задача сводится к плоской задаче теории упругости, т.е. к решению бигармонического уравнения. Наиболее полное исследование бигармонических функций как частного случая полигармонических функций дано И.Н. Векуа [3]. В последующем с применением аналитических методов был рассмотрен ряд новых задач [4, 5]. Следует, однако, отметить, что аналитические методы не всегда применимы для расчетов, поэтому результаты получены, в основном, для некоторых областей частного вида.
Разработанный авторами численный алгоритм решения краевых задач для полигармонического уравнения [6] применяется ниже к решению задачи об определении плоского напряженного состояния трубы произвольного сечения, погруженной в весомую жидкость. Полученные краевые условия для соответствующего бигармонического уравнения при этом содержат три неизвестные постоянные, для нахождения которых получены условия однозначности смещений в удобном для применения численного алгоритма виде. Предложенный метод прост для численной реализации, обладает высокой степенью точности и позволяет решать плоскую задачу теории упругости в произвольной двусвязной области с произвольными граничными условиями.
1. Постановка задачи. Пусть упругое однородное тело, представляющее собой полый цилиндр произвольного сечения, погружено в покоящуюся однородную весомую жидкость плотности р так, что вдоль каждой его образующей гидростатическое давление, действующее на внешнюю поверхность тела, постоянно; внутреннее давление р постоянно на всей внутренней поверхности тела. Пусть к и Н — минимальное и максимальное значения высоты, на которой находятся точки погруженного в жидкость тела. Гидростатическое давление действует на внешнюю поверхность тела по нормали и изменяется по линейному закону: Р (у) = рgy, у е [к, Н]. Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной его боковой поверхности, представляет собой плоскую дву-связную область. Пусть в декартовой системе координат эта область расположена так, что прямая у = 0 совпадает со свободной границей (фиг. 1).
Тогда задачу об определении плоского напряженного состояния рассматриваемого тела можно сформулировать следующим образом: определить компоненты тензора на-
х
к
pgh
У
Фиг. 1
пряжений в каждой точке произвольной двусвязной плоской области Б, граница которой дБ = (дБ)1 и (дБ)2 задана функциями дуговой координаты:
х = хк(5), у = ук(5), 5 е (дБ)к, к = 1,2
На границе задан вектор внешнего напряжения
[Ръ 5 е (дБ),
Р = [Рх (5), Ру (5)] = [?(5)ПХ, Р(5)Пу ] ; Р (5) =\ ' е
[рёУ2 (5), 5 е (дБ)2
где п = (пх, пу) — единичный вектор внешней нормали к границе области Б.
Внешнее напряжение выражается через компоненты тензора напряжений в виде равенств
С ххпх + С хупу = Рх, С хупх + С уупу = Ру (1.1)
которые служат граничными условиями для нахождения напряжений.
2. Переход к граничным условиям для бигармонической функции напряжений. Как известно, в плоской задаче теории упругости все три напряжения внутри области Б могут быть выражены через одну бигармоническую функцию ф (функцию напряжений)
52 -л 2 -л 2
Ф д ф д ф
ОXX = , ОХу = " —, Оуу = ^г (2-1)
ду2 у дхду уу дх2
Граничные условия (1.1) преобразуются к виду ду2 х дхду у д* [ду
2 Пх я.З, Пу дз [ду] Рх(3) 2 2 (2.2) д ф д ф д /дф\ , ,
—тпу--— пх =--1 — 1 = рут
дх2 у дхду дЛдх) у
откуда можно получить нормальные и касательные производные на границах = (Р^) + С«)^ - (Р1у1(з) + С«)^
дф дп дф дп
дф д* дф д*
У '1 (2.3)
= Ну (*) + С®)йу- {¥х (*) + С22))йх2
(Б) й* й*
= (Р^) + С1(1)) ^ + (РЛ(,) + С«) ^ [ Н (2.4)
= (-^у (*) + с®) йх2 + (^ (*) + С22)) йу2
где С®, С® (Л = 1,2) — постоянные интегрирования, (и ¥у (— проекции на соответствующие оси равнодействующей всех сил на участке от 0 до 5 внешнего контура (дБ)2. Из равенств (2.4) определяется функция напряжений на границах
* е (дБ)1: ф(*) = Р1 ^ + ^ + С1(1)х1 (*) + С®у1 (*) + С31)
* е (дБ)2: ф0$) = ¥х (в) у2 (в) - Ву (в) (в) -^у! (в) - (2.5)
- РЕ |у2 ) х2 ) йх2 ) + С1(2)х2 ) + С22)у2 ) + С3:
(2)
Отсюда видно, что функция ф на границах определяется с точностью до несущественного для распределения напряжений линейного слагаемого. Однако в двусвязной области постоянные можно выбрать произвольно только на одном контуре, а на другом их следует находить из условий однозначности перемещений (см. [7]).
Таким образом, рассматриваемая задача теории упругости эквивалентна основной краевой задаче для бигармонической функции с заданными граничными условиями (2.3) и (2.5), определенными с точностью до трех постоянных.
3. Определение неизвестных постоянных, входящих в граничные условия. В рассматриваемой задаче удобно положить постоянные на внешней границе равными нулю. Тогда граничные условия содержат три неизвестные постоянные (на внутренней границе), которые могут быть найдены из условий однозначности перемещений. Перемещение любого элемента области В складывается из поступательного перемещения u = (их, иу) и поворота относительно оси £. Для перемещений их и иу справедливы равенства [5]
о
х 201 дх 1 + у / у 20 У ду 1 + у
где G — модуль сдвига, V — коэффициент Пуассона, p и q — сопряженные гармонические функции, удовлетворяющие условиям
др _ дq _ Аф др _ дq дх ду 4 ' ду дх
Ввиду однозначности функции ^ интеграл от ее полного дифференциала по замкнутому контуру должен быть равен нулю, поэтому
дФ , от, --2 С1х +-— С1у
дх дхду
+
4' (-I+тЪ р)
(дБ)1 (дВ)1
+ + — dy\= (6 рМ!--— (6 — = 0
1 + у 1дх ду ) 1 + у дп
(дД)Л ^ (дБ)! (дБ)1
Следовательно,
4 дqqds = ^ ( ру№ = 0 (3.1)
1 дп 4 1
(дП)1 (дП\
Аналогично,
<} = <} рх(№ = 0 (3.2)
Угол поворота относительно оси % равен [5]
2 ^ дх ду ) 0 (1 + V д ду) 0 (1 + V) дх
откуда следует, что функция Q должна быть однозначной. Поскольку Аф и Q — сопряженные гармонические функции, то
««==/ ^). / (^ <1,^х). 1^
0 0 4 ' у 0 4
Отсюда следует третье условие однозначности перемещений
4 ^ds = 0 (3.3)
^ дп
(ЭБ)1
Таким образом, получены три уравнения (3.1)—(3.3) для определения трех неизвестных постоянных на внутреннем контуре (5Б)1 области D.
4. Применение метода граничных элементов. Из интегральной формулы Грина были получены интегральные соотношения для полигармонических функций [6]. В частности, для бигармонической функции они имеют вид
ей (Р) = | (АО0 - АНо )ds
дВ
ей (Р) = | (иО0 - йН0 + дОу - йН1) ds
(4.1)
дВ
где
л д й д й
й = Д й, и = —, и = —
д и д и
Оо = ^Ы1, = ^ (1 + 1П1), Но , нх
2п г 8п\ г! д и д и
и — бигармоническая функция, г — расстояние между точкой Р и переменной точкой интегрирования, множитель е = 1/2 для точки Р на гладкой границе и е = 1 для внутренней точки.
С помощью метода граничных элементов уравнения (4.1) могут быть представлены в виде системы двух матричных уравнений
(бЕ + А)и - БУ = 0
АА АА (4.2)
(БЕ + А) и - БУ + А и - Б У = 0
где Е — единичная матрица, и, У, и, у — вектор-столбцы, компоненты которых — значения функций в контрольных точках
иу = йР), Vу = и(Р), И у = й (Р), V, = АР), у = и ..., N
А, Б, А, Б — матрицы, элементы которых вычисляются интегрированием соответствующих функций по прямолинейным граничным элементам Г,-:
А, = |Н^, Еи, = |О^, А,, = |Н^, Еи, = |G1ds; ;,у = 1,2, ..., N
гу Г- гу г
Система (4.2) представляет собой систему 2Ы линейных алгебраических уравнений
относительно 2Ы неизвестных компонент векторов и и У. Элементы векторов и и У известны из постановки задачи. В случае двусвязной области к уравнениям (4.2) нужно добавить условия (3.1)—(3.3) для нахождения неизвестных постоянных. Для этого целесообразно привести их к уравнениям, содержащим только неизвестные значения функций й и и.
Из равенства (3.1) следует, что (всюду далее суммирование ведется от у = 1 до у = N)
| ^ds + XаУ | ds = 0 (4.3)
г(1) г(1) 1 у 1 у
где Q(1) — вектор-столбец значений функции б = дq/дх в контрольных точках контура (5В)!, поэтому, после некоторых преобразований, уравнение (4.3) сводится к уравнению
Х(^(хР - х®+ (у® - у?Ц?>) = 0 (4.4)
Аналогично, условие (3.2) преобразуется к виду
Е^Су® - у» + (ху+1 - х®у = 0 (4.5)
Условие (3.3) сводится к линейному уравнению
-10
0 х 10
8 = 0
-15
80
100 ((
120 у)
У
10
х 15
80
100
(С
^120
У
10
0 5 0.2
Фиг. 2
8 = 1
•ч ✓
. / \ 1 / * п * А
\ \
> \/ \
-0.2
0 5 0.2
^У® | ds = 0 о X^У® = 0
(4.6)
Таким образом, для внутреннего контура двусвязной области Б получены три линейных уравнения (4.4)—(4.6), которые совместно с системой (4.2) образуют полную систему уравнений для нахождения значений функций и, и и трех неизвестных постоянных на внутреннем контуре границы двусвязной области Б.
5. Определение напряжений. Решение полученной системы линейных уравнений дает значения вспомогательных функций и и и на границе области в контрольных точках. Значение функции напряжений во внутренней точке Р (е = 1) определяется из второго уравнения (4.1), на
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.