ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОГО ШТАМПА ПО ГРАНИЦЕ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

ЗЕЛЕНЦОВ В.Б.

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 77. Вып. 6, 2013

УДК 539.3

ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОГО ШТАМПА ПО ГРАНИЦЕ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

Рассматривается динамическая контактная задача о движении плоского штампа по границе упругой полуплоскости. Во время движения штамп деформирует упругую полуплоскость, внедряясь в нее таким образом, что его основание остается параллельным границе полуплоскости в каждый момент времени. В подвижных координатах, связанных с движущимся штампом, контактная задача сводится к решению двумерного интегрального уравнения (ИУ), двумерное ядро которого зависит от разности аргументов по каждой из переменных. Приближенное решение ИУ задачи строится в виде ряда Неймана, нулевой член которого представляется в виде суперпозиции решений двумерных ИУ на координатной полуоси за минусом решения ИУ на всей оси. Такой подход позволяет построить решение двумерного ИУ задачи в четырех скоростных диапазонах движения штампа, охватывающих весь спектр его скоростей, а также провести подробный анализ особенностей контактных напряжений и вертикальных смещений свободной поверхности на границе области контакта. Для получения эффективных решений задачи, не содержащих сингулярных квадратур, предлагается приближенный метод решения ИУ, основанный на специальной аппроксимации в комплексной плоскости подынтегральной функции ядра ИУ.

Рассматриваемая задача впервые была исследована Л.А. Галиным [1] методом теории функций комплексной переменной в дозвуковом скоростном диапазоне движения штампа. В дальнейшем ([2—5] и др.) рассматривались аналогичные задачи в разных скоростных диапазонах. Задача была решена [6, 7] в "режиме установившихся движений" без учета инерции основания. Наконец, предлагаемым здесь методом задача была решена [8] в ограниченном скоростном диапазоне.

1. Постановка задачи и ее интегральное уравнение. Рассматривается динамическая контактная задача о движении с постоянной скоростью V плоского штампа ширины 2а (-а - VI < х < а - VI) по границе (у = 0) упругой полуплоскости (|х| < ад, у > 0) в отрицательном направлении оси х. Движущийся штамп внедряется в упругую полуплоскость, смещаясь параллельно оси у по закону у = ) (I > 0), так что его основание остается параллельным оси х. Силы трения и сцепления между основанием штампа и упругой полуплоскостью отсутствуют. Поверхность полуплоскости вне области контакта штампа с упругой полуплоскостью свободна от напряжений: а уу = а ху = 0, где ауу — нормальные, аху — касательные напряжения. На бесконечности в упругой полуплоскости смещения и, и и напряжения ауу, аху, ахх стремятся к нулю. Так как полуплоскость до момента t = 0 находилась в покое, начальные условия задачи нулевые:

I = 0: и = и = д и/д I = д и/д I = 0

Граничные условия сформулированной контактной задачи о движущемся штампе в неподвижной системе координат х, у записываются в виде [1, 2]

у = 0: ауу (х + Vt,0,t) = ф(х + VI,I), и(х + Vt,0,t) = е(), -а - VI < х < а - VI

оуу (х + Уг,0, г) = 0, -°0 < X < -а - Уг, а - Уг < X < да

(.1)

аху (х + Уг,0,г) = 0, -да < х < да

при выполнении условий на бесконечности и начальных условий, где ф(х + Уг, г) — неизвестные нормальные напряжения на границе полуплоскости под основанием штампа.

Уравнение движения Ламе плоской теории упругости в перемещениях в неподвижной системе координат x, у имеют вид [9]

(X + ц) grad Шу и + цАи = ригг; и = и(и, и), и = и(х, у, г), и = и(х, у, г)

где и — вектор смещений, X, ^ — параметры Ламе, р — плотность упругой среды. Для получения интегрального уравнения (ИУ) с фиксированными пределами интегрирования, не зависящими от времени, необходимо перейти к подвижной системе координат х', у', связанной со штампом, двигающимся влево со скоростью V. Подвижные координаты х', у' в этом случае связаны с неподвижными х, у формулами х' = х + У г, у' = у. Переход к подвижным координатам в условиях (1.1) приводит к смешанным граничным условиям в виде

У = 0: ауу (х',0,г) = ф(х',г), и(х',0,г) = е(г), -а < х' < а

оуу (х',0,г) = 0, -да < х' <-а, а < х ' <да> (1.2)

аху (х ',0, г) = 0, -да < х' < да Уравнения движения среды принимают вид

(X + ц) grad div и + цАи = р(и гг + 2Уи л + У2и хх) (1.3)

Применим к краевой задаче (1.2), (1.3) (далее штрихи опускаются) с нулевыми начальными условиями и условиями на бесконечности интегральные преобразования Лапласа по времени t (индекс L) и Фурье по продольной координате x (индекс Г) [10], используя обозначения

(1.4)

В результате краевая задача сводится к решению двумерного ИУ

а

(1.5)

0

а

где

к (х, г) Г ергйр [К (и) еЫхр/сЧи

2т

(1.6)

Г

К (и) = (1 - ;ир2 )2 а2Я \и), И(и) = сУ [ (2и2 + (1 - ш02 )2)2 - 4и 2о]о 2]

(1.7)

ок =Vu2 + (5kl +5k2ß2) (1 - iuß2)2, ßk = -, к = 1,2, ß = c-l, ci = ,

ck ci V P

относительно нормальных напряжений ф(х, i) = о уу(х, 0, ?) в области контакта, Г — прямая в комплексной плоскости u = а + iт, проходящая под углом - arg p к действительной оси, ci и С2 — продольная и поперечная скорости упругих волн в упругой среде.

Всю область изменения скорости разбиваем на следующие диапазоны, обозначенные римскими цифрами I—IV:

I) V > c1, II) c2 < V < c1, III) cR < V < c2, IV) V < cR

Коэффициент c- зависит от диапазона скоростей штампа V и вычисляется по формулам

I) ß1 > 1, ß2 > 1, cv = i(1 + к22)к1/А (1.8)

II) ß1 < 1, ß2 > 1, cv = -(1 + к|)к1/А1 (1.9)

III, IV) ß1 < 1, ß2 < 1, cv = -(1 + к22)2к1/A2 (1.10)

Здесь

А = (1 - k2)2 + 4к1к2, A1 = (1 - k2 )2 + i4kk, A2 = (1 - кf)2 - 4к1к2

kj , kj = J1-ß2, j = 1,2

На действительной оси комплексной плоскости u = а + iт функция K(u) комплекс-нозначная.

При малых значениях аргумента u

K(u) = K(0) + O(u) при |u| ^ 0, K(0) = ß/cV (1.11)

При больших значениях |u| в комплексной плоскости на фиксированной римано-вой поверхности

K(u) = 1/u + O(1/u2) при |uH®, 0 < arg u < 2n (1.12)

а на действительной оси

K(u) = 1/|u| + O(1/u|u|) при |u|^<x arg u = 0 (1.13)

В комплексной плоскости u = а + i т функция K(u) имеет следующие изолированные особые точки: четыре точки ветвления алгебраического типа u = -i у ± (к = 1,2), лежащие на мнимой оси, причем

УГ = , Y ± (1.14)

ß1 ± 1 ß2 ± 1

и два полюса Релея, также лежащие на мнимой оси:

u = ± = -i^; ßR = V (1.15)

ßR ± 1 cr

где ±i~qR — корни классического уравнения Релея (2u2 + 1)2 - 4u4u2 + 1л]u2 +ß2 = 0

В зависимости от диапазона изменения Vпредставляются четыре различных случая расположения точек и = —г у ± (к = 1,2,3) на мнимой оси комплексной плоскости и = а + г т.

I) Р1 > 1, Р2 > 1; УГ > У2 > Уз > Уз > У + > У+ > 0 (1.16) (точки и = -;у ± (к = 1,2,3) располагаются в нижней полуплоскости),

II) р1 < 1, р2 > 1; УГ < 0, у - > у - > у + > у + > у+ > 0 (1.17) (точка и = -гу- располагается в верхней полуплоскости, остальные — в нижней),

III) р1 < 1, р2 < 1; У - < УГ < 0, у - > у + > у + > у+ > 0 (1.18)

(две точки и = -гу- (к = 1,2) располагаются в верхней полуплоскости, остальные — в нижней)

IV) р1 < 1, р2 < 1; у - < у - < У- < 0, у + > у + > у+ > 0 (1.19)

(три точки и = -г у— (к = 1,2,3) располагаются в верхней полуплоскости, а остальные — в нижней).

Для однозначного представления функции К(и) в комплексной плоскости и = а + гт в каждом из четырех скоростных диапазонов V при учете расположения точек ветвления и = -¿у± (к = 1,2) (1.15)—(1.19) проводятся разрезы следующим образом:

I) от точек ветвления и = -г у ± (к = 1,2) до —ж вдоль отрицательной части мнимой оси,

II) от точки и = -¿у- до +;ж вдоль положительной части мнимой оси, от точек . + . ±

и = -Iу1 и и = -Iу2 до — ¡ж вдоль отрицательной части мнимой оси,

III, IV) от точек и = -г у- (к = 1,2) до +;ж вдоль положительной части мнимой оси, от

точек и = -гу + (к = 1,2) до —г'да вдоль отрицательной части мнимой оси.

Однозначное представление функции К(и) (1.7) в комплексной плоскости позволяет вычислить квадратуры, содержащиеся в ядре (1.6) двумерного ИУ (1.5), и представить ядро в аналитической форме

к(х, I) = 2

К (х) Н (х) + К2 (- X) Н(-х)

х * 0 (1.20)

в каждом из скоростных диапазонов V В диапазоне I

К1© = 0

П2© =

4 Прикладная математика и механика, № 6

K2© = -/-1(^)H(-y- - ^)H(-Yl+ - ^)H(y + + $ - /2-2(^)H(-y + - £)H(y- + $ £1© = /± (5) n± © r*1©, r±© = cv[(ni©)2 - (n±±©)2]

(¡0 = (-2^2 + (1 ±^2)2)2

В диапазоне III

В диапазоне IV

При V = 0 двумерное ИУ совпадает с классическим ИУ динамической задачи о нестационарном внедрении плоского штампа в упругую полуплоскость [11]. Если в ИУ (1.5) K(u) заменить первым членом асимптотики (1.13) и предположить, что ф(х, t) не зависит от t, то ИУ (1.5) превратится в ИУ задачи в "режиме установившихся движений" [6, 7].

2. Приближенное решение интегрального уравнения. Приближенное решение задачи или двумерного ИУ (1.5) строится в виде ряда Неймана, нулевой член которого представляется в форме суперпозиции [12—14]

ф(х, t) = ф+(a + x, t) + ф-(a - x, t) -фю(x, t), 0 < t < 2a/c1, |x| ^ a (2.1)

решений ф±(х, t) двумерных ИУ на координатной полуоси

t <»

0 0

и решения ф"^, t) двумерного ИУ на всей оси

\йх | т)к(^ - х, I - = -2лцо-1е(0, < х < ^ (2.3)

0 -ж

ИУ (2.2) продолжаются на всю вещественную ось по координате х

0 0 т(х, I), -»< х < 0

где ит(х, I) — представленные в виде операторов неизвестные функции

I 0

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

научная статья по теме ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОГО ШТАМПА ПО ГРАНИЦЕ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ Математика

Текст научной статьи на тему «ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОГО ШТАМПА ПО ГРАНИЦЕ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ»