ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 3, 2014
УДК 531.01
© 2014 г. В. В. Козлов
ДИНАМИКА СИСТЕМ С БОЛЬШИМИ ГИРОСКОПИЧЕСКИМИ СИЛАМИ
И РЕАЛИЗАЦИЯ СВЯЗЕЙ
Изучаются лагранжевы системы с большим множителем N при гироскопических слагаемых. В первом приближении по малому параметру 8 = 1/N получены упрощенные уравнения движения общего вида с голономными связями. Исследована структура решений прецессионных уравнений.
1. Основной результат. Пусть х = (х1,..., хп) — обобщенные координаты механической системы с кинетической энергией
Т (X, х, г) = Г2 + Т + То
(Тк — однородная форма по обобщенным скоростям Хсъ ., Xп степени к; форма Т2 положительно определена при всех х и г), на которую действуют обобщенные силы
¥ = (¥ь ..., ¥п)
Обобщенные силы р зависят от положения и скорости системы, а также могут зависеть еще и от времени. Динамика такой системы описывается уравнениями Лагранжа
£ (Щ-ЭТ = ^ (1.1)
йг \дхI) дх,
Здесь и всюду далее, если не оговорено иное, I, у = 1,2,..., п, суммирование по / или у ведется от 1 до п.
Предположим, что на систему действуют дополнительные большие гироскопические силы, которые задаются 1-формой
/
N
X и (х)х I
V I
(1.2)
N — параметр, который затем будет устремлен к бесконечности.
Учет гироскопических сил с 1-формой (1.2) приведет к усложнению уравнений движения (1.1):
й- +^^ у=р (1.3)
йг\дх;) дх1 у у Здесь
. =ди1 г =_1
" дху дх,' р
Кососимметрическая матрица Л = (у|| называется матрицей гироскопических сил. Введем еще малый параметр е = 1/Ж. Все встречающиеся здесь функции предполагаются гладкими (бесконечно дифференцируемыми).
Ранг матрицы Л всегда четный. Он может зависеть от точки х. Однако в аналитическом случае почти всюду в конфигурационном пространстве ранг принимает максимальное значение. Будем полагать, что ранг постоянен во всей области конфигурационного пространства, где изучается движение системы.
Теорема 1. Уравнения (1.3) допускают семейство решений в виде формального степенного ряда
х °(0 + ж V) +... причем функция
г ^ х°(г)
вместе с некоторыми множителями ц у (г) удовлетворяет п уравнениям движения й (дТ\ дТ
(1.4)
йг \д±1) дх{
= Ъ + X Х № у
и п уравнениям связей I У±у = 0
(1.5)
(1.6)
Уравнениям (1.5) можно придать вид принципа Даламбера—Лагранжа. Введем по общему правилу возможные перемещения 8x1, которые удовлетворяют уравнениям
X Х У8хУ = 0
(1.7)
а также реакции связей
$ = X ^ у
(1.8)
Ясно, что для всех возможных перемещений
( \ ( \
X = XX у ъх = X ^у X ху5х = -Х ^у X хлдх1
= 0
Следовательно, связи (1.6) идеальные. Согласно принципу освобождаемости можно считать, что система свободна от связей, а их влияние заменяется дополнительными силами — реакциями связей:
£ \дТ
йг ^д хи
дТ_
дхI
= Ъ +
(1.9)
При учете соотношений (1.7) и (1.8) уравнения (1.9), конечно, эквивалентны (1.5).
2. Интегрируемость дифференциальных связей. Связи (1.6) представлены в дифференциальной форме. Поскольку их ровно п, то может показаться, что в типичной ситуации все скорости х1, .■■, х„ равны нулю и никакой содержательной динамики нет. Но это не так. Например, если число степеней свободы п нечетно, то эти уравнения линейно зависимы в каждом положении системы х.
Пусть
m = rank| |Х(у||
Будем считать, что m не зависит от x.
Теорема 2. Связи (1.6) интегрируемые: все конфигурационное пространство расслоено на гладкие (n - m)-мерные многообразия, по которым происходит движение системы.
Таким образом, уравнения (1.5) и (1.6) описывают динамику голономной системы с n - m степенями свободы. Множители ..., цn имеют смысл обычных множителей Лагранжа; в действительности среди них только n - m независимых. Имеется ([1], гл. II) доказательство теоремы 2, основанное на известной теореме Фробениуса.
Теоремы 1 и 2 дают способ реализации голономных связей большими гироскопическими силами. Он не универсален, поскольку таким способом можно реализовать движения систем, конфигурационное пространство которых имеет четную коразмерность.
Теорема 1 дополняет известные способы реализации связей, основанные на введении анизотропного поля упругих сил, сил вязкого трения и присоединенных масс (а также некоторых их комбинаций). Имеется обзор [2] работ в этом направлении с соответствующими ссылками.
3. Доказательство теоремы 1. Укажем схему доказательства теоремы 1. Для этого воспользуемся теоремой 2 и будем считать, что уже введены обобщенные координаты таким образом, что интегральные многообразия уравнений связей (1.6) задаются уравнениями
Xi = const,
xm = const, m = rank
у II
а остальные координаты хт+1,..., хп задают локальную параметризацию этих многообразий. В этих переменных матрица гироскопических сил Л будет иметь вид
0 . . 0"
0 . . 0
0 ... 0 0 . . 0
_ 0 ... 0 0 . • 0 _
где ||ю(у|| — кососимметрическая невырожденная (т х т)-матрица.
Будем теперь искать решения уравнений (1.3) в виде степенного ряда (1.4). Ясно, что координаты
х1 , .-•, хт
будут постоянными. Чтобы найти остальные координаты
0 о
хт+1, .••, хп
как функции времени, надо записать уравнения Лагранжа
й (д д Т г , ! < . < — I — I--= ¥ь т + 1 < I < п
й \д±1) дх1
(3.1)
(3.2)
(3.3)
и подставить в них вместо x1; ..., xm постоянные (3.1). Тогда из уравнений (3.3) будут найдены координаты (3.2) как функции t. В этих переменных множители Лагранжа цm+1,..., цn будут равны нулю, а остальные множители ..., цm однозначно найдутся из первых m уравнений (1.5), в которых переменные xb ..., xn заменены уже найденными функциями времени.
Нетрудно найти по индукции остальные коэффициенты степенного ряда (1.4). Вопрос о его сходимости — деликатная задача. Этот ряд, вообще говоря, расходится (в частности, из-за того, что старшие производные от x1,..., xm входят в уравнения движения с множителем s). По-видимому, степенной ряд (1.4) имеет асимптотический характер. В более простом случае, когда в уравнении (1.3) малый параметр s является множителем только при одной из старших производных x 1, .-•, xn, этот факт был доказан [3]. С несколько иной точки зрения указанный круг вопросов также обсуждался [4, 5].
4. Некоторые примеры. 1°. Рассмотрим задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки с симметричными маховиками внутри под действием заданных внешних сил. Сюда, в частности, включается классическая задача Жуковского—Воль-терры о вращении по инерции гиростата.
Динамика тела описывается уравнениями Эйлера в подвижном пространстве
I ю = (I& + X) хю + M (4.1)
Здесь ю — угловая скорость тела, I — тензор инерции в подвижных осях, X — ненулевой постоянный вектор — гироскопический момент, а M — момент внешних сил. Наличие гироскопического момента связано с дополнительными гироскопическими силами. Для замыкания системы (4.1) надо добавить к ней кинематические соотношения.
Заменим k на NX и будем считать параметр N большим; пусть, как и выше, s = 1/N. Будем искать решение уравнений (4.1) в виде ряда
ю = ro0(t) + £®1(t) + .-•
При всех t вектор ю0 коллинеарен вектору X; положим
юо(0 = v(t)X
В первом приближении по s будем иметь
vIX + v2Xx IX-M = Ххщ (4.2)
Момент M — функция от направляющих косинусов осей инерции твердого тела, угловой скорости и времени t. Умножая равенство (4.2) скалярно на вектор X, получим
v(IX,X) = (M0,X) (4.3)
Если момент зависит только от ю и t, то уравнение (4.3) будет замкнутым (в общем случае неавтономным) дифференциальным уравнением, из которого найдется множитель v. В частности, если M = 0 (как в задаче Жуковского—Вольтерры), то v = const. Итак, при s ^ 0 динамика тела будет описываться динамическим уравнением
I ю + ю х I ю = M + А,хц (4.4)
и уравнением связей
Ххю = 0 (4.5)
Конечно, к ним надо добавить еще кинематические уравнения. Подчеркнем, что связи (4.5) интегрируемы (как и предсказывает теорема 2). При X ф 0 уравнения (4.4) и (4.5) описывают динамику голономной системы с одной степенью свободы: движение твердого тела сводится к вращению вокруг оси гироскопического момента, неподвиж-
ного в теле и в пространстве. После того как будет решено уравнение (4.4), кинематические уравнения Пуассона легко интегрируются простой заменой времени 1 ^ т:
й т = v(t) сН
2°. В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о движении заряженной частицы в заданном электромагнитном поле. Как известно, на нее действует сила Лоренца
Ж = е (я +1 (и х И}}
где E и H — напряженности электрического и магнитного полей, е — заряд, и = х — его скорость, c — скорость света. Магнитная составляющая силы Лоренца является гироскопической силой. В частности, ее присутствие не влияет на сохранность полной энергии. Согласно уравнению Максвелла, й^И = 0. Следовательно, локально И = гоЫ, где A — векторный потенциал. Это обстоятельство позволяет ввести 1-фор-му гироскопических сил (см., например, [1], гл. II).
Рассмотрим случай, когда электромагнитное поле стационарное ^ и H не зависят от 0 и будем считать магнитное поле большим: заменим H на NH и устремим параметр N к бесконечности. Тогда будем находиться в условиях применимости теоремы 1. В пределе, когда N ^ да, заряженная частица будет двигаться по магнитным линиям (интегральным кривым векторного поля Щ. В следующем адиабатическом приближении появляется медленный дрейф (со скоростью порядка частиц поперек силовых линий магнитного поля (см., например, [2] и имеющиеся там ссылки).
3°. Обсудим совсем коротко задачу о малых колебаниях систем с большими гироскопическими силами, описываемых следующей линейной системой второго порядка:
х + NГх + Рх = 0, х е Я"; N > 1 (4.6)
Матрица коэффициентов инерции здесь уже приведена к единичной, матрица Г косо-симметрична, а матрица P будет симметричной, если внешние силы потенциальны. Спектр линейной системы определяется из характеристического уравнения
2 Е + Х N Г + Р| = 0
После подстановки X = цN это уравнение принимает вид
|ц(Г + цЕ) + е 2Р| = 0 или
ц" | Г + ц Е | + е 2{...} = 0 (4.7)
Пусть гапкГ = 2г > 0. Тогда характеристический многочлен | Г + цЕ| будет иметь нулевой корень кратности п - 2г и 2г ненулевых чисто мнимых корней
,.0 , . 0
±;ц1,..., ± г
с простыми элементарными д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.