ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 1, 2013
УДК 539.3
© 2013 г. С. М. Айзикович, А. С. Васильев
ДВУХСТОРОННИЙ АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ О КРУЧЕНИИ НЕОДНОРОДНОГО ПО ГЛУБИНЕ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Развивается приближенный полуаналитический метод решения интегральных уравнений, порождаемых смешанными задачами теории упругости для неоднородных сред. Предлагается эффективный алгоритм построения аппроксимаций трансформант ядер интегральных уравнений аналитическими выражениями специального вида; приводятся замкнутые аналитические решения. Дается сравнительный анализ алгоритмов аппроксимации. На примере контактной задачи о кручении жестким круглым штампом среды с неоднородным покрытием анализируется точность метода. С использованием численного эксперимента изучается связь между погрешностью аппроксимации трансформанты ядра специальными аналитическими выражениями, построенной с применением разных алгоритмов, и погрешностью приближенных решений соответствующих контактных задач.
Предпосылкой к созданию двухстороннего асимптотического метода [1] построения приближенных аналитических решений интегральных уравнений, порождаемых смешанными задачами теории упругости для неоднородных покрытий, служат результаты В.М. Александрова [2], при обосновании метода использовались результаты В.А. Бабешко [3, 4]. Основное преимущество этого метода состоит в том, что он позволяет получить решение для любого отношения толщины покрытия к размеру штампа.
В большинстве работ по контактным задачам для неоднородных материалов исследовались случаи монотонного изменения по глубине упругих свойств покрытия (см., например, [5, 6]). Для решения интегрального уравнения использовались численные методы, точность построенных решений не анализировалась.
Построение аналитических решений контактных задач для неоднородных покрытий сложной структуры приводит к необходимости аппроксимировать трансформанты ядер интегральных уравнений, значительно отличающиеся от трансформант ядер для покрытий простой структуры. Эти трансформанты существенно медленнее стремятся к постоянному значению при больших значениях параметра преобразования Ганкеля, что затрудняет процесс построения удовлетворительных аппроксимаций в рамках использовавшихся ранее методов.
Предлагаемый алгоритм существенно расширяет классы законов изменения упругих свойств покрытий, для которых удается построить приближенные аналитические решения с малой погрешностью.
1. Постановка задачи о кручении. Недеформируемый круглый штамп с плоским основанием жестко сцеплен с верхней гранью Г упругого неоднородного полупространства О, состоящего из неоднородного по глубине слоя (покрытия) толщины Н и однородного полупространства (подложки). С полупространством связана цилиндрическая система координат г, ф, г; координата г отнесена к радиусу основания штампа а, координата z — к толщине покрытия Н, ось z нормальна плоскости Г и проходит через центр штампа. Штамп контактирует с полупространством по поверхности z = 0, г < 1. К штампу приложен крутящий момент М, ось которого совпадает с осью z. Под действием этого момента штамп повернется относительно оси z на угол е, вызвав дефор-
5 Прикладная математика и механика, № 1
мацию кручения полупространства Q. Модуль сдвига полупространства изменяется с глубиной по закону
\Gsf(z), -1 < z < 0
G(z) = \ Jy'' , Gs = const (1.1)
|Gs, -«< z <-1
f(z) — непрерывно-дифференцируемая функция.
Вне штампа плоскость Г не нагружена. При сделанных предположениях граничные условия имеют вид
fx „z = 0, r > 1
z = 0: °z =Trz = 0, \ * = rS, r , 1
При r ^ да и z ^ —да напряжения исчезают.
Считаем, что перемещения и напряжения сопрягаются на границе между покрытием (верхний индекс (1)) и подложкой (верхний индекс (2)):
- _1: (1) - (2) , (1) - , (2)
Требуется определить закон распределения контактных касательных напряжений под штампом
T^zlz=0 = т(г)> r ^ 1
Далее будем полагать, что функцию f(z), определяющую закон изменения модуля сдвига в покрытии, описывает один из следующих законов:
1) f(z) = f0, 2) f (z) = 1, 3) f (z) = f) + (f0 -1) z, 4) f (z) = 1 - f0-1 z,
f0 J0 J0
5) f(z) = ^ - ^cos (2nkz), 6) f(z) = + ^ cos (2nkz)
2 2 2J0 2J0
Показатель неоднородности f0 = const > 1 характеризует отношение модуля сдвига на поверхности Г к модулю сдвига подложки. Ограничимся рассмотрением случая/ = 7/2.
Эти законы описывают однородное покрытие, более мягкое или более жесткое, чем подложка (законы 1, 2), покрытия, в которых модуль сдвига изменяется линейно (законы 3, 4), покрытия с гармоническим изменением модуля сдвига (периодическая структура покрытия, законы 5, 6). Параметр к соответствует числу перемен знака градиента изменения упругих свойств среды.
2. Двухсторонний асимптотический метод решения задачи. Путем применения интегральных преобразований Ганкеля задача сводится к решению интегрального уравнения
1 ю
JT(p)pdp JL(u)J1 () J1 (() du = XG(0)rs, r < 1 (2.1)
0 0
Здесь L(u) — трансформанта ядра интегрального уравнения, Jj(u) — функция Бесселя первого рода, X = H/a — геометрический параметр задачи.
В общем случае значение трансформанты ядра строится численно c использованием метода моделирующих функций [7].
Было показано [1], что трансформанта ядра обладает следующими свойствами:
L(u) = A + Bu + Cu2 + O(u3), u ^ 0; A = L(0) = (.2)
G(-1)
L(u) = 1 + D\u\ 1 + Eu 2 + O(|u\ 3), u ^ œ (2.3)
В случае многослойных сред свойство функции податливости, аналогичное представленному последним равенством (2.2), было отмечено А.К. Приварниковым [8]. Заметим, что, согласно этому свойству, значение L(0) не зависит от того, каким образом изменяется модуль сдвига в пределах от G(0) до G(-1), а определяется только этими предельными значениями. Следовательно, трансформанты ядер, соответствующие множеству законов изменения модуля сдвига с одинаковыми значениями на поверхности Г и в подложке, будут выходить из одной общей точки L(0) и сходиться в одну точку L(œ) = l.
Определение. Будем говорить, что функцияf(u)
а) принадлежит классу П№ где N — натуральное число, если она представима в виде
f (u) = , AьB е с (2.4)
i=1 u + Bt
б) принадлежит классу SN, M, если она допускает представление
m e |u|
f (u) = ln (u) , Dk e C, Ek e R, LN еП n
k=i u + Dk
Было доказано [1], что трансформанта ядра L(u) со свойствами (2.2), (2.3) принадлежит классу SN œ.
Для аппроксимации трансформанты ядра функцией Ln е nN построено [1, 9] аналитическое решение интегрального уравнения (2.1)
т(г ) = 4 G(0)sJ-r-== + E CtZ(r, A[k-1)1 (2.5)
n [Ln(0)Vl - r2 i=i
где s — угол поворота штампа, постоянные Ci определяются из системы линейных алгебраических уравнений
N i + B л -1
Z CiPi Ail-1, BkX-1) + 1 + Bkl = 0, k = 1,2,..., N (2.6)
/=1 Ln (0)Bk?l-2
Связь между моментом и углом поворота имеет вид
(2.7)
M = 16G(0)sa3
1 N
1 +Z CiF(Ail-1)
|_3^(0) м
Здесь использованы обозначения
1
2{г А) = 8Ь Аг + г ^ А - Аг \ChJMi г 5(1, г) J S(г, г)
г
р (А, В) = А еЬ А + А, Р (А) = А еЬ А ~ 8Ь А В2 - А2 А2
5(г, г) = >/ г2 - г2 (г + 7г2 - г2)
Было показано [1], что построенное решение — асимптотически точное как при больших, так и при малых значениях геометрического параметра задачи X.
3. Аппроксимация главной части функции трансформанты ядра выражением специального вида. Точность двухстороннего асимптотического метода строго доказана для X ^ 0 и X ^ да. Очевидно, чем точнее будет построена аппроксимация трансформанты ядра функцией класса ПЫ, тем выше точность построенного приближенного решения задачи для произвольного значения X, поэтому вопрос о построении аппроксимаций трансформанты ядра высокой точности требует детального изучения.
Ниже предложены разные алгоритмы аппроксимации и проведен сравнительный анализ их достоинств и недостатков.
Алгоритм аппроксимации трансформанты ядра полиномами Бернштейна. Для нахождения коэффициентов А,,В (' = 1,...,N) аппроксимации трансформанты ядра Ь(ы) функцией класса ПЫ можно использовать следующий алгоритм.
Сделаем замену переменных и = с^у/(у -1). Таким образом, отобразим функцию Ь(ы) с интервала [0, да) на отрезок [0, 1). Значение положительной постоянной с будем выбирать так, чтобы оптимизировать аппроксимацию функции Ь(ы). Аппроксимируем функции >/Дт) и ^ на отрезке [0, 1] полиномами Бернштейна Ы-го порядка:
,--± N
VLS) ~s~Е-; Е± = ^ а±y'
i=l
где а± ( = 1,..., Ж) — коэффициенты полиномов Бернштейна. Напомним, что если /(х) — непрерывная функция на отрезке [0, 1], то аппроксимация полиномом Бернштейна Ы-го порядка имеет вид
f (x) - bn (x) = х/ (m h*m(i - x)N-m
m=0 N
(Cm — биномиальные коэффициенты). Тогда
VLY) ..s+
l(y) = ■
__'-y
-1, ~
Сделаем обратную замену у = и2 / (и2 + с2), тогда
~ + N
т/ \ 2и ± 2'/ 2 2ЧN—
Ь(и) , 2и = £а, и (и + С ) '=1
Раскрывая скобки, получим отношение некоторых полиномов Ы-й степени переменной ы2. Определяя корни этих полиномов, находим искомые значения А, В1 (; = 1, ..., Ы).
Такая модификация описанного ранее [4] приема, позволяет избежать наличия Ы-кратного корня в знаменателе найденной аппроксимации, что используется в дальнейшем при построении приближенных аналитических решений интегральных уравнений рассматриваемых задач.
Анализ свойств функций классов П: и П2. Рассмотрим функцию Д е П и проанализируем возможность аппроксимации трансформанты ядра Ь(ы) функцией данного вида. Аппроксимация функцией класса неприменима в случае Х(0) = 1, так как тогда
Д(и) = 1.
Поскольку в формуле для контактных напряжений (2.5) явно участвует значение трансформанты при ы = 0, коэффициенты А и В будем выбирать так, чтобы Д(0) = Д0).
Тогда для построения аппроксимации достаточно определить один параметр, который можно найти, например, следующим алгоритмом.
Разобьем предполагаемый диапазон значений параметра A (для большинства законов неоднородности можно взять интервал [1/100, 100]) на (N -1) часть точками А1,...,AN и пусть минимальная погрешность аппроксимации достигается при А = А,, тогда повторим процедуру для интервала [ А-1, А+1]. Процесс продолжается пока интервал [А_1, А
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.