ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 4, 2014
УДК 532.5.013
© 2014 г. В. К. Андреев, Е. Н. Лемешкова
ЭВОЛЮЦИЯ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОГО ДВИЖЕНИЯ ТРЕХ ЖИДКОСТЕЙ В ПЛОСКОМ СЛОЕ
Рассматривается однонаправленное движение трех несмешивающихся несжимаемых вязких теплопроводных жидкостей в плоском слое. Предполагается, что движение происходит только под действием термокапиллярных сил из состояния покоя. Анализ движения сводится к решению линейных сопряженных начально-краевых задач для системы параболических уравнений. Нестационарное решение ищется методом преобразования Лапласа и получено в виде конечных аналитических выражений в изображениях. Доказано, что решение с ростом времени всегда выходит на найденный ранее стационарный режим и дана экспоненциальная оценка скорости сходимости с показателем, зависящим от физических свойств сред и толщин слоев. Путем численного обращения преобразования Лапласа получена эволюция полей скоростей и возмущений температур к стационарному режиму для конкретных жидких сред.
1. Постановка задачи. Рассматривается однонаправленное движение трех вязких теплопроводных жидкостей в плоских слоях
-¡1 < у < 0, 0 < у < ¡2, ¡2 < У < ¡3 с границами раздела
У = 0, у = ¡1 и твердыми неподвижными стенками
у = -¡1, у = ¡з
Будем считать, что вектор скорости в слоях имеет вид и у = (и у (у, I), 0,0), а температур — 0у = -АуХ + Ту(у, I) (здесь и далее у = 1,2,3). Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела линейно зависит от температуры: <п (0) =
= аП - кп0; кп и аП — положительные постоянные, п = 1,2.
После подстановки в уравнения движения и переноса тепла функции и у (у, I) и Ту (у, I) удовлетворяют уравнениям в своих областях определения
Условия непрерывности скорости и температуры на поверхностях раздела (в общем виде эти условия приведены ранее [1]) дают равенства
иР - у ]иууу,
Ту - 1]Т]уу + А]и]
(1.1)
и1(0,1) = и2(0,1), и2(^, I) = и3(}ъ I) Т1(0,I) = Т2(0,I), Т2Ц2, I) = Тз&, I)
(1.2) (1.3)
а также равны потоки тепла:
аддо, о = к2г2у(0, г), к2т2у(12, г) = аду(/2, г)
(1.4)
и имеется заданный скачок касательных напряжений
Ц2«2у(0, 0 - Ц1«1у(0, г) = -Акь ЦзМзу(¡2, г) - Ц2«2у(¡2, 0 = -4к2
(1.5)
где к, — коэффициенты теплопроводности, у,- — кинематическая вязкость, р, — плотность, ^ = vp — динамическая вязкость.
Во втором уравнении (1.1) и граничном условии (1.5) А = А1 = А2 = А3 (это следствие равенства температур при у = 0 и у = ¡2, см. условие (1.3)). Условия для нормальных напряжений сводятся к равенству давлений в жидкостях, а кинематические условия при у = 0 и у = ¡2 выполняются тождественно.
Так как стенки у = -¡1 и у = ¡3 твердые и неподвижные, условия прилипания запишутся в виде
Кроме того, считаем, что на них приложен только постоянный градиент температуры, т. е.
Далее предполагается, что движение возникает только под действием термокапиллярных сил из состояния покоя, так что
Видно, что соотношения (1.1)—(1.8) образуют две последовательно решаемые задачи для скоростей и, и возмущений температур Т. Касательные напряжения на границах раздела (1.5) при t = 0 терпят разрыв, и это — специфика задачи (1.1)—(1.8).
Замечание 1. Рассматриваемое решение уравнений (1.1) является инвариантным относительно однопарампетрической подгруппы непрерывных преобразований, соответствующей оператору
д/дх + А] д/а\® ]
Оно интерпретируется как движение трех жидкостей, возникающее из состояния покоя под действием постоянного градиента температуры, приложенного вдоль твердых стенок у = -¡1 и у = ¡з (тепловой насос). Этот градиент переносится на поверхности раздела у = 0 и у = ¡2 и порождает термокапиллярные эффекты, причем жидкости 1 и 3 можно рассматривать и в качестве смазки. Функции и, и Т, — возмущения состояния покоя жидкостей в слое.
2. Сходимость решения к стационарному режиму. Задача (1.1)—(1.7) имеет стационарное решение [2]
щ^, г) = 0, щ^, г) = 0
(1.6)
Т1(-1 г) = 0, Тз(Ь, г) = 0
(1.7)
П] (у, 0) = 0, Т] (у, 0) = 0
(1.8)
Т0© = А -ЗД + з^2 - 2) + + 1) _ 6 Ь2 _
Т,°ю = А -&(а,£3 + 3а,Е2) + + 1) + а
з
[-1+¡2? ))> Ш - ¡2 № Г! - 1]-*1к2'2 [«1+| И^
_ _ _ (2-1)
«1 = 1 [(¡2 + Ц2 - Ц2¡2)Ml + (1 - ¡2)^2^2)] Ь1
а2 = --^¡М + р1р2(72 - 1)Мг], «з = -ЩТМ + (¡1 + Ц1?2)М2] Ь Ь1
Ь = Ц1М2 -1) - М - ¡1, Ь2 = кк2(1 - ¡2) + кЛ + ¡1 Ь =^1 -^ + -+1>
м2^ {¡2 -Л м 2¡12 I з ) з
описывающее термокапиллярное течение Куэтта в слоях. Здесь а _ A¡lVl Ч _ у Т _ ¡п м _ Мп к - кп
А _ , Ч _ , , ¡п _ . , мп _ , кп _ ,
Х1 ¡1 ¡3 м п+1 кп+1
Хп , Мп _ ^Ь^2; п _ 1,2
Х п+1 VlM2
M1 и Ж2 — числа Марангони. Введем новые функции
^у (у, I) = и° (у) - и у (у, I) (2.2) Тогда ^у (у, I) — решение задачи
^ = Ууу (2.3)
Ц^у(0,1) - Ц2^2у(0,1) = 0, Ц2^2у (¡2,1) - Цз^зу(¡2,1) = 0 (2.4)
^1(0,1) = ^2(0,1), W2(¡2,1) = wз(¡2,1) (2.5)
w1(-¡ь I) = 0, w3(¡3,1) = 0 (2.6)
Wу(y, 0) = иу(у) (2.7)
Отметим, что теперь начальные данные ненулевые, а граничные условия (2.4) выполнены для любых t > 0; при t = 0 их правые части равны Aк1 и Aк2, соответственно.
Умножим уравнения (2.3) на руWу, проинтегрируем по у и результаты сложим. Получим
0 ¡2 ¡3 [0, I > 0
® + | + ц2 ] + ц2 1 ^ = (ак + к. ( + ¡2) = 0 (2'8)
Ш 0 ¡2 ( + К2 («1 + ¡-«2 ) = 0
где кинетическая энергия слоев
0 ¡2 ¡3
£(0 = 2 Р1 1 Wl2(У, № + 2 Р21 W22(y, № + 2 Рз | Wз2(y, фу (2.9)
-¡, 0 ¡2
Для функций —у, 0, удовлетворяющих условиям (2.5) и (2.6), справедливо обобщенное неравенство Фридрихса [3]
| ^(у, г)йу + | w^(y, г)ёу + | ^з(у, г)йу <
< M
/ 0 ¡2 ¡3 4
| Wl2yJt(у)^у + Ц2 | w2y(y, г)йу + Цз | Wз2y(у, г)йу
V -¡1 0 ¡2 ,
(2.10)
м =
л.
2
Цз*
где г — минимальный положительный корень уравнения
вт^г) ^/^сов
.4^2.
-¡М- г)вт
г
л/^2.
- сов(^1г)
в котором
^п
\ + (¿2*) СОв
л/^2
л/^2.
(2.11)
= 0
¿1 = 1 -¿2 = Р ¡2 ¡2\ ^2
Уравнение (2.11) возникает при решении вариационной задачи, соответствующей неравенству (2.10), поэтому постоянная М не может быть уменьшена [3]. Используя неравенство (2.10), из соотношения (2.8) выводим
¿Е(г) ¿г
+ 25 Е < Н(г); 5 = шт
( -Л ]
м
V /
(2.12)
где Ъ({) — правая часть равенства (2.8) (интеграл от Ъ({) равен нулю). Интегрируя неравенство (2.12) при учете начальных условий (2.7), найдем
Е(г) < Е(0)е откуда
-28г
| w1jdy <
2Е(0)е
-28г
О] р]
Для оценок Х2-норм применим тождество ( г
(2.13)
3
I
]=1
^ 3 (
р] 1 1 + V^^^¿г + ц] | w2ydy = I ц] | (и0у)^у
о,
) ]=11 о
= Б = сош!
справедливое для любого решения задачи (2.3)—(2.7). Значит,
| w2ydy < —
(2.14)
0
-¡
Теперь из неравенств (2.13), (2.14) и неравенства Коши — Буняковского получим априорные оценки
0 * Це , щ2(у, 0 < е ; Ц = 2рШ
V
Используя первое условия (2.5) и оценку для щ (у, О, имеем
w22(y,I) < + Г2у5t Значит,
Щ(у,0!<^еЩ2(У,й*МТЖ)е~5"2, Щз(У, 0! < Ме~5"2 (2.15)
Возвращаясь к замене (2.2), приходим к следующему результату: решение начально-краевой задачи для скоростей (1.1), (1.2), (1.5), (1.6), (1.8) единственно и при t ^ да выходит на стационарный режим (2.1), причем справедливы оценки скорости сходимости (2.15).
Можно получить аналогичные (2.15) априорные оценки решения для возмущения температур, задача (1.1), (1.3), (1.4), (1.7), (1.8). Делая замену Щ(у, 0 = Т° (у) - Т(у, ?),
где Т0 — стационарное решение (2.1), и проводя подобные рассуждения, получим оценки (с0. — коэффициенты удельной теплоемкости)
Шу,^\<4о(),\м2(у,0!<^аЖ+ом \мъ(у,01<>/в3(й в]® = (2.16)
ЩРСО]
с функцией
О 12 13
т = 2Р1С01 I ^12(у, t)dy + 2 Р2С02 ]N2 (у, Щу + 2 РзСоз |^з2(у, t)dy
-11 0 12
допускающей оценку
ДО < Ё{0)е 25lt
+
2
(е- е^)2, 51 ^5
52 ! -Ы -81к 2
(51 - 5)2 52t 2е "25lt, 51 =5
§1 = С°У1), § 2 = Лк/3Ё(0)тах(%.), 83 = + С02 + Си)
М — постоянная из неравенства (2.10), где в правой части динамические вязкости ^ заменены на коэффициенты теплопроводности к. Следовательно, и возмущения температуры экспоненциально затухают со временем по закону (2.16).
Полученные оценки (2.16) вместе со сформулированными результатами можно интерпретировать как свидетельство устойчивости стационарного термокапиллярного течения (2.1) относительно однонаправленных нестационарных возмущений.
3. Решение нестационарной задачи. Применим преобразование Лапласа к задаче
(1.1)—(1.8). Получим для изображений и ¡(у, р) и Т ¡(у, р) уравнения
рН](у, р) = VjUiyy (у, р), рТ](у, р) = Х]Т]рр(у, р) + Л&(у, р) (3.1)
20
10
т
50
25
0
-10 1
. ... т = 3 ---т = 10 Стационарное решение / • 1 / • \ / • / • *\ / • ' \ / » • \ / • • 11
у • 1 * / 1 / . / ' /•' // • •\
/'• //• //' V \
к которым добавляются преобразованные условия (1.2)—(1.7) для изображений. Общее решение первого уравнения (3.1), имеет вид
и!=с^Ь+с,2 сьЬ (3.2)
второго
Ту (у, р) = сЫ-^у + с, сЬ^у + Грагу.; ТГрагу- = - А. Г иу{1, - у)41 (3.3)
Ш Ш МРХу 0. и.
где tpary. — частное решение уравнения. Постоянные с], Cj, C1, C2 определяются из граничных условий для изображений (1.2)—(1.7), имеют громоздкий вид и здесь не приводятся.
Проводя длинные выкладки, можно доказать предельные равенства lim pUj(y, p) = ulim p T.(y, p) = T. при p ^ 0
где u°, T. — стационарное решение (2.1).
На фигуре приведены профили безразмерных скоростей и возмущений температуры в слоях
- j ^ TjXi u.■ = Tj =—
1 v1 1 Al1v1
для системы силикон (j = 1) — вода (j = 2) — воздух (j = 3) при температуре 20°C. Соответствующие значения определяющих параметров приведены в таблице. Видно, что с
ростом безразмерного времени т = v^l-2 решение выходит на стационарный режим.
При т = 10 и l1 = 10 м размерное время t = 1 с.
j кг Pj, -3 м 2 v,. • 10-6, м 1 с , А-з кг ц, • 10 3, — м ■ с кг ■ м k,, - 1 3 с3 ■ К 2 X, • 10-6, м с к,. • 10-5, КГ-И 1 2 с2 ■ К
1 956 10.2 9.71 0.133 0.0675 6.4
2 998 1.004 1.002 0.597 0.143 15.14
3 1.205 15.11 0.018 0.0257 21 -
Замечание 2. Неравенство (2.10) можно вывести из обычного неравенства Фридрихса для функции ц>(у), совпадающей с ^Ду) на областях определения. Если (у) е Ж-1, то в силу граничных условий (2.5) *(у) е Ж— уже на всем интервале (-/1, /3), причем
*(-/1) = *(/3) = 0
Следовательно,
/3 2 /з
| *2(у)йу < | у,2Шу
-1 п -/г
откуда и следует неравенство (2.12) с постоян
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.