ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2015, том 118, № 3, с. 459-468
^ НЕЛИНЕЙНАЯ ^^^^^^^^^^^^
И КВАНТОВАЯ ОПТИКА
УДК 535.14
ФИЛЬТРАЦИЯ ФОТОННЫХ ШУМОВ НЕЛИНЕЙНЫМ
ИНТЕРФЕРОМЕТРОМ
© 2015 г. А. В. Белинский, Е. С. Маркина
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 119991 Москва, Россия
E-mail: belinsky@inbox.ru Поступила в редакцию 01.07.2013 г. В окончательной редакции 15.10.2014 г.
Изображения, сформированные светом с подавленными фотонными флуктуациями, являются интересным объектом исследования в смысле повышения предельной информационной емкости устройств. Такой свет можно приготовить в резонаторе, заполненном нелинейной средой, в которой происходит фазовая самомодуляция. Исследованы многомодовые световые пучки, получены пространственно-частотные спектры подавляемых фотонных флуктуаций. Найдены эффективные режимы работы системы.
DOI: 10.7868/S0030403415030095
ВВЕДЕНИЕ
Эффективное приготовление субпуассоновых состояний света, характеризуемых подавленными по амплитуде квантовыми флуктуациями, является актуальной задачей современной физики не только в фундаментальном, но и практическом аспектах (см., например, [1]). Дело в том, что фотонные флуктуации определяют предельный порог точности измерительных устройств, использующих свет в качестве носителя информации. Существует масса способов приготовления таких состояний, но у каждого есть свои недостатки (см., например, [2]). Проще всего получить субпуассонов поток фотонов, испускаемый светоди-одом, ток питания которого представляет собой субпуассонов поток электронов [3], что легко реализовать в силу отталкивания их друг от друга и выстраивания в правильную цепочку. Разменивая каждый электрон на фотон, получим субпуассонов свет. Однако плохо то, что упорядочивание фотонов происходит только во времени, а пространственной регуляризации не происходит, и малошумящих изображений таким образом не получишь. Исследованию пространственно-временнОго поведения квантовых полей была посвящена работа [4], а приготовлению трехмерного субпуассонова квантового света — работа [5]. В ней использовался параметрический процесс ослабления когерентного света в нелинейном пьезокристалле с квадратичной нелинейностью, что само по себе представляет довольно сложную задачу. Альтернативный способ был предложен в [6—8], где показано, что проще всего поставленная цель достигается с использованием нелинейного эффекта фазовой самомодуляции в прозрач-
ной среде с кубичной нелинейностью, помещенной в оптический интерферометр. В этих работах показана принципиальная возможность приготовления субпуассонова света (а в [8] и трехмерного), но оптимизации параметров системы для получения максимальной эффективности подавления фотонных шумов произведено не было. Это и явилось целью настоящей работы наряду с дополнением и обобщением расчетных соотношений [8]. Кроме того, мы проанализировали эволюцию квантового поля с помощью введенных нами неких элементарных пятимодовых структур и получили более общие по сравнению с [5, 8] результаты.
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
На рис. 1 представлена схема кольцевого интерферометра, возбуждаемого внешним излучением, внутри которого заключена среда с кубичной нелинейностью. Он производит своеобразную фильтрацию фотонных шумов когерентного осветителя в определенной области спектра как временного, так и пространственного.
Физический смысл рассматриваемого явления состоит в следующем. Интенсивность поля I внутри обыкновенного линейного многолучевого интерферометра зависит от суммарного фазового набега Ф плоской гармонической волны за время полного обхода интерферометра. Характерная резонансная кривая приведена на рис. 2. Выберем рабочую точку в области экстремальной производной. Теперь предположим, что Ф зависит от I, т.е. в интерферометре имеется нелинейная среда, в которой реализуется фазовая самомодуляция.
ои1
'И * 1
т / ^ . ^ \
V
И = 1 . ^ /
г] = 1
/ И = 1
Рис. 1. Схема кольцевого интерферометра, заполненного нелинейной средой с кубичной керровской нелинейностью. Входное зеркало частично пропускающее, а остальные — глухие с единичным коэффициентом отражения.
Выберем знак нелинейности таким, чтобы увеличение интенсивности вызывало удаление от резонанса, а уменьшение — приближение к нему. Ясно, что такая отрицательная обратная связь стабилизирует интенсивность. Посмотрим, как это реализуется в действительности.
Электрическое поле в интерферометре будем описывать волновым уравнением для напряженности электрического поля е(г, г):
V2е(г,г) - (п/е)2 Э2е(г, о/дг2 = 0,
(1)
торое предполагается монохроматическим, г — время, к = пш/ е — волновое число. Тогда
д 2е(г, г)/д г2 = [д2Е(г, г)/д г2 -
- 12шдЕ(г,г)/дг - ш2Е(г,г)]ег-к*).
В квазимонохроматическом приближении можно пренебречь второй производной по времени, поскольку
|д2Е/дг2| < |2шдЕ/дг\
(4)
для медленно меняющихся по сравнению с колебаниями со световой частотой процессов.
Аналогично для квазиплоской волны, распространяющейся в направлении оси
д 2е(г, г) д *2
¡2к - к2Е(г, г)
д *
е-/(« (5)
Итак,
-± д± Е (г, г) + дЕМ +
I Э^М) = 0, (6)
2к д* V д г
где п — показатель преломления, который в нелинейной среде с фазовой самомодуляцией зависит от напряженности поля, с — скорость света в вакууме.
Представим е(г, г) в виде
е(г, г) = Е (г, г )е (2)
где Е (г, г) — медленно меняющаяся комплексная амплитуда, ш — круговая частота излучения, ко-
где V = е/п — фазовая скорость света в среде, а к = 2тс/А, = ш/V = пш/е — волновое число, Д± =
= д 2/ д х2 + д 2/ ду2 — поперечный лапласиан. Если бы не зависимость п от интенсивности света, это было бы обычное уравнение параболического типа.
Пусть на длине полного обхода высокодобротного интерферометра I (так называемой базе интерферометра) электрическое поле изменяется незначительно, тогда дифференциалы можно заменить конечными приращениями:
дЕ/д* - ДЕ/Д* - ДЕ/1,
1 д Е (г, г)
Д Е (г, г)
2- Д±Е(г г) - ^ д^ 2к V д г
I
(7)
(8)
а Е (г, г) + Iф Е (г, г) + л/2аЕ1п(г, г),
Рис. 2. Резонансная кривая многолучевого интерферометра. Рабочую точку можно выбрать так, что увеличение интенсивности I при наличии керровской нелинейности будет сопровождаться удалением от резонанса, а уменьшение — приближением к нему.
где а = 1 - г < 1 — коэффициент потерь, г — амплитудный коэффициент отражения частично пропускающего входного зеркала, коэффициент потерь а связан с добротностью интерферометра О как
2а = ю ¡/ . Фазовая расстройка интерферометра
(9)
где х — коэффициент, пропорциональный кубичной нелинейности среды %(3). В обычных для фазовой самомодуляции обозначениях
X(3) = кг 2/2е „,
(14)
ф = (ф1 +фщ) ^ 1 (10)
определяется дополнительным фазовым набегом света при полном обходе интерферометра по отношению к условию резонанса, когда полный фазовый набег кратен 2п. Эта фазовая расстройка складывается из линейной и нелинейной частей. Индекс "ш" соответствует внешнему облучению интерферометра на входе.
Отметим, что малое изменение поля за один проход в высокодобротном интерферометре предполагает малые потери и высокий коэффициент
отражения выходного зеркала г2 < 1, так что амплитудный коэффициент пропускания
где г 0 — обычная линейная диэлектрическая проницаемость среды в слабом поле, а г 2 — коэффициент нелинейности.
Предположим, что интерферометр освещается интенсивной когерентной плоской волной с круговой частотой несущей ю и распространяющейся в направлении оси г. Если считать зеркала слабо сферическими и вогнутыми, а внешнее поле соответствующим низшей собственной моде интерферометра, обычно гауссовой, подобное описание вполне адекватно. Иметь в виду плоскую моду и плоские безграничные зеркала проще чисто в методическом плане, чтобы не отвлекаться на мелочи.
Представим Еп в виде регулярной и флуктуа-ционной составляющих:
1 = 41 - г2 =4(1 - г)(1 + г) ~ л/2а. (11) Он стоит и перед комплексной амплитудой внешнего входного поля Е;п, так что произведение
л/2аЕ;п представляет собой небольшую часть поля, прошедшего извне в интерферометр.
Будем интересоваться установившимся режимом работы, или так называемым квазистационарным случаем, когда масштабы изменения поля во времени существенно больше времени полного обхода интерферометра Т = ¡/ V. При этом ЛЕ(г, ?) ~ 0 и окончательно получим
1 ^^ - xл±е(г,, о +
V дt 2к 1 (12)
+ [(а - /ф)Е(г±,0 - Т2аЕь(г±,0]/1 = 0,
где Е (г,, t) — комплексная амплитуда напряженности электрического поля, медленно меняющаяся в пространстве и во времени, г, = {х, у} — двумерный вектор поперечных координат, перпендикуляр -ный оптической оси пучка и интерферометра г (в случае кольцевого интерферометра представляющей собой замкнутую ломаную линию, например, как на рис. 1, прямоугольник).
Без учета дисперсии скорость V = с/п можно считать постоянной, поскольку в установившемся режиме нелинейные изменения показателя преломления п за счет флуктуационных изменений интенсивности светового поля существенно меньше среднего значения п.
Запишем нелинейную фазу как
Е ш(г±, 0 = (Е ¡П(Г±, 0} + ЛЕ ¡п(г±, 0.
(15)
Здесь интересно, несколько забегая вперед, отметить следующий факт. В дальнейшем мы перейдем к квантовому описанию, и там входное поле будем считать находящимся в когерентном состоянии. Так вот, хорошо известно, что амплитуда вакуумной моды отличается от амплитуды когерентной на величину средней комплексной амплитуды последней. В этом можно убедиться на простых примерах: вычисления дисперсии флуктуа-ций квадратур когерентного состояния, которые окажутся такими же, как у вакуумного состояния; вычисления дисперсии фотонных флуктуаций
(Лп2) при описании прохождения когерентным светом светоделителя и т.п. В силу этого свойства любое когерентное состояние | г) можно представить
как результат действия оператора смещения Б(г) на вакуум:
|г> = Аг )|0>,
(16)
а оператор смещения, как известно, изменяет лишь среднюю амплитуду поля. Итак, флуктуаци-онной составляющей когерентного поля ЛЕ ¡п(г, t) в дальнейшем мы припишем свойства вакуумных флуктуаций. Это не относится к флуктуационной составляющей внутреннего поля:
Л Е(г±, о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.