ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2015, том 118, № 4, с. 619-622
^ НЕЛИНЕЙНАЯ ^^^^^^^^^^^^
И КВАНТОВАЯ ОПТИКА
УДК 621.373.826
ФОРМИРОВАНИЕ ОСЦИЛЛИРУЮЩЕГО СОЛИТОНА ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ФОТОННОГО КРИСТАЛЛА
© 2015 г. Т. М. Лысак, В. А. Трофимов
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 119991 Москва, Россия
E-mail: vatro@cs.msu.su Поступила в редакцию 31.10.2014 г.
На основе компьютерного моделирования продемонстрирована возможность формирования нового типа поверхностных солитонов, формирующихся в нелинейных слоистых структурах. Исходный солитон расположен внутри фотонного кристалла и занимает несколько его слоев. Его профиль находится из решения задачи на собственные значения для нелинейного уравнения Шредингера с периодическими линейными и нелинейными коэффициентами. Поверхностные солитоны формируются в результате внесения возмущения в волновой вектор, приводящего к движению солитона поперек слоев фотонного кристалла. После нескольких отражений от боковых границ кристалла при определенных условиях солитон "прилипает" к боковой границе. Для рассматриваемого солитона характерно его проникновение в окружающую фотонный кристалл среду на глубину, равную ширине нескольких его слоев.
DOI: 10.7868/S0030403415040145
Среди различных задач взаимодействия лазерного излучения с веществом формирование солитонов и локализация света внутри фотонных кристаллов (ФК) привлекают наибольшее внимание [1—13] в том числе из-за возможности их широкого применения в информационных технологиях. В частности, интерес представляет процесс распространения солитона вдоль слоев ФК [4—7]. В настоящей работе на основе компьютерного моделирования демонстрируется возможность формирования осциллирующего солитона на границе ФК с окружающей средой. Существенно, что только часть этого солитона локализуется внутри ФК. Другая его часть располагается вне ФК. Таким образом, можно говорить о локализации световой энергии в приповерхностном слое у границы ФК, т.е. о поверхностном солитоне.
Подчеркнем, что основное отличие рассматриваемых солитонов от солитонов, исследованных в [8—13], заключается в их поперечных размерах: рассматриваемые солитоны проникают в окружающую среду на расстояние, равное нескольким слоям ФК, а также располагаются в нескольких слоях ФК. Важно также подчеркнуть, что их реализация имеет место при относительно невысоких интенсивностях лазерного импульса.
Рассмотрим распространение солитона, охватывающего, например, более десяти слоев, вдоль слоев ФК при возмущении направления распространения из-за наличия поперечной компоненты волнового вектора, т.е. он падает на слоистую структуру не перпендикулярно. Детальная постановка задачи приведена в [14, 15].
Для простоты распространение солитона в ФК опишем в рамках Ш нелинейного уравнения Шредингера, которое учитывает только движение поперек слоев. В этом случае в предположении линейной зависимости волнового вектора k от частоты ю и при отказе от выделенного направления распространения (т.е. комплексная амплитуда А(—, t) является медленно изменяющейся амплитудой только во времени) распространение солитона описывается уравнением [16]
е(—) ^ + т, + №(—) + а(—)| А2] А = 0, (1) at д— (1)
t > 0, 0 < — < Ь.
Выше использованы следующие обозначения: 1
D =
4пЦ
в = -пЦ
0 = ^ = ^, a(z) = 3nX(3)(z)E02,
W s
X
(2)
W s
= 2пс/X 0, X 0 = + d2^¡г'2,
— t ^ Ь
X 0 X 0 X 0
Здесь t — координата по времени, — — пространственная координата, X и X0 — соответственно длина волны лазерного излучения и характерная длина волны слоистой структуры, %(3) — восприимчивость третьего порядка, йъ й2 — ширины чередующихся слоев с диэлектрическими проницаемостями е1 и е 2 соответственно, е(—) и
620
ЛЫСАК, ТРОФИМОВ
A(z)|2 2
600
9(z) A(z)| 3 2 1
0 1 -1
-2 -3
0
6
6
4 4
2
610 620
z
|A(z)|2
630
15 10 5 0
-5
2
0
-2 0
(г) /", / i i i
/
630 6
i / \ ✓ .
. . ппппппдцццттрпррппри
600 610
620 630
0
-1
01-1-1-L
600 610 620 630
z
Рис. 1. Профиль солитона (сплошные линии) и распределение фазы (штриховые) в моменты времени t = 0 (a), 2832 (б),
8007 (в), 9271 (г), 30000 (д) для Q = 10.382, а = 0, а2 = -10-3, г1 = 5, е2 = 1.5, е3 = 1, dj = d2 = 0.289 и Qz = 0.082. Слои ФК также изображены на рисунке.
2
1
0
2
4
1
2
0
2
а( z) — соответственно диэлектрическая проницаемость и коэффициент нелинейности, которые определяются следующим образом:
е3, 0 < z < L0,
е1, 0 < z - L0 - (d + d2)(j -1) < d1, 1 < j < Nstr + 1, е2, 0 < z - L0 - dx - (d + d2)(j -1) < d
1 < j < N str,
е3, L0 + (d + d2)Nstr + d < z < L,
е( z)
(3)
а( z) =
0, 0 < z < L0,
а1, 0 < z - L0 - (dj + d2)(j -1) < dx, 1 < j < N str + 1, (4)
а2, 0 < z - L0 - dx - (dt + d2)(j -1) < d2,
1 < j < N str,
0, L0 + (d + d2)Nstr + d < z < L ,
где а15 а2 — коэффициенты нелинейности чередующихся слоев, £ 3 — диэлектрическая проница-
ФОРМИРОВАНИЕ ОСЦИЛЛИРУЮЩЕГО СОЛИТОНА
621
^шах 620
Рис. 2. Положение максимума интенсивности (а) и локализованная в ФК энергия (б) как функции времени. Зависи-
_ 3
мость максимальной интенсивности от времени (в). а = 10.382, а1 = 0, а2 =_ 10 , е1 = 5, е2 = 1.5, е3 = 1, й1 = й2 = 0.289 и а г = 0.082.
емость окружающей среды, N81г — количество пар слоев, Ь — нормированная длина вдоль координаты ^ (она включает расстояние Ь0 перед ФК, длину слоистой структуры, а также Ь0 — длину области за ФК). Отрицательные значения а1, а 2 соответствуют в наших обозначениях самофокусировке лазерного пучка.
Уравнение (1) дополняется искусственными граничными условиями [17]
^ + 12вА = 0, t > 0, г = 0, д t д/е 3 дг
дА + 1 дА + / 2р А = 0, дt уе3 дг
(5)
t > 0, г = Ь
с целью повышения эффективности компьютерного моделирования.
Начальные условия, соответствующие движению солитона вдоль оси г (возмущению волнового вектора), записываются в виде
А(г, t )| t=0 = Л (г)ехр(_/ 2па г (г _ Ьс)), (6)
где А8 (г) — профиль солитона, который находится по алгоритму [18]. Параметр Ьс — координата его центра. Параметр а г описывает перпендикулярное к слоям направление лазерного пучка.
Компьютерное моделирование проводим для ФК, состоящего из 42 слоев одинаковой ширины: й1 = й2 = 0.289. Остальные значения безразмерных параметров равны: а = 10.382, а1 = 0,
_3
а2 = _ 10 , е1 = 5, е2 = 1.5, е3 = 1. Важно отметить, что диэлектрические проницаемости слоев измерялись относительно диэлектрической проницаемости окружающей среды, а их значения близки к соответствующим значениям для полупроводниковых ФК. Данные значения параметров соответствуют длине волны X = 1 мкм, ширине слоев й1 = й2 = 3 мкм и характеристической длине волны слоистой структуры X0 - 10.382 мкм. Интенсивность оптического излучения со-
622
ЛЫСАК, ТРОФИМОВ
ставляет несколько ГВт/см2. Важно отметить, что описываемые ниже эффекты имеют место для широкого диапазона параметров ФК и лазерного излучения [14, 15]. В частности, изменение коэффициента нелинейности равно |а2\ = 10-4-2.5, а диапазон изменения поперечной компоненты волнового вектора Ог = 0.04-0.15. При этом чем меньше максимальная интенсивность лазерного излучения, тем для меньших значений поперечной компоненты волнового вектора наблюдается локализация солитона. Вне некоторого диапазона ее значений имеет место либо отражение импульса от границ ФК, либо его выход за границы ФК.
Профиль начального солитона изображен на рис. 1а. Солитон занимает около 17 слоев ФК, являясь устойчивым относительно малых возмущений. Однако достаточно большие значения поперечной компоненты волнового вектора (О г) приводят, в частности, к формированию осциллирующего поверхностного солитона вблизи правой (или левой) границы ФК (рис. 1, 2). Например, для О г = 0.082 процесс формирования поверхностного солитона состоит из двух этапов. На первом этапе возмущенный солитон движется к левой границе ФК. Затем он отражается от нее (см. рис. 1б, 1в, 2а). При этом около 20% энергии со-литона временно покидает ФК (см. рис. 2б), а максимальная интенсивность возрастает в 1.5 раза по сравнению с ее начальным значением (см. рис. 1б, 2в). На втором этапе солитон останавливается на правой границе, превращаясь в осциллирующий поверхностный солитон (см. рис. 1г, 2а). Он локализуется главным образом в последнем слое ФК с диэлектрической проницаемостью £ 2 = 1.5 и отличной от нуля кубической нелинейностью а2 =—10 .
Дальнейшая эволюция солитона характеризуется постепенным затуханием осцилляций его максимальной интенсивности (см. рис. 1д, 2в). При этом в течение всего второго этапа максимальная интенсивность солитона достигается в последнем слое ФК. Существенно, что только около 60% его общей энергии остается внутри ФК и распределяется примерно по 8 слоям. Остальная часть энергии локализуется в подложке у границы ФК (см. рис. 1д, 2б).
Для объяснения процесса формирования поверхностного солитона на рис. 1 наряду с профилем солитона приведено распределение его фазы в эти же моменты времени (штриховые линии на рис. 1). Направление движения солитона совпадает с направлением наклона волнового фронта. В начальный момент времени солитон начинает двигаться влево (см. рис. 1а). Противоположная ситуация изображена на рис. 1в, соответствующая движению солитона направо. Когда солитон попадает на границу ФК (см. рис. 1б, 1д), поперечная составляющая волнового вектора меняет знак в области солитона, что соответствует изме-
нению наклона направления движения солитона. При этом часть солитона имеет тенденцию к движению налево, а другая — направо. В результате солитон меняет направление распространения или же останавливается.
Таким образом, в работе продемонстрирована возможность формирования нового типа поверхностного солитона, локализованного на границе ФК и проникающего в окружающую среду на расстояние, равное нескольким слоям ФК. Поверхностные солитоны данного типа формируются в результате внесения поперечного возмущения в волновой вектор при распространении солитона вдоль слоев ФК. Заметим, что хотя в работе продемонстрирована локализация солитона на правой границе ФК, в численных экспериментах мы наблюдали локализацию также и на его левой границе.
Исследо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.