ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 4, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. М. Е. Фролов
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ АПОСТЕРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ РЕШЕНИЙ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ КОССЕРА
Получены апостериорные оценки, позволяющие контролировать точность конформных аппроксимаций решения плоских задач, возникающих в теории упругости Коссера, вне зависимости от метода построения этих аппроксимаций. Рассматриваются задачи, граничные условия в которых могут включать как заданные перемещения и поворот, так и поверхностные силы и момент.
1. Введение. Для плоских задач теории упругости Коссера [1] с граничным условием Дирихле были предложены апостериорные оценки функционального типа [2], вывод которых основан на привлечении методов теории двойственности вариационного исчисления. Использованный функциональный подход разработан для широкого класса вариационных задач [3] и наиболее полно описан в монографии [4] и ряде цитируемых там работ.
Ниже рассматриваются задачи, в которых граничные условия могут включать как заданные перемещения и независимый поворот, так и поверхностные силы и момент, что обобщает полученный ранее результат. Применяются не подходы теории двойственности, а прямые преобразования интегральных тождеств и известные неравенства. Дальнейшее развитие на случай трехмерных задач требует более сложных построений, которые, однако, могут быть выполнены по аналогии. В качестве примера использования альтернативного подхода к построению апостериорных индикаторов распределения погрешности, но не ее гарантированных оценок, можно упомянуть индикатор Перича, Ю и Оуэна [5].
2. Линейная постановка задачи для континуума Коссера в плоском случае. Пусть сплошная среда занимает ограниченную связную область & в К2 с непрерывной по Липшицу границей Г. Механическая постановка задачи заключается в нахождении в каждой внутренней точке сплошной среды векторной функции и := (их, иу) — перемещения вдоль осей х и у, и скалярной функции шz — поворота вокруг оси Предполагается, что граница области Г состоит из двух непересекающихся частей Г и Гг Функции f := (/X, ху) и ^ характеризуют заданные внутри области внешние воздействия (силы и момент), а функции ^ := (X у и — заданные на части границы Г5 поверхностные силы и момент. На части Г заданы условия типа Дирихле, т.е. известны перемещения и = иё и поворот ш = шё.
Далее полагаем, что
Гх,/у, е 12(О); ыа е Н1/2(Г* К2), ю, е Н1/2(Гй); 1Х, 1у, т, е 12(Г,) и используем следующие обозначения для функциональных пространств: У := У0 + ый; У0 := {и0 е Н1 (О, К2)| и0 = 0 на Г,}
О := О0 + юй; О0 := (0° е Н1 (О)|00 = 0 на Гй}
Равенство нулю на границе понимается в смысле оператора следа, а И_2 и Н1, Н1/2 -обозначения соответствующих пространств Лебега и Соболева с целым и дробным индексами.
Функционал энергии для рассматриваемой задачи, определенный на паре элементов
((ах, Ыу), юг) е V х О
имеет вид [6]
/( ы%, ыу, ) = 2 ( 1Е+ ( ы2, х + и; у + 2(ыу, х + ых, у)2 +
п
+ Ы X + ЫУ. у^ + Ц(ЫУ, X - Ых, У - 2®г)2 + 25(®2, X + у)) -
^(/хЫх + /уЫу + gzaz)йО - |(^ых + гуЫу + )йГ
Запятая в индексе перед х или у означает дифференцирование по соответствующей пространственной координате, Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона, и В — постоянные, характерные для среды Коссера. При обращении последних в нуль приходим к классической теории упругости. Вводя постоянные Ламе
Е л Е V
ц = -, А =--
^ 2(1 + V) 1 + V1 - 2V
и записывая необходимые условия минимума функционала, получаем
да(Ых + а ) | а = 0 =
= |(2Цых>хих>х + ц(ыУгх + Ых>у) Ц! у + А(Ых>х + ыУгу) Ц! х)) -п
- |цс(ыу, X - Ых, у - 2 Юг) их, уйО - рX иХйО. - ^х и^ = 0 (2Л)
п п г
да-(Ых' Ыу + ) |а = 0 =
п
Г
= |(2 ЦЫу, у ^ у + Ц(Ыу, х + Ых, у) ^ х + А(Ых, х + Ыу, у) ^ у)О +
п
+ |ц(Ыуг х - Ых, у - 2 юг) и0, хйО - ^Ц!йО - |tyV°йГ = 0
(2.2)
п
п
Г
до о
— *("х, + а00)|а = 0 = |(-2ИСЖ,X - "х,у - 2юг)00йЮ +
+ |4 В К, х 0°, х + у 00, у) ¿Ю - ^ 00 аЮ - ^ ©0 ¿Г = 0 (2.3)
п п г
где ( и0 , и0) е V0 и 00 е О0 — произвольные элементы, а — вещественный параметр.
Эти условия дают определение обобщенного решения задачи. Вопросы корректности соответствующей математической постановки (существование и единственность обобщенного решения вариационной задачи и минимайзера функционала) обсуждались ранее (см., например, [6]). Существование пары элементов, на которой достигается минимум, также следует из известных результатов вариационного исчисления для выпуклых коэрцитивных функционалов (см., например, [7]). Имеется также подробный обзор литературы, посвященной математическим вопросам для постановок в более общих случаях, а также вопросам сходимости аппроксимаций, в том числе, априорным оценкам скорости сходимости для галеркинских аппроксимаций [8].
Однако не будем ограничиваться точными решениями соответствующих конечномерных задач, взятыми в качестве аппроксимаций, точность которых необходимо контролировать, а рассмотрим в соответствии с основами функционального подхода максимально широкий класс функций.
3. Погрешность и гарантированные апостериорные оценки. Пусть элементы (их, иу) и
(О г — некоторое приближение к точному решению, построенное любым из методов, обеспечивающих конформность полученной аппроксимации. Тогда, вводя отклонения компонент приближенного решения от точного
:= "х - ~0x, := "у - 0y, %г := ( - (Ог
получим аналог соотношений (2.1)—(2.3).
Преобразуя интегральное тождество (2.1) и подставляя в него в качестве пробных
функций соответствующие отклонения = ^ = ^ 00 = %г
приходим к соотношению
|(2 х + х + уу + х + %у,уКх,х)Ю -
п
- (2у, х - у - 2 уаю = ^¿ю + рх ^ -
п п г
- |(2И°х,х^х, х + "у,х + 0х,у)2х,у + М0х,х + "у,у)2х,х)Ю '
п
+ (0у, х - 0х, у - 2 (г)2х, у^П
п
п
Аналогичным образом получаем соотношения, соответствующие тождествам (2.2) и (2.3). Собирая все три соотношения, имеем
2
[% ]2 = |( 4%х + + ) йГ + |(£%х + + ) йО
- |( 22Хх, X %х, х + 2 И "у, у %у, у + М "х, х + "у, у X, х + %у, у ))О -
п
- "у, х + хх, у)(% х, у + %у, х) + 4В V®, • У%г) йО -
п
- ( "у, х - Х х, у - 2 ®, )(%у, х - %х, у - 2 ) йО, % := (%х, %у, )
п
[%]2 := х + 2 (%у, х + %х, у)2 + 2%2, у + | (%х, х + %у, у)2)
п
+ 12В| V%z2йО + (%у,х - %х,у - 2%,)2йО
йО +
Рассмотрим обобщенный (несимметричный) тензор деформаций у, который выражается через перемещения и поворот формулами
Ухх = "х, х, Ууу = "у, у, Уху = "у, х - , Уух = "х, у +
(см., например, [6, 9]). С несимметричным тензором силовых напряжений ст для изотропной среды Коссера их связывает соотношение
а = (2 + 2с)У + (2 - 2с)уГ + ^гу!
где 0 — единичный тензор второго ранга, индекс Т означает транспонирование.
Обозначим тильдами поля, вычисленные по исходному приближенному решению, например,
ахх = (2 2 + Хх, х + ^"у, у
(компоненты аху, аух, ауу — по аналогии). Ему также соответствует элемент р := := цс( ыу х — ых у — 2 <х,) — аппроксимация поляр := цс(ыу х — ых у — 2юг). Введем свободные элементы х := (X!, Х2 ) и , , где
х е [Н^(О, Г,) := {п 6 12(О, К2)| е МО), п • п е ^(Г,)}
а п — внешняя нормаль к границе области. Таким образом,
Т =
( (
х х
хх , т2 = ху , , = х
V Тух V ту V Ху )
г
п
п
п
Поля X! и т2 играют роль независимой аппроксимации компонент тензора силовых напряжений ст, элемент , — это аппроксимация вектора 4BVюz, состоящего из ненулевых компонент тензора моментных напряжений ^^ = 4Bюz х, Myz = 4Bюz у).
Для элементов введенного выше пространства для любых ( и0 , и0) е V0 и 00 е О0 справедливы формулы интегрирования
0 0 0
X! + |х! ■ у и0 аю = ^ ■ пи0 аг
|шу т2 и0 аю + |х2 ■ у = |х2 ■ п и^аг
|шуО 00 аю + |О ■ У00 аю = р ■ п00аг
п п г,
Учитывая их, имеем
2]2 = |(¿¿х + ty2y + тг)аг + |(^х + /у2у + )^ -
г, п
|(^хх2х, х + Оуу^у, у + ^ух^х, у + ^ху^у, х)-
п
- |(4ВУ( -У2г - 2 Ис(0у, х - "х, у - 2 (г)2г) ^ = п
= |((Тхх - ^хх)2х, х + (Туу - ^уу)2у, у) аЮ + |((Хух - СТух)2х, у + (Тху - ^ху)2у, х ) +
пп
+ |((тхх, х + Тух, у + /х )2х + (т ху, х + Туу, у +/у )2у) аю + |(О - 4 в у() ■ +
пп
+ |(Шу, + 2Ис(0у,х - 0х,у - 2юг) + )2гаю +
п
+ |((4 - (ТххПх - ТухПу))2х + (*у - Тхупх - ТууПу)2у)аю + г,
+ |(тг - Охпх - Оупу)2zdю
г,
(3.1)
Рассмотрим связь между классическими симметричными тензорами напряжений ст^ и деформаций е в случае плоской деформации
п
п
г,
п
п
г,
в = у*УШ := Ш-; 8( ы) = ! (V ы + (V" )т)
Бут л . ~ 8УШ л , ^ 8УШ 8 УШ ^
ахх = X 1Гб + 2 2бхх, ауу = X 1ХБ + 2 цбуу, аху = аух = 2цбху где 1ге — след тензора в плоском случае. Тогда
. 8 УШ 8УШ 8УШ ~ /л 8УШ г
1г а := ахх + ауу = 2 (X + 2) ; а = Ь б
в = Л Га8УШ--Х— 1г а8УШ о) = Ь- а8УШ
2 21 2(Х + 2) '
где Ь — тензор четвертого ранга.
Обозначив п = т — а , преобразуем часть слагаемых в равенствах (3.1)
Пхх%х, х + Пуу%у, у + Пху%у, х + Пух%х, у
= ^±Лух(%х, у + %у, х) + Пхх%х, х + Пуу%у, у + Пху-Пу:(%у, х - %х, у) =
= пБУШ : Е(%) + ^тПух(%у, х - %х, у)
Интеграл от первого слагаемого оценивается при помощи неравенства
I N 1/2 I N 1/2
|п8УШ : в(%)ДО < I |ь-1п8УШ:п^о) I ]Ье(%):е(%)йО
п п п
Второе слагаемое преобразуется следующим образом:
Пху,- п 2
2--
^^(%у, х - %х, у) = I - 2с("у, х - "х, у - 2Ш,) I (%у, х - %х, у - 2%,) +
+ (Хху - Тух - 2 2с("у, х - Хх, у - 2 Ш,))%,
Объединяя с соответствующими слагаемыми в равенствах (3.1), получаем сумму
[4= ГХху-Хух - 2с("у, х - хх, у - 2Ш,)) Т2с(%у, х - %х, у - 2 %г)йО
П^Л 2 у
+ |(ШуХ + хху - Тух + gz)%
+
п
при оценке которой можно применить неравенство Гёльдера и получить промежуточный результат
\1/2^ Л 1/2
>2 ^ I 1 Гг-Ь
х - а г : (х - а г до I
( \ ( V
[%]2 < 12 Ь(X - а)БУШ:(X - аГ^ ]Ьб(%):е(%)йП пп
+
+
Г О Л2 ^ 1/2/
¡и^ - ^ х - ^ у -
аю
1/2
+
/ 8В
1/2
, - 4ВУсо гаю 8В г|
/2 В| У2г
1/2
+
2
+ - 1((°хх, х + Оух, у + /х)2 х + (оху, х + Туу, у + /у )2у) +
п
+ 2 ¡(divО +
Тху Тух + 8 )2 /ю +
п
+ 2 ¡(( 1х - ОххПх - ТухПу)2х + (*у - ОхуПх - ОууПу)2у)^ +
г
+
2 \ (
тг - Охпх - Оупу)2гаю
Поскольку переменные в исходной постановке имеют физическую размерность, то оценку слагаемых необходимо производить так, чтобы размерность каждой части составляла корень из размерности функционала J (в д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.