ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 3, 2014
УДК 531.31: 534.11
© 2014 г. В. С. Сорокин
ГОМОГЕНИЗАЦИЯ ОДНОМЕРНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ПРОСТРАНСТВЕННО МОДУЛИРУЕМЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Исследуются колебания одномерных систем с пространственно модулируемыми параметрами, в частности, струны с переменным поперечным сечением. Используется метод прямого разделения движений, адаптированный для изучения систем, в которых разделение переменных осуществляется не по времени, а по пространственной координате. Установлено, что модуляция поперечного сечения струны приводит к появлению спектра дополнительных высоких собственных частот, которые соответствуют малым волновым числам. Предложено простое физическое объяснение этого эффекта. Получены аналитические выражения для собственных форм и частот колебаний рассматриваемой периодической структуры. Показано, что модуляцией поперечного сечения струны можно контролировать характер ее колебаний, в частности, подавлять высокие частоты.
Задача гомогенизации периодических структур применительно к динамическим процессам была подробно рассмотрена [1], предложена процедура осреднения процессов в таких структурах, основанная на методе многих масштабов [2] и методе усреднения [3]. Существует также ряд подходов к гомогенизации, которые основаны на этой процедуре и применимы для исследования других классов динамических систем [4, 5]. Как правило, при анализе спектральных свойств эллиптических краевых задач с периодическими коэффициентами они рассматриваются в одномерной постановке [6, 7].
Ниже используются методы вибрационной механики и метод прямого разделения движений [8, 9], адаптированный для исследования систем, в которых разделение переменных осуществляется не по времени, а по пространственной координате, в отличие от имеющихся публикаций [1, 4—7], рассматриваются колебания одномерной распределенной системы (струны с переменным поперечным сечением) с континуальными, а не разрывными модуляциями параметров.
1. Колебания струны с переменным поперечным сечением. Исходные уравнения. Рассматриваются колебания струны длиной I с переменным поперечным сечением, описываемые уравнением
Здесь р — плотность материала струны, S — площадь поперечного сечения, T — сила натяжения струны, u(x, t) — отклонение струны. Пространственные модуляции площади поперечного сечения определяются соотношением
S = S 0(1 + a sin kx), 0 <а< 1, к > п/1
Граничные условия имеют вид
(1.1)
и
(1.2)
Для решения уравнения (1.1) используем классический метод разделения переменных, т.е. будем искать его частное решение в виде
u(x, t) = A(x)B(t) (1.3)
В результате для новой переменной A(x) получаем уравнение
A " = -х(1 + a sin kx)A, х = ^2р^оT (1.4)
где Q — частота колебаний струны.
Для решения уравнения (1.4) воспользуемся подходом вибрационной механики и методом прямого разделения движений (МПРД). Процедура применения метода остается той же, что и в традиционных случаях, однако рассматривается уравнение относительно координаты x, а не времени t. Подробно применимость МПРД к решению таких задач обсуждается в разд. 4. Решение уравнения (1.4) разыскивается в форме
A = A1(x) + y(x, kx) (1.5)
где A: — "медленно изменяющаяся", а у — "быстро изменяющаяся", 2п-периодиче-ская по безразмерной ("микро") координате x: = kx переменная, среднее за период по x: значение которой равно нулю:
<V(x, xi)> = 0
(угловые скобки означают осреднение по за этот период). Отметим, что формула (1.5) аналогична форме представления решения эллиптических краевых задач с периодическими коэффициентами, которая была предложена и обоснована ранее [10]. Осредняя уравнение (1.4) по x¡, получим уравнение для переменной A:
d 2 A
—2- + xAi = -xa(v sin xi) (1.6)
dx
Уравнение для "быстро изменяющейся" переменной у может быть получено путем вычитания уравнения (1.6) из уравнения (1.4):
V ''+XV = -Xa ((Ai + у) sin xi -(у sin x^) (1.7)
Отметим, что в предельном случае при отсутствии модуляций, как и следовало ожидать, будем иметь у = 0 и A = A¡.
2. Решение задачи. Для решения рассматриваемой задачи будем использовать МПРД в его модифицированном виде [11, 12], т.е. без использования одного из обычно вводимых упрощающих предположений, которое в данном случае приобретает следующую форму: при решении уравнения для переменной у можно считать переменную A: "замороженной" (постоянной). Отказ от этого предположения позволит получить более точные результаты; подробное обсуждение причин использования модифицированного метода в рассматриваемом случае будет проведено в разд. 5.
Итак, при решении уравнения (1.7) будем учитывать зависимость переменной от x. Ищем решение в виде ряда
у = Bii sin xi + Bi2 cosxi + B2i sin 2xi + B22 cos2xi + ... (2.1)
Удерживая только первую гармонику, что обоснованно при малых а, получим решение уравнения (1.7) в виде
х 2х k
V = aAiXi sin xi + a Aft 2 cos xi, Xi =2 — > X 2 = —2 —2
k - X (k - X)
Используя это выражение, преобразуем уравнение (1.6) для "медленно изменяющейся" переменной A1 к виду
A + X2 A = 0, X=Vx(l + а V2) (2.3)
Перейдем к анализу граничных условий (1.2). При учете разложения (1.5) эти условия могут быть записаны в форме
4(0) + y(0,0) = 4(0 + y(l, kl) = 0 (2.4)
Учитывая выражение (2.2) для у, из равенств (2.4) получим граничные условия для медленно изменяющейся переменной A1
х = 0: Ai(0) + aA'(0)x2 = 0 (2.5)
х = l: A1(l) + aA1(l)x1 sin kl + a¿1(l)%2 cos kl = 0 (2.6) Подставив общее решение уравнения (2.3)
A1 = E^in кх + E2cos кх; E1, E2 = const (2.7)
в условие (2.5), получим
E 2 + ax 2^ El = 0 (2.8)
Теперь из второго граничного условия (2.6) следует уравнение для определения частоты Q:
(sin Xl - ax2X cos Xl) (1 + ax1 sin kl) + ax2X (cos Xl + ax2X sin Xl) cos kl = 0 (2.9)
Для решения этого уравнения применим метод конечных произведений [13] с использованием формул
m / 2 Л т ( \2 \
s^=п I1 - cos«=п (1 - eí)(m-y (1
Число удерживаемых сомножителей в произведениях (2.10) влияет на число и значения корней уравнения (2.9). Представляют интерес частоты Q, которым соответствуют волновые числа, удовлетворяющие условию X < k, которое, в свою очередь, является условием применимости МПРД для решения рассматриваемой задачи (см. разд. 4). Для определения таких частот достаточно удержать лишь несколько сомножителей в произведениях (2.10).
Поясним это утверждение на примере однородной струны. Ее частотное уравнение имеет вид sinW = 0. Удерживая только первый сомножитель в первом представлении (2.10), получим один корень
í~> п \ Т ^ _ п
"1(0) , Л1(0) " l П Р^о '
Удерживая два сомножителя, будем иметь два корня: приведенный выше и
гч 2п IT-, _ 2п
^2(0) =—J —, Л2(0) - — l VPS0 l
и т.д.
Будем удерживать по два сомножителя в каждом из произведений (2.10), тогда уравнение (2.9) будет иметь девять коней — выражений для квадрата частоты Q2. Однако
П2
10
• •
▲ ▲ ■ ■
k О -■ 4П/1 А 9л/(2/) • 5п/1 • й А.
0.5 1.0
Фиг. 1
верными из них будут только те, для которых выполняется условие X < к. В результате будем иметь пять корней, одному из которых соответствует X = 0.
На фиг. 1 представлены волновые числа X и соответствующие им значения О2, полученные из уравнения (2.9) при следующих значениях параметров:
50 = 1 мм2, р = 1 г/см3, Т = 100 г • см/с2, I = 5 см (2.11)
а = 1/2 и разных значениях k, указанных на фиг. 1 вместе с маркерами. Для сравнения показаны светлыми точками значения X и О2 для однородной струны.
Видно, что модуляции поперечного сечения струны приводят к незначительному изменению первых (основных) собственных частот и О2 по сравнению с их смодулированными значениями О1(0) и О2(0). Также слегка меняются соответствующие им волновые числа Х: и Х2. Другой важный эффект — возникновение дополнительных частот О3 и О4, значения которых существенно превышают О1(0) и О2(0). Заметим, что соответствующие им волновые числа оказываются близкими к Х1(0) и Х2(0). Имеет место существенная зависимость волновых чисел и собственных частот от характера модуляций поперечного сечения струны.
Удерживая по три сомножителя в каждом из произведений (2.10), будем иметь семь (верных) корней уравнения (2.9), одному из которых соответствует X = 0. В случае однородной струны было бы три корня
^1(0) = п/1, ^ 2(0) = 2п/1 > ^3(0) = 3п/1
Удерживая четыре сомножителя, получим девять корней и т.д.
Таким образом, вследствие модуляций поперечного сечения струны возникают два эффекта:
1) появление дополнительных высоких частот, соответствующих малым волновым числам;
5
2) изменение (основных) собственных частот Q1; Q2 и т.д. по сравнению с их "смодулированными" значениями Q1(0), П2(0) и т.д., причем как в сторону увеличения (например, при k = 5n/l), так и уменьшения (например, при k = 4л//).
Отметим связь последнего эффекта с результатами анализа спектра сильно неоднородных сред [1, 6, 7]. При а < 1/2 собственная форма колебаний рассматриваемой неоднородной струны имеет вид
A(x) = (sin Xx - ах2Х cosXx)(1 + ах1 sin kx) +
+ ax2X (cos Xx + ax2X sin Xx) cos kx (2.12)
3. Об эффекте появления дополнительных частот. При решении уравнения (1.7) для "быстро изменяющейся" переменной у учитывалась только первая гармоника. Учет других слагаемых в ряду (2.1) приведет к некоторому изменению итогового уравнения для "медленно изменяющейся" переменной A1 и соответствующих граничных условий.
Так, удерживая первые две гармоники, будем иметь
a;1+Х2A1 = 0, А.1 = Jx
'l + a2 2 2X2(X- 4k22-4 I (3.1)
(a2 - 4)x2 + 20xk2 - 16k4
В результате уравнение для собственных частот Q будет иметь вид, отличный от (2.9). Решая это уравнение методом конечных произведений и учитывая по два сомножителя в равенствах (2.10), получим не пять, а семь (верных) корней — выражений для Q2, одно из которых соответствует X = 0. Первые четыре корня будут мало отличаться от найденных выше, остальные два будут такими, что
^ Q3 , X5 ~ Х3, ^ ^4, X6 ~ X4
Удерживая три гармоники в решении (2.1), получим девять корней уравнения для собственных частот Q, и т.д.
Таким образом, модуляция поперечного сечения струны приводит к появлению целого спектра дополнительны
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.