ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 4, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Р. Д. Банцури, Н. Н. Шавлакадзе
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ
ДЛЯ ПЛАСТИНЫ С ВКЛЮЧЕНИЕМ И ПОЛУПРОСТРАНСТВА С РАЗРЕЗОМ
Рассматриваются задачи определения механического и электрического полей в пьезоэлектрической пластине, подкрепленной включением, или в полупространстве, ослабленном разрезом. С применением методов теории аналитических функций эти задачи сводятся к системе сингулярных инте-гродифференциальных уравнений (для пластины) или к сингулярному интегральному уравнению с неподвижной особенностью (для полупространства). При помощи методов ортогональных многочленов и интегральных преобразований получены приближенное и точное решения поставленных задач.
Ранее были рассмотрены задачи определения механического и электрического полей в пьезоэлектрической среде (кристалл гексагональной системы 6 мм, поляризованная керамика), ослабленной туннельными прямолинейными [1—3] или криволинейными разрезами [4, 5]. Рассмотрены [6] различные краевые задачи механики разрушения для пьезоэлектрической среды.
1. Пластина с включением. Рассмотрим неограниченную пьезоэлектрическую пластину (кристалл гексагональной системы 6 мм), подкрепленную тонким конечным включением переменной жесткости в виде заземленного электрода. Включение нагружено тангенциальными и нормальными силами интенсивностей т0(х) и р0(х). В пластине на бесконечности имеет место однородное поле механических и электрических
напряжений стш а33, т13, Е1 = Е3 = 0, на берегах включения значение потенциала
электрического поля равно нулю: ф + = ф- = 0. Задача заключается в описании полей механических напряжений и электрической напряженности (фиг. 1).
Согласно условию равновесия элемента включения и закону Гука получим
— IЛ) - то(ОС; Е(х) = ЩЕ1(х)
(хК 1 -V?
с1х Е(х) J 1-V ?
-1 1 (1.1)
йх1
сСх
Ро(х) - р(1)(х), |х| < 1
I [т(1)(0 - тоИ)С = о, I Ш) - ра)(0С = 0, I Г[ро(0 - р{1)Ц№ = 0 (1.2)
-1 -1 -1
где и(1)(х) - горизонтальные, м(1)(х) - вертикальные перемещения точек включения, т(1)(х) и р (1)(х) - неизвестние скачки тангенциальных и нормальных контактных напряжений, Е1(х), к1(х) и у1 - модуль упругости, толщина и коэффициент Пуассона материала включения, В(х) - цилиндрическая жесткость включения.
В условиях плоской деформации такой среды в плоскости х01 система разрешающих уравнений относительно функции напряжений ф1 и потенциала электрического поля ф ? имеет вид [6]
/11Ф1 + /Пф ? = 0, /13Ф1 + / ??ф? = 0 (1.3)
2
с
ZJ \ X Po(x)
-1 / То(х) n - 1 x 0 ф
Фиг. 1
и
33
IXI
13
т
(Ю
13
т
IX/ 11
а
11
а
13
т
IX/
13
т
33
а
где
Iii = aiodi + ai2d2d2 + a^, lu = 121 = a2id2d 3 + Я2зд 3, 122 = a2odi + Д22дз
д! =A, дз =д дх dz
2 -i _ 0 л -к 2 -i
a10 = s33 - , ai2 = s44 + 2si3(i - s12s11 /, a14 = s11 - s12s11
-i 2 -i -i a20 = £1b a2i = d13s13s11 - d33 + d15, a22 = £33 - d13s11 , a23 = d13(s12s11 - i)
Sjj, d/j и £jj - соответственно упругие податливости, пьезоэлектрические модули и диэлектрические постоянные, фигурирующие в уравнениях состояния среды.
Общее решение системы (1.3) имеет вид (всюду далее, если не оговорено иное, k, n = 1, 2, 3 суммирование по k ведется от 1 до 3)
Ф1 = 2Re^уk |фk(Zk)dZk, Ф2 =-2Re^X¿Фk(zk)
(1.4)
Zk = x + Ц ky, Цз+k = Д k, Y k = a20 + a22ß k, X k = k + a23^k
цк — корни характеристического уравнения
((«10 + «12^2 + «14^4)(«20 + «22^2) - Ц 2(a2i + a23^2)2 = 0; Im^k * 0
Используя уравнения состояния и формулы (1.4), находим выражения для напряжений, смещений, напряженности электрического поля и компонентов электрической индукции в среде
3
оп = 2Яе £ у к|1 2кФ 'к (гк), Озз = 2Яе £ у кФ'к (гк), Т13 = -2Яе £ у к|| кФ ' ')
и = 2Яе£ Рк Ф к (гк), ^ = 2Яе£ ЯкФ к (гк) Е1 = 2Яе£ X кФк (*к), Е3 = 2Яе£ X к| кФк )
А = 2Яе£ ГкЦ кФ'к (гк), А = - ГкФк (гк) (1.5)
2 1
Рк = «14Ук|к + ^ («12 - 544)У к - «23Хк|к
Як = 1 («12 - ^44)ук|к + «10Ук|-1 - («21 - ¿15)Хк
Гк = «20Х к|-1 - ^15У к Граничная задача имеет вид
2Яе[^«пкФ'к() = (), t е (-«,«)
т±(о = +т(0, т2±(о = +р(о, тз±(0 = о, ф+(0 = Ф-(о = о (1.6)
«1к = -У кЦ k, «2к = -У k, «зк = -Х к Ее решение представим следующим образом: 1
Фк(гк) = А |^¿Жк (1.7)
2т -1 tk - гк
Постоянные Ak определяются из условий на бесконечности.
Переходя в равенствах (1.7) к предельным значениям и подставляя их в соотношение (1.6), получим после преобразований
у ТОпк V ЮкШ =
П1 : ' -
-1 1 1 (1.8)
Nl(tо) = -2 |^ - 2тГз, N2(tо) = -2 |^ + 2сз°з, N3^0) = 0 т ^ 5 -10 т ^ 5 -10
Вводя обозначения юк(t) = &,к>/1—Т2, где — функция класса Н0 на интервале (—1, 1), приходим к трем независимым интегральным уравнениям и к системе алгебраических уравнений
1
1 Г 6п(^ = X 2«пкПк (t) = ап(П (1.9)
П -12(t -
Решение первых трех уравнений (1.9) в классе к0 [7] имеет вид п . . 1 \ N„(^1 - г2йг
е^ = — | ——-+я„
т ^ г - 50
Следовательно, применяя формулы перестановки порядка интегрирования Пуанкаре—Бертрана, получим
а(*о) = -270 - 2т(5о)>/1-^ + /51 + О?^о) = -2р(*оЯ1-^ - 20 + ¡3?
т п
1
О^о) = /53, То = | то(г)Сг
-1
Решение системы алгебраических уравнений (вторая система равенств (1.9)) дает
(г) = 2 X ь„кО„(), в = {Ь„к }3х3 = А_1, А = [а„к }3х3
»к (г) = -Ь1к т(г) - ь?кр(г) + (Ъ№ т^ - ъ?^)—1=^ + »к
а/Г-? ъТГ-? (1.10)
Фк(^к) = Ак - Ък-. 1ХтШ - ЪП 1 — + (Ъ1Л3 - Ъ?к-з3)П '
2л; г - 1к 2л/ * г -
-1 к -1
»к = Ъ1к (-270 + /81) + Ъ?к/Ь ? + Ъ3к/Ъ3
ту
11 ( \
, »к
/ + - ^к
л/1-г]? ^
Для определения постоянных 8И к уравнениям (1.8) необходимо добавить следующие условия однозначности смещений и условия равенства нулю потока электрической индукции через любой замкнутый контур, охватывающий включение:
1
Ке X Р„к | ®к(г)Сг = о, ртк = Рк, Р2к = Чк, Р3к = 1
-1
Запишем их в виде системы уравнений
С„А + С„?б2 + С^ = /„, С„у = \ш{р„кЪ]к}; „, у = 1,2,3 /„ = 2(1 + п)7о Яе £ р„кЪ1к
Учитывая решение (1.10) и условие контакта включения с плоскостью, получим систему сингулярных интегродифференциальных уравнений относительно искомых величин т(х) и р(х):
11 х
| Ш + _? | ¿т = ^ | [т(г) -то(г)] сг - т
п г - х п г - х Е(х) -1 Г 1 -1 1 (1.11)
П(х)С|_1 |ТЖ + к |ИЖI = ]Л)^о(х) - р(т)]Ст - /?(х), х < 1 ах п •' г - х п •' г - х
I -1 -1 ) -1 -1
где
Х1 = Ркь1к, х 2 = РкЬ2к, хз = ЯкЬ1к, х 4 = ЯкЬ2к
( 1)ш+1 4 Г
/т(х) = Й14СТи81т + -(«12 - 544)^-2т,3 + 4 Яв ^^(т^к - О^к )1 * +
2 п I 41 - х2)
+ Яе £хкт)-т^=, т = 1,2; 5П = 1, 812 = 0; К1 = рк, К2) = я 2У1 - х2
Если Т0 = 0, имеем 5к = 0.
Доказывается, что если Яе ц к = 0, то X 2 = X 3 = 0. Представим решение системы (1.11) в виде
да да
т(х) - То(х) = —Ц X ХкРк~^2'~^2\х), Ро(х) - Р(х) = -Г1 X 7кр-1/2'-1/2)(х),
>/1 - х2 к=0 >/1-х2к=о (1.12)
|х| < 1
где Хк и Гк (к = 0,1,2,...) — неизвестные коэффициенты из пространства ограниченных
последовательностей, р( ^2)(х) — ортогональные полиномы Якоби [8].
Подставляя решения (1.12) в соотношения (1.10), применяя формулы Трикоми и условия (1.2), получим
да да 2 1/2 да
а- Е ХкРка/12Д/2)(х) + х 2 £ гкр(^(х) = - £ Хкрка/12Д/2)(х) + й(х)
к=1 к=1 2Е(х) к=1 к
да да
4 Е (к+X3 £ (к+1)ХкРк(//223/2)(х) =
(1.13)
Л
4 ^ - к к 2 * - 4
к=2 к=2
2 3/2 ^
: 177Т^Рк(-/223/2)(х) + г 2(х) (1.14)
4Дх) к=2 к(к - 1)
где
г1(х) = -к Г ММ -Ьи г ММ - /1(х)
я t - х п * t - х
-1 -1
г 2(х) = -В(х)-у ах
( 1 1 Л
г Ро(.¥. + г ТО^.
л -1 t - х л-1 t - х
V -1 -1
- /2(х)
X о = о, Го = ¥1 = 0
Умножив обе части уравнений (1.13) и (1.14) на функции V1 - х2Рт-212)(х) и
(1 - х2)^2 рт-22,3'2)(х), соответственно, интегрируя от —1 до 1 и применяя условия ортогональности полиномов Якоби, для определения неизвестных коэффициентов получим дуальную бесконечную систему линейных алгебраических уравнений [9]
X У X
М т — + ^ ?а т — + X Я-шк-т = /т, т = 1,2,.
т ш к
к=1
^Р тХт + ^ 4р тУт + X
тк
к=2 к(к - Т)
Ук = 8ш, т = 2,3,...
(1.15)
где
Ятк = -
О 1ч (X / И
, 2Е(х)
8Б(х)
к = 1,2,...
/т = 1 (1 - х^^х^ПхСх, 8т = - ? / (1 - х'^Р——
-1 -1
а Г2(т + 1/2) _ = (т + 1)Г 2(т + 1/2) т Г(т + 1)Г(т), тГ(т + 2)Г(т -1)
С применением формулы Стирлинга для гамма-функции имеем ат ^ 1, вт ^ 1 при
т ^ да.
Если Е(х) > 0 и Б(х) > 0 - непрерывные функции на сегменте [—1, 1], имеем следующие асимптотические оценки:
Я
тк
0(т 1!2), 0(к 1!2), к Ф т - 1, т + 1, к, т ^ да 0(т 1), к = т, т ^ да 0, к = т - 1, т + 1
[0(к 3/2), 0(т 3/2), к Ф т, к, т ^да
' тк
\0(т к = т, т ^ ж Систему (1.15) можно представить в виде
^аХ1 + Е Я1кХ-к = /1
(1.16)
к=1
Хт + Е 1ткХк + Е ГткУк = /Ш, Ут + Е NшkXk + Е КкУк = яШ; т = 2,3,. (1.17)
к=1
к=2
к-1
к=2
где
г = 1тХ 4 Ятк р =
А а ш к
1 7тк N = 1 шХ3 Яшк N' = 1 7
. > тк . т ' шк
АРш к(к - 1)
А а ш к
АРтк(к -1)
в Ш
г, 1 (тХ4 г X? 1 , 1 ( ХТ тХ3 ,
1т = А1-— ■'т 8т \, 8т = т1~ 8т--1т \, А = Х1Х 4 -Х 2Х 3
Аф
Для исследования системы (1.17) на регулярность в пространстве ограниченных последовательностей рассматриваем следующие суммы:
со
Фиг. 2
S® = X \Lmk |, S® = ^\L'mk I, Si3) = X \Nmk |, Si4) = X\N'mk \, m = 2,3,... (1.18)
k=1 k=2 k=1 k=2
На основе асимптотического представления заключаем, что общие члены рядов (1.18) стремятся к нулю как k-532, при k ^ да и соответственно ряды (1.18) сходятся;
Sm (i = 1, 2, 3, 4) стремятся к нулю, как m-132, при m да. Свободные члены системы
(1.17) f'm, gm ~ m-33 при т ^ да.
В силу последних выводов можно утверждать, что система (1.17) квази-вполне регулярна в пространстве ограниченных последовательностей [10]. Из системы (1.17)
можно определить {Xk (X1), Yk (X1)}k=2, а из равенства (1.16) определяется X1. В случае
E(x) = E0(1 - x2)1/2, D(x) = D0(1 - x2)3/2, E0 = const > 0, D0 = const > 0 имеем
[- —am, m = k [— , m = k
Rmk = j E0 m , Tmk = j D0 m + 1
[0, m * k [0, m * k
2. Полупространство с разрезом. Рассматривается задача распределения механических напряжений и электростатических полей в пьезоэлектрическом полупространстве x1 > 0 гексогенального класса 6 мм с трещиной. Пусть прямолинейная туннельная трещина располагается в плоскости симметрии x3 = 0 на участке 0 < x1 < 1, |x2| < да, причем ось х3 совпадает с осью симметрии материала (фиг. 2).
Предполагается, что компоненты
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.