ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 5, 2013
УДК 532.529
© 2013 г. В. В. Коледин, В. Ш. Шагапов
К ДИНАМИКЕ РОСТА ПАРОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ В ПЕРЕГРЕТОЙ ЖИДКОСТИ
Полагая, что жидкость и паровой пузырек (или система паровых пузырьков) в исходном состоянии находятся в механическом и тепловом равновесии, изучается кипение перегретой жидкости. Показано, что состояние смеси жидкости с пузырьками неустойчиво вследствие действия капиллярных сил. Построены линейные и нелинейные решения, описывающие выход системы из неустойчивого состояния, а также неограниченного роста одиночного пузырька и переход в устойчивое парожидкостное состояние при наличии в исходном состоянии распределенных по объему пузырьков.
Состояние жидкости, когда ее температура выше равновесной температуры фазовых переходов при заданном давлении (перегретая, или метастабильная жидкость), обычно реализуется быстрым понижением давления от исходного значения. Такие жидкости применяются при регистрации и изучении свойств элементарных частиц в атомной физике (пузырьковые камеры). Кроме того, течение высокотемпературных жидкостей во многих технологических процессах теплоэнергетики и химической промышленности могут сопровождаться переходом жидкостей в метастабильное состояние. Возможные фазовые переходы, определяемые способностью жидкостей пребывать в таком состоянии, являются главными при реализации критических режимов истечения вскипающих жидкостей. Изучение процесса образования и роста паровых пузырьков представляет интерес и в случае течения холодной жидкости, когда снижение давления приводит к кавитации. Поведение жидкостей в метастабильном состоянии определяется наличием в их составе примесей в виде газовых зародышей, твердых частиц, фонового излучения, а также многих других факторов [1]. Первоначально вопросы образования паровых зародышей в метастабильной жидкости изучались Гиббсом [2]. В дальнейшем теория таких процессов рассматривалась многими авторами [3—13]. Течения жидкостей, переходящих в метастабильное состояние, изучались экспериментально [14, 15].
Ниже рассматривается процесс выхода жидкости с паровыми пузырьками из метастабильно-го состояния, когда система в исходном состоянии находилась в механическом и термодинамическом равновесии, причем из-за действия капиллярных сил на межфазной поверхности состояние равновесия пузырька неустойчивое. Такая постановка задачи позволяет в наиболее полном виде учесть и оценить вклад всех факторов, таких как радиальная инерция, вязкость жидкости и межфазный тепломассообмен на динамику развития неустойчивости одиночного пузырька и системы паровых пузырьков. Построенная линейная теория соответствующих решений позволяет выявить основные физические механизмы, определяющие динамику процесса. Кроме того, эти линейные решения позволяют более корректно и однозначно ставить начальные условия задачи Коши для расчетов по общим уравнениям на нелинейном этапе роста паровых пузырьков. Также рассматривается и решается задача о переходе перегретой жидкости с паровыми зародышами в устойчивое двухфазное состояние.
1. Постановка задачи. Состояние равновесия парового пузырька в жидкости вследствие действия капиллярных сил на ее поверхности всегда неустойчивое [16, 17]. Пусть Т0, а0, р0 и ри0 — температура, радиус пузырька, значения давления жидкости и пара в пузырьке, при которых система "паровой пузырек — жидкость" находится в механическом и термодинамическом равновесии. Тогда имеют место следующие зависимости:
(1.1)
где а — коэффициент поверхностного натяжения, Тв (ри0) — равновесная температура фазовых переходов, соответствующая значению давления ри0 (в случае плоской межфазной поверхности). Сказанное выше справедливо, если состояние двухфазной системы не близко к критическому состоянию (плотности пара и жидкости сильно различаются (р° ^ р°)) [1]. Отметим, что значение радиуса а0 в первом равенстве (1.1) соответствует критическому размеру, следующему из теории Гиббса [2] при образовании паровой фазы, когда давление насыщенного пара при температуре жидкости Т0 и давление жидкости равны соответственно ри0 и р 0.
В формулах (1.1), а также в дальнейшем нижние индексы ! и и относятся к параметрам жидкости и пара, а дополнительные нижние индексы 0 и e — к состояниям равновесия.
Согласно первому равенству (1.1) давление в пузырьке всегда больше давления в жидкости (ри0 > р0). Поэтому жидкость, находящаяся в равновесии с паровым пузырьком, всегда перегрета по отношению к жидкости при равновесной температуре Т (р0), соответствующей давлениюp0 вне пузырька (^ > ^^о)).
Для анализа динамики выхода парового пузырька из состояния равновесия запишем основные уравнения, описывающие радиальные движения парового пузырька радиуса a в несжимаемой жидкости:
0 РI
( .. 3.2 4у|и)а'
аа + — а +---—
2 а
V
Ро - р, - - (1.2)
а
Лри =-Зури йа + 3 (У- 1) сиТа Ь (дТТ±\ (13)
Л а й I а \дг) а
Это уравнение Релея—Ламба и уравнение для изменения давления пара [1, 18], записанное при учете гипотезы гомобаричности. Здесь X,, у, еи и / — кинематическая вязкость, теплопроводность жидкости, показатель адиабаты пара, теплоемкость пара при постоянном давлении и удельная теплота парообразования. Нижний индекс а соответствует значению температуры и градиента температуры на поверхности пузырька. Последнее слагаемое в правой части равенства (1.3) отвечает за изменение давления вследствие фазовых переходов, интенсивность которых определяется тепловыми потоками в жидкости к межфазной поверхности. Следовательно, для определения тепловых потоков необходимо записать уравнение теплопроводности в жидкости вокруг пузырьков
0 (дТ, дТЛ . -2 д( 2 дТЛ п ..
р">Гд7 + " 57] = ",г дГIг^) (1.4)
Здесь w и c¡ — радиальная скорость и теплоемкость жидкости.
Примем следующие граничные условия для уравнения теплопроводности в жидкости:
Т = Та при г = а, Т, = Т0 при г = да (1.5)
Кроме того, для пара в пузырьке примем уравнение Клапейрона—Менделеева
Ри = Ри КиТи (1.6)
Температуру Ти и плотность ри будем полагать однородными и считать, что Ти = Та.
Значение температуры Ти (или Та) при состояниях, далеких от критического, связано с давлением пара уравнением Клапейрона—Клаузиуса [19]
^ = ^ (1.7)
Зависимость температуры от давления при равновесных фазовых переходах Т = Т(Ри) = Т*/1п (Р*/Ри ) (1.8)
следует из соотношений (1.6) и (1.7). Здесь Т* и р* — эмпирические параметры, зависящие от вида жидкости [1].
2. Линейный анализ. Рассмотрим малые отклонения радиуса парового пузырька от значения а0 при постоянном давлении жидкости р0. Текущие значения радиуса, давления пара и температуры жидкости представим как
а = ао + а, Ри = Рио + р'и, Т = То + Т В рамках линейного анализа для возмущений примем
|а 1 ^ ао, \Р'и\< Рио, |Т/'|^То Тогда, линеаризуя систему уравнений (1.2)—(1.7) около состояния равновесия, получим
р^а + а) = ао Р„ + ^ а (2.1) ао
йРи = - ЗуРца йа + 3 (у- 1) сТ (Щ (22) ¿г ао ¿г / ао V дг) ао
= ^ д {Г дЩ), уЩ = А, ао < г <да (2.3)
дг дг V дг) роС/
Т1 = Ти при г = ао, Т1 = о при г = да (2.4)
Т
и
Т о , Т Рио1
(2.5)
Здесь и в дальнейшем, как это принято в акустике, знак штрих для возмущений после линеаризации опускается. Отметим, что в систему (2.1)—(2.5) не включено уравнение, следующее из уравнения (1.6), поскольку возмущение плотности пара больше никуда не входит.
Решение системы (2.1)—(2.5) ищем в виде
а = Лае~', Ри = Лре~', Т/ = Лт( г) е~' (2.6)
где X — инкремент (определяющий характерное время ^ = 1/1, в течение которого амплитуда возмущений возрастает в е раз), Аа, Ар и АТ(г) — амплитуды возмущений радиуса пузырька, давления пара и температуры жидкости при ? = 0.
Из уравнения теплопроводности (2.3) при учете соотношений (2.4) и (2.5) получим
ЛА г) = А, ехр ^ 1 - а-)), У = Г-% (2.7)
Ри0' 0
Подставляя решение (2.6) в уравнение (2.2) при учете равенства (2.7) будем иметь ( ЗуРиО^
Л„ +
'р(1+Шоо) + Л Лр = 0, в = 3 (у - 1)Г2 ф- (2.8)
V ао / Г 1 ] РиоСи
V ао 7
Кроме того, из уравнения Релея—Ламба для решений вида (2.6) следует
/
р0а2^2 + - Ла - аоЛр = 0 (2.9)
ао)
Уравнения (2.8) и (2.9) представляют собой линейную однородную систему для амплитуд возмущений радиуса пузырьков Aa и давления пара Ap. Чтобы эта система имела нетривиальное решение, определитель, составленный из коэффициентов при Aa и Ap, должен равняться нулю. Отсюда следует характеристическое уравнение
V (X) = Д2а2 + + 23УР"°У 2--^ = 0 (2.10)
у +в (1 + у) а0
Видно, что функция у (X) при Х> 0 непрерывна и удовлетворяет условиям
у (0) = - 2с/ а0 < 0 при у (X) ^ +<» и Х ^ да
Следовательно, уравнение (2.10) относительно X всегда имеет положительный корень.
Первое, второе и третье слагаемые в уравнении (2.10) выражают влияние радиальной инерции, вязкости жидкости и процессов тепломассообмена на развитие неустойчивости. Это уравнение относительно X всегда имеет положительный корень, а следовательно, выражения вида (2.6) представляют собой спонтанные решения [20], для которых исходное состояние равновесия достигается при 1 ^ -да.
В случае, когда развитие неустойчивости лимитируется эффектом радиальной инерции (второе и третье слагаемые в уравнении (2.10) несущественны), для величины инкремента имеем
Х(Д) = V 2а/ (р0а0) (2.11)
Предполагая, что величина инкремента определяется лишь вязкостью жидкости и пренебрегая в уравнении (2.10) первым и третьим слагаемыми, получим
=277^ <2Л2)
2а0р/ V1
Приведем также формулу для инкремента
(Т) (Л ^ " 2
Х(Т) = *»
Л + ,Л + Л
Л = -вЕ-, Е = 2(7 (2.13)
1 - Е 3уа0 Ри0
когда развитие неустойчивости определяется в основном процессами тепломассообмена.
В правой верхней части фиг. 1 представлены зависимости инкремента, определяющего темп развития выхода парового пузырька из неустойчивого состояния, от исходного радиуса а0 для парового пузырька в воде при р0 = 0.1 МПа. При численном реше-
X, с
104
--... ч
ч" ---...
'ч
'ч 'ч ^Ч^ \
ч
ч^^ p0, МПа = 0.1 ЧЧ ^
л^/ —.
•—.
—.
' ___
1
10
100 10-6
10-
10-
а0, м 10 '
Фиг. 1
нии использовались значения теплофизических параметро
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.