ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 1, 2013
УДК 539.3: 534.1
К 100-летию со дня рождения Х.А. Рахматулина
© 2013 г. А. А. Болотов, Ю. А. Демьянов К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ О ВОЛНЕ РАЗГРУЗКИ
Решение задачи Х.А. Рахматулина о волне разгрузки для схемы линейного упрочнения распространено на случай больших значений максимальных давлений. Представлены также два варианта решения этой задачи применительно к нелинейной диаграмме "напряжение—деформация" упруго-пластических материалов: когда эта диаграмма аппроксимируется любым количеством линейных участков и когда в области максимальных напряжений или бесконечно удаленной области, соответствующей пределу упругости, может быть выделен прямолинейный участок по деформации.
1. Решение задачи о волне разгрузки при больших значениях приложенного давления. Х.А. Рахматулиным [1] впервые была поставлена задача о волне разгрузки, возникающей в стержне из упруго-пластического материала при спаде приложенного к его торцу давления, превосходящего предел упругости. Эта волна отделяет область нагруже-ния, где смещения и(х, 0 (х — лагранжева координата, t — время) описываются решениями типа волн Римана (также впервые представленными Х.А. Рахматулиным [1]), от области разгружения, где смещения и(х, 0 в силу линейной зависимости напряжения а от деформации е
а - а о = Е( е - е 0)
описываются линейным уравнением [1]
-1 2 ,-1.2.2 -1 ^ 1Ч ип = Р0 Ос = а0ихх + Р0 а0х - а0е0х, а0 = ЕР0 (1.1)
Здесь р0 — начальная плотность материала стержня, Е — модуль Юнга, а0 и е0 — значения на волне разгрузки, где предполагается непрерывность скоростей и деформаций. Если скорость звука а(их) убывает с ростом их, то в случае скачкообразного возрастания приложенного давления при t = 0 возникает центрированная волна Римана (ЦВР), на которой
их
х , \ / \ / \ Г 1 2 -1 й а
х = а (их), их = их), их) = \adux, а2 = р ^ J йе
0
Поэтому на волне разгрузки ОСВ (фиг. 1)
х = /(х) а (е 0), их = е0 (х), их = у(х) (1.2)
где t = /(х) — уравнение кривой ОСВ.
6 Прикладная математика и механика, № 1
Фиг. 1
Общее решение уравнения (1.1)
X
и = (а0* + х) + /2(а0* - х) - --|(а - Ее0)йх
при условии на торце стержня
X = 0: их = ( *)
(1.3)
и на волне разгрузки приводит [2] к двум зависимостям, связывающим неизвестные функции и е0:
/2
+
а(е0(х )) О0(е0(х)) У а
+ 1]] = е 0 (0) -
а 0 ( 0 )
1
1
а(е0(х)) а
- - +
Г а йе
а0 ]
(1.4)
/2
21 х! —-—1)) =-1 21 1 а (е 0 (х)) ]] 2
е0 ( х )
а0(е0(х)) , | а
0
+ Г -а- йе
а0 ]
(1.5)
При одинаковых значениях аргумента z функции в зависимостях (1.4) и (1.5), т.е. при
0
- х
«= х 1Г—аа-0— +л = х 2 Г— 1) Га(е0(х1)) ] Г а ( е 0 ( х 2 )) ]
(1.6)
приходим к одному соотношению, связывающему неизвестную функцию e0 при двух значениях аргумента x(x = x1 и x = x2):
е. (о) - Of -...(+ Г К - a
Е W J (а2п a.j
е0 (x1( z))/ J \ ео( x2(z))/ \
о
и заданной зависимости ew(z/a0). Здесь
de = -1 г |a_2 + a
2 ¡ (а. аоу
de (1.7)
^о (ео) _ 1 2
О 2
de
de = [а . Е 2 Idе I 2 Е аоРо О а е О ао
Х.А. Рахматулиным поставленная им задача решена для случая схемы Прандтля, когда
а = Ees + Е (е - е^)
где E — модуль упрочнения, es — предел упругости, в предположении, что изменение давления на конце стержня имеет вид
P (t) = Pm + Pl t + ... + PNtN (1.8)
При этом уравнение волны разгрузки принимает вид 2
x = а 11, а1 = Е'/р. а соотношения (1.7) и (1.6) записываются следующим образом:
Р(t) = Е(^-2 - ^)е.(xi) + Е+ S1)е.(Х2) + а, - Еes (1.9)
Z = Хi(Si + i) = Х2(Si - 1) (1.10)
где Р(t) = Pm + Е(е. - е.(.)) , S1 = а./а1
Решение для деформации на волне разгрузки e0(x) оказалось представленным рядом, аналогичным ряду (1.6). Для случая
Р(t) = Pm( 1 - (t/Т)") (1.11)
специально рассмотренного Х.А. Рахматулиным, имеем
е.(x) = ет - kx" (1.12)
и длина зоны остаточных деформаций при ^ §> 1 принимает вид
l = а 1Т[(" + 1)(1 - as/Pm)]1/n (1.13)
Задание давления в виде (1.11) предполагает возникновение при t > т на конце стержня растягивающих напряжений, неограниченно возрастающих со временем (на это было обращено внимание [3]). Поэтому возникает вопрос, в каком диапазоне начальных условий найденное решение (1.12) будет совпадать с решением не рассмот-
Фиг. 2
ренной ранее [1] задачи о нагружении стержня давлением, которое с момента t = т снимается.
Физически очевидно, что решение Х.А. Рахматулина имеет место, когда волна разгрузки заканчивается в точке пересечения характеристики х = a0(t — т) с волной разгрузки х = a1t (в точке B на фиг. 2) или до этой точки, т.е. когда l < a1t1, где a1t1 = a0(t1 — т). В противном случае значение ^0(х2) при х2 > хB будет определяться растягивающим напряжением p(t) > 0. Отсюда следует, что l« a1т при > 1. Значит, решение (1.13) при ^ > 1 справедливо, когда величина в квадратных скобках не превышает единицу, т.е. при
Рт <( 1 + 1 /п К (1.14)
Для многих материалов, особенно металлов, тем более при использовании динамических диаграмм о—e (в которых значения о могут почти вдвое превосходить их статические значения), превышения напряжений над о на пластическом участке невелики [2] и могут удовлетворять условию (1.14).
Решение задачи о волне разгрузки при p(t) = 0, когда t > т, и pm > (1 + 1/н)о8 можно найти учитывая следующие обстоятельства:
а) в области OтBAO справедливо решение Х.А. Рахматулина [1];
б) соотношения (1.9), (1.10) справедливы [2] при всех значениях х1 и х2 на волне разгрузки для произвольного закона изменения давления p(t), в том числе и в случае
p(t) = 0 при t > т (1.15)
в) при изменении х1 на отрезке х^, где функция e0(х) известна, из соотношений (1.9), (1.10) находятся х2 и e0(х2) в уже неизвестной области х^; зная эти значения, из соотношений находим соответствующие значения х3 и e0(х3) на отрезке х€хв, и так далее (фиг. 2).
Эту процедуру удобнее осуществить для напряжения о0(х), для которого соотношения (1.9) (в случае (1.15)) и (1.10) записываются в виде
а о (х2) = па о(х 1), ^ о (хз) = па о(х 2) = П2 а о (х 1), а о (хп) = п п -1 а о(х 1)
2 п -1 1 - п ^ 1 - 1
х 1 = пх2 = п хз = п хп, хп = п х 1; п = ё—:
\ 1 +1
O
Фиг. 3
Определив отрезок [.xn, xn +1], на котором разность o0(x) — os меняет знак, находим на нем соответствующее значение xs, при котором a0(xs) = as. Отметим, что из-за наличия разрыва производной p(t) при t = т появится разрыв производной e0 (x) в точке xB.
2. Решение задачи Х.А. Рахматулина при аппроксимации диаграммы "напряжение-деформация" многоугольником. Из изложенного понятно, как получить обобщение решения задачи о волне разгрузки на случай, когда диаграмма о—e представлена конечным числом отрезков прямых с увеличивающимся по мере приближения к точке о = в = 0 тангенсом угла наклона En = do/de, где E1 — минимальный тангенс угла наклона (этому участку диаграммы о-в принадлежит значение ow(0) = pm), En = E (фиг. 3). Значения деформации в точках излома обозначим en — 1, en — 2, ..., e0 = es.
Очевидно, волна Римана в этом случае будет представлять собой веер волн x = ant с
угловыми коэффициентами an = JEn/ р0 . На этих волнах деформации испытывают разрывы, определяемые значениями деформации в концах каждого прямолинейного участка диаграммы (например, на звуковой волне x = a0t имеем Ae = es, на следующих волнах Ae = e1 — e0, Ae = e2 — e1, ..., на волне x = ant имеем Ae = em — en — 1). Во всех областях до прихода волны разгрузки деформации будут постоянными, равными e, за исключением области за волной x = ant, где деформация при t = 0 будет e = em и сразу начнет снижаться до достижения значения e = en — 1 в момент t = t1. Решение до этого момента совпадает с решением Х.А. Рахматулина. Звуковая волна x = a0(t — t0) будет распространяться до волны x = an — 1t, которая с момента их взаимодействия станет новой волной разгрузки.
Следует отметить, что e0(x) = en —1 = const на участке xAxB. Так как p(t) > 0 при t > t0, то для нахождения решения e0(x) на волне разгрузки x = an — 1t следует воспользоваться соотношением (1.9), учитывая при этом, что теперь соотношение (1.10) из-за нахождения точки x1 на волне x = ant, а точки x2 — на волне x = an — 1t, примет вид
х! (a о / an + 1) = x 2 (a о / an -1 - 1) = z (2.1)
В зависимости от схемы разбиения диаграммы о—e на прямолинейные отрезки возможны разные варианты определения величины e0(x) на волне разгрузки x = an — 1t и последующей волне x = an — 2t, когда точка x1, входящая в соотношение (1.7):
а) перейдет на волну x = an — 1t и на ней же будет находится точка x2;
б) перейдет на волну х = an _ а точка х2 окажется на волне х = an _
в) будет оставаться на волне х = ant, а точка х2 перейдет на волну х -
Все варианты допускают получение соответствующих аналитических решений для функции е0(х).
3. Возможности решения задачи Х.А. Рахматулина для нелинейной диаграммы "напряжение—деформация". Из предыдущего анализа следует, что если нелинейная диаграмма ст-e в окрестности максимального значения напряжения может быть представлена прямолинейным отрезком (например, с угловым коэффициентом (dст/de)max), то дальнейшее определение максимальных деформаций сводится к решению соответствующего нелинейного алгебраического уравнения для e0(х2). В самом деле, соотношение (1.7) может быть преобразовано к виду
eo( 0) - ^ -..
eo(xi) 2
+ J a2de = -(Ф(eo(Х2)) - Ф(eo(xi)))
id
ф( .o) = 2 J
°Y 2 a_ + a_
Vfl2 a
\
(3.1)
de
oy
Значения e0(х2) находятся с использованием известных значений e0(х1) и ew(z/a0) (а также соотношения (1.4)) из этого алгебраического уравнения, а при небольших значениях разности e0(х2) — e0(х1) (что нередко бывает на практике) — из соотношения
eo( o) - 24°) - ..
■o( xl)
+
2 i
— de = — 22 lo
(
2
a_ + a
V a2 a
oy
(eo(X2) - eo(xi))
= eo(xi)
Из соотношения (1.7) следует, что для нелинейной диаграммы ст-e в силу того, что e0(х2) ^ es, a(e0(х2)) ^ a0 при х2 ^ да, т.е. область пластических деформаций простирается до бесконечности. Поэтому при решении задачи от точки х = да в направлении уменьшения х, как следует из соотношений (1.4), (1.5), аппроксимация диаграммы ст-e не требуется.
Возможны обобщения на случаи спада приложенного к торцу нап
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.