ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 6, 2013
УДК 532.516
© 2013 г. О. Б. Гуськов
К ВОПРОСУ ОБ ЭФФЕКТИВНОЙ ВЯЗКОСТИ РАЗБАВЛЕННОЙ ЭМУЛЬСИИ ГАЗОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ
В приближении Стокса на основе метода самосогласованного поля рассмотрена задача о движении твердого сферического тела в однородной эмульсии газовых пузырьков. В первом приближении по объемной концентрации дисперсной фазы получено выражение для поправочного коэффициента в формуле Стокса для силы сопротивления тела. Найдена аналитическая зависимость коэффициента от отношения размеров пузырьков и тела. Показано, что в пределе, когда это отношение стремится к нулю, полученный коэффициент совпадает с результатом Тейлора для эффективной вязкости эмульсии газовых пузырьков. Для не "точечных" пузырьков коэффициент при объемной концентрации в выражении для эффективной вязкости эмульсии может существенно отличаться от результата Тейлора. Аналогичный вывод получен также для задачи о движении сферического пузыря произвольного размера в эмульсии газовых пузырьков.
Понятие эффективной вязкости разбавленной дисперсной среды происходит из априорного представления о том, что такая среда может рассматриваться как ньютоновская жидкость с коэффициентом вязкости, зависящем только от параметров дисперсной и дисперсионной фаз. На основе таких представлений в работах Эйнштейна [1] и Тейлора [2] в первом приближении по объемной концентрации дисперсной фазы с были получены формулы для эффективной вязкости ц безграничной суспензии твердых сферических частиц и эмульсии сферических капель вида
где ц — вязкость несущей сплошной среды, к — числовой коэффициент, зависящий только от физических свойств и геометрических параметров дисперсных частиц. Тот факт, что значение коэффициента к зависит только от параметров дисперсной среды, вполне соответствует представлению о суспензии как о ньютоновской жидкости. Однако результат (0.1) был получен для безграничной задачи, в которой есть только два характерных линейных размера, образующих один безразмерный параметр в — отношение радиуса дисперсных частиц к характерному расстоянию между центрами соседних частиц. Этот параметр в формуле (0.1) определяет значение объемной концентрации с дисперсной фазы. Между тем, в большинстве граничных задач динамики суспензий, как правило, имеется еще хотя бы один характерный линейный размер. Так, например, в задачах о течении суспензии в трубе это характерный диаметр канала, в задачах о движении тел сквозь дисперсную среду это характерный размер тела и т.д., в связи с чем возникает дополнительный безразмерный параметр а — отношение размера дисперсных частиц к характерному масштабу задачи. Очевидно, этот дополнительный безразмерный параметр будет определять значение коэффициента к в формуле вида (0.1) для эффективной вязкости среды. Вид зависимости к(а) существенен для решения вопроса о пределах применимости представления о дисперсной среде как о ньютоновской жидкости.
Ниже зависимость к(а) определена для задач о движении твердой сферы и газового пузыря произвольного размера в однородной эмульсии сферических пузырьков. Показано, что результат Тейлора [2] для этих задач справедлив в пределе "точечных" пузырьков в дисперсной фазе при а ^ 0.
ц = ц( 1 + ко)
(0.1)
1. Твердая сфера в эмульсии газовых пузырьков. Рассмотрим задачу о движении твердой сферы радиуса Ь с заданной скоростью в вязкой несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности, в присутствии N сферических пузырьков радиуса a. Пронумеруем все пузырьки от 1 до N и обозначим координаты их центров как х^ , а скорости — как . Классическая граничная задача для определения поля скорости и давления (иа, p) в жидкости в приближении уравнений Стокса имеет вид
иа,ВВ = Ра иа,а = 0; иа ^ 0 при Г
X') = г/п X'
а а а а > ПУ У
к
ап 2
V е
= 0 при = е, I = 1, 2, ..., N
ц(0)
Оа = ва при Я0 = Ю, ва = -0- (1.1)
^а = ха Ха , = *]Ха ,
ЦО)
Г = л/Ха, I = 0, 1, ..., N
е _ а Ь , д/а , _д21а
е = 1, Ю = 1, /а,в = дХв, /а,вв = дхв
где Плу — тензор напряжений, 8ал — символ Кронекера.
Задача (1.1) записана в безразмерном виде, где в качестве масштабов величин приняты характерное расстояние между центрами соседних пузырьков L, заданная скорость твердой сферы V(0) и давление цЦ0)/L, где ц — вязкость жидкости. Приняты тензорные обозначения величин с условием о суммировании по повторяющимся нижним координатным индексам, принимающим значения от 1 до 3. Это условие не распространяется только на переменную Я,. Верхние индексы относятся к пузырькам и телу, и чтобы отличать их от показателя степени, они заключены в круглые скобки.
Задача (1.1) является разновидностью одной из фундаментальных проблем, известной в науке как "проблема многих тел". Даже в линейном приближении уравнений Стокса это сложная задача, которая точно пока не решена. Исключительная сложность проблемы приводит к необходимости построения различных упрощенных моделей, позволяющих приближенно учесть гидродинамическое взаимодействие большого числа дисперсных частиц при их совместном движении в жидкости. Первыми из методов учета гидродинамического взаимодействия частиц в приближении Стокса были метод единичной ячейки Каннингэма (1910) [3] и метод отражений Смолухов-ского (1911) [4]. На основе использования их модификаций в сочетании с методами статистической физики были получены многие важные результаты по динамике вязких суспензий и эмульсий. В 1980-х годах В.В. Струминским и его учениками был разработан новый приближенный метод, позволяющий учесть эффекты гидродинамического взаимодействия частиц при движении кластеров, содержащих сотни таких частиц, как в безграничной жидкости [5], так и в присутствии внешних границ различной геометрии [6, 7]. Затем применительно к случаю идеальной несущей сплошной среды был разработан новый более точный метод [8] на основе использования известной в науке концепции самосогласованного поля. В рамках этого метода исходную граничную задачу удалось свести в математическом плане к существенно более простой задаче, что позволило получить ряд новых результатов [9—11]. Впоследствии концепцию самосогласованных полей возмущений дисперсных частиц удалось применить [12] также при построении метода приближенного решения проблемы многих тел в случае вязкой несущей сплошной среды.
В рамках метода самосогласованного поля [12] граничная задача о совместном движении N сфер в вязкой жидкости сведена к формальной процедуре решения линейной бесконечной системы алгебраических уравнений относительно тензорных коэф-
фициентов, входящих в полученное точное решение задачи. Используя методику работы [12] при построении этого решения для задачи (1.1), когда размер тела отличен от размера дисперсных частиц, не сложно показать, что оно имеет вид
N N
= „ ,,(о „ _ чт1 „(о
а ^ '
X "а , Р = XР (1.2)
I = 0 ' = 0
да 2 к + 1 иа0) = -X У --(34°)(? +1) + (2к + 1 )ш24°)(2к +3))-
а аУ1-"Ук 2 (к + 2) у1 У1---Ук ' к = 0
да 2к + 1
Хо(0) (2к + 1)(2к + 3)ю ( Л0)(2к + 3) 2р(0)(2к + 5)Ь
НРУ1 )Ук 2(к + 2 ) ^арГ1...Ук - Ю ^аРУ1)Ук ) +
к = 0
2к + 1
+ ^ и(0) к(2к + 1 ) Ю ( Л0)(2к + 1) - 2р(0)(2к + 3)) + + X Н1аУ2---Ук 2(к + 2 ) ^•••Г* ' +
к = 1
/22 + v Н-0) ю2к-1 [ (к - 1) ( 2 к + 3 ) ю л0)(2к +1)
+ X V 2(к + 2 ) ^аруз.ук
к = 2
- к( 2к + 1 ) (к - 1 ) ю 4 л0)(2к+3) - ( 2 к - 3 ) ( к - 1 ) л°)(2к-1)^ -
- 4 ( к + 2) вУз)ук - 4 ^Ргэ-у*
4 (к + 2) и 4
/2 2
Хо(0) ю2к-1[ (к - к - 3) (к - 1) Ю Л0)(2к-1) -
аууу3.у* V 2 ( к + 2 ) у3)ук
к = 2
к(к - 1 ) 2 ю 4 Л0)(2к +1)- (к - 3) ( к - 1) ло)(2к-3^ (1 3)
4 ( к + 2) 4 Гу3)ук / (1'3)
2 к + 1
(к + 2)
-1 Г(2
(к + 2)
X (к+2) ((к-1 х.,х:)( 2к+(2к+1 ) (1.5)
да 2к + 1
„(0) _ ^ (2к + 1)(2к + 3)ю „(0) л0)(2к+3)
Р = -X к+2 +
к = 0
да - - 2к-1 2
+ V1 Н0) к(к - 1 ) Ю ^( 2 к + 3) Ю М)(2к +1) ( 2 к - 3 ) Л0)(2*-1Л (14)
+ Xнвг(Ъ)П 2 V ( к + 2) ^-у* к ^-у* ^ (1'4)
Г3 к=2
да 2к + 1
к=0 да 2к + 1
Р(° = X (к+72) 2 (2 к + 1 )< ...ЛК+3) + к(к- 1 )<Уз. 1>) (1.6)
к=0
у('') У«
^■)(2к + /) = Л 1 - Л- г' = 01 N (17)
л,
а тензорные коэффициенты, входящие в выражения (1.3)—(1.6), удовлетворяют системе уравнений
и(0) _ е , V Т-1' Н0) - V 2'>
„а _ -еа + у2а , Нав1 ...вп _ у2ав1 ...вп 1 * 0 1 * 0
. . (1.8) ^а _ °, „сф^.-в" _ 2ав1...вп + У^ав^.в", , _ 1 2, N
I *]
I * 0
Тензор ¿ОЦ в определяется формулой, аналогичной (1.3), а тензор в (' ^ 0) —
формулой, аналогичной (1.5), если в них заменить тензор (1.7) на тензор
1 л"
фШк +1) _ 1 д Х у 1 ■ • •Х
'Ук,в1."в" "! я2к+- У
(1.9)
я, _ °
После решения системы уравнений (1.8) скорости пузырьков , сила сопротивления /а0) и момент сил , действующих на тело, вычисляются [12] по формулам
иа _ +у¿а,, 1,2, ...,N
(1.10)
i *]
i * 0
С<°) _ д(0) + 1 2 д(0) т<0) _ 2 2 „(0) га ~ ла ауу, 1а ~ еавуЛув
где еару — символ Леви-Чивиты.
В качестве масштаба силы здесь выбрана величина бп^Ы^^, а момента сил — величина блцЬШ*0'. Последние два соотношения в формулах (1.10) представляют собой запись теоремы Факсена [13], определяющей точное выражение для гидродинамической силы сопротивления и момента сил, действующих на сферическое тело, через характеристики внешнего по отношению к нему потока.
Таким образом, в рамках метода [12] исходная граничная задача (1.1) сводится к формальной процедуре решения линейной бесконечной (0 < п < да) системы алгебраических уравнений (1.8) относительно тензорных коэффициентов, входящих в точное решение (1.2)—(1.7) этой задачи. Решить систему уравнений (1.8) в точном виде пока не представляется возможным вследствие сложности самой проблемы многих тел. Однако, если ограничиться рассмотрением разбавленной эмульсии газовых пузырьков, для которой параметр е мал, несложно построить процедуру приближенного решения этой системы уравнений.
При е 1 все искомые функции можно искать в виде разложений по степеням этого параметра
Н?в1...в„ _ У е, 0, 1,..., N (1.11)
0
т
После подстановки этих разложений в систему уравнений (1.8) и приравнивания членов при одинаковых степенях малого параметра образуется следующая система рекуррентных соотношений:
ЯГ0) = -^а; Н'К,И) = 0 УШ, ] = 1, 2, ..., N
но
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.