ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 6, 2013
УДК 539.3
© 2013 г. И. А. Солдатенков
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ПРИ ОБЪЕМНОМ ПРИЛОЖЕНИИ СИЛ МЕЖМОЛЕКУЛЯРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ (УТОЧНЕННАЯ ПОСТАНОВКА)
Рассматривается уточненная постановка контактной задачи при наличии сил межмолекулярного взаимодействия контактирующих тел. В отличие от традиционной постановки считается, что эти силы прикладываются не к границе деформируемого тела как контактное давление, а к точкам внутри тела, причем граница тела свободна от нагрузок. Проанализированы решения контактных задач для тонкого упругого слоя, связанного с абсолютно жесткой подложкой, и для упругого полупространства. Проведено сравнение уточненной и традиционной постановок задачи при наличии межмолекулярного взаимодействия.
При изучении контакта деформируемых тел силы межмолекулярного взаимодействия впервые учитывались применительно к герцевскому контакту [1]. В дальнейшем был разработан ряд эффективных подходов к решению контактных задач такого типа, среди которых следует отметить подходы, использующие концепцию поверхностной энергии — модели JKR и DMT [2, 3]. Имеются достаточно полные обзоры [4, 5] работ по расчету контакта тел при наличии межмолекулярного взаимодействия, в том числе для тел с покрытиями.
Строгая постановка контактной задачи при наличии сил межмолекулярного взаимодействия предполагает существование некоторого зазора между контактирующими телами. Величина этого зазора зависит от деформации тел и должна обеспечивать равенство деформационных и межмолекулярных сил на контакте (самосогласованный подход по Дерягину). Впервые постановка контактной задачи в рамках самосогласованного подхода была рассмотрена Муллером, Ющенко и Дерягиным [6]. Дальнейшее развитие этот подход получил в ряде работ (например, [7—10]), при этом традиционно считалось, что силы межмолекулярного взаимодействия прикладываются к границе тела как контактное давление.
1. Постановка задачи и основные уравнения. Рассмотрим контакт абсолютно жесткого тела (индентора) с деформируемым основанием при наличии сил межмолекулярного взаимодействия. Свяжем систему координат Oxyz с некоторой точкой основания, отстоящей от его границы на расстоянии h, при этом оси x и y расположим параллельно границе основания (фиг. 1). Обозначим через r зазор между индентором и основанием.
Допустим, что сила f, действующая на некоторую молекулу основания со стороны всех молекул индентора, зависит от расстояния Z = r + h - z этой молекулы до подошвы индентора и направлена вдоль оси z (фиг. 1). Тогда, если N — концентрация молекул основания, то объемная сила, приложенная к материалу основания, будет иметь вид
f(Z) = Nfs (Z) (1.1)
Проинтегрируем эту силу по глубине основания и введем в рассмотрение функцию
h го
Ф(г) = - J f (Z)dz = - { f(r + l) dl (1.2)
—го
0
^/Индентор г
h fs z r
O
Основание x
Фиг. 1
В силу определения (1.2) произведение Ф dxdy совпадает с отрицательным значением суммарной (равнодействующей) силы воздействия молекул индентора на материал основания, расположенный под элементом dxdy его границы. Другими словами, величина Ф(г) равна удельной силе воздействия индентора на основание, что позволяет интерпретировать ее как контактное давление
р = Ф(г) (1.3)
Традиционная постановка контактной задачи при наличии межмолекулярного взаимодействия подразумевает, что определенная таким образом удельная сила р (контактное давление) прикладывается к границе основания, в результате чего основание деформируется [6—10]. В отличие от этого, ниже рассматривается уточненная постановка, в которой естественным образом предполагается, что деформация основания порождается объемными силами /(С), распределенными по его глубине известным образом, тогда как граница основания свободна от нагрузок.
Данное выше определение (1.3) контактного давления позволяет представить условие равновесия индентора в виде
Р = | р(х, у) dxdy = | Ф(г(х, у)) dxdy (1.4)
3 3
для обеих постановок (традиционной и уточненной) задачи. Здесь 3 — область контакта, Р — нормальная нагрузка на индентор, положительным значениям которой соответствуют нагрузки, прижимающие индентор к основанию, т.е. направленные против оси £.
В дальнейшем будут использоваться два вида элементарного закона межмолекулярного взаимодействия:
f ld(a = ai _ ai = Ül
l l re
e_ I _ I re
l J \ l
1/(m-n)
Ü2 j
Ге =|ÜL I (1.5)
FM(l) = b[e-c(l-re) - e~2c(l-n)] (1.6)
отвечающие потенциалам Леннард-Джонса (1.5) и Морзе (1.6) [11]. Здесь F — сила взаимодействия двух молекул, расположенных на расстоянии l друг от друга, aL, а2, m, п, b, c — параметры взаимодействия, причем обычно полагают m = 7, n = 13
г с - ,"0 ////// К -м
Слой :— Г" ---й--- О 5
Фиг. 2
("потенциал 6—12"), ге — расстояние между молекулами в состоянии равновесия. Отметим, что соответствующая потенциалу Морзе сила Iм принимает конечные значения, тогда как в случае потенциала Леннард-Джонса сила неограниченно возрастает по величине при сближении взаимодействующих тел.
Выражения для силы / отвечающие рассматриваемым потенциалам, получаются путем интегрирования по объему штампа элементарных сил (1.5) или (1.6). При этом, в силу быстрого затухания таких сил на бесконечности, можно пренебречь изменением зазора г вдоль области контакта и заменить объем индентора полупространством. Таким образом получаются выражения (ср. с результатами Гринвуда [9])
а2,
п-3
/ЛО = Ь,[8(1 + СО е) - (1 + 2с0 е^"'Л]
где
а^ =
2%Ы5 а1 (т - 1)(т - 3)
а 2, =
2%Ы5 а2 (п - 1)(п - 3)'
Ь, =
пЖ, Ь
4с
(1.7)
(1.8)
(1.9)
■ЛТ г^и хМ
N. — концентрация молекул индентора, при этом силы / и / оказываются направленными вдоль оси г, как и предполагалось выше.
Отметим, что существуют разные методы расчета суммарных сил межмолекулярного взаимодействия. В частности, такой расчет может быть выполнен на основе концепции межповерхностного тензора напряжений, позволяющего заменить объемное распределение молекулярных сил эффективным поверхностным напряжением [12, 13].
Далее на основе полученных выше результатов будут рассмотрены контактные задачи теории упругости для тонкого слоя и полупространства.
2. Задача для тонкого упругого слоя. Возьмем в качестве основания композицию, состоящую из абсолютно жесткой подложки и сцепленного с ней упругого слоя постоянной толщины Н0. Поверхность подложки считается плоской. Форму индентора опишем уравнением г = g(x, у), полагая g(0,0) = 0, и обозначим через 8(х, у) зазор между индентором и подложкой. Тогда справедливо следующее условие контакта:
г(х, у) + м>(х, у) + Н0 = 8(х, у)
(2.1)
г
При этом
8(Х, у) = 5о + g(x, у)
(2.2)
Здесь ж — перемещение свободной границы слоя вдоль оси г, 80 = 5(0,0) (фиг. 2).
Напряженно-деформированное состояние слоя, порождаемое действием направленных вдоль оси £ объемных сил/, определим на основе линейной теории упругости, предполагающей деформации малыми. Запишем соответствующие уравнения Ламе [14]
(1 - 2 v)Au + §гаё и = -С/ (С) е; и = (иХ, иу, иг), е = (0, 0,1) С = 2(1 + ^(1 - 2v)/E и граничные условия
иХ = иу = и, = 0 при г = 0,
= о гу = о = 0 при г = к
(2.3)
(2.4)
где иХ, иу, и агх, агу, а— компоненты вектора перемещений и тензора напряжений, Е и V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала слоя, С = г + к - г. Через к обозначена толщина слоя в деформированном состоянии, причем, к = к0 + т — к0, так как, при малых деформациях |ж| ^ к0.
Допустим вначале, что поверхность индентора — плоская: g(x, у) = 0, так что зазор г постоянен. Решение задачи (2.3), (2.4) в этом случае будем искать в виде
их (х, у, г) = иу (х, у, г) = 0, иг (х, у, г) = ф(г), г е [0, к]
(2.5)
где ф(г) — неизвестная функция, подлежащая определению. Учет равенств (2.5) в уравнениях (2.3) позволяет получить для ф(г) линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Известное решение такого уравнения содержит две произвольные постоянные, которые находятся из граничных условий (2.4) при учете равенств (2.5), при этом присутствующие в условиях (2.4) компоненты тензора напряжений следует выразить через перемещения их, иу, иг с помощью закона Гука [14]. В результате, вводя обозначения
о(г) = | /(г + к -Е) йЪ,
В =
(1 + у)(1 - 2 v) (1 -v) Е
можно получить
иг (х, у, г) = -В
I ю© й Ь-еЩг
Граничное перемещение имеет вид
ж = иг (х, у, к) = -В
| ю© й £-ю(к)к
(2.6)
(2.7)
(2.8)
Межмолекулярное взаимодействие между индентором и основанием будем описывать потенциалом Леннард-Джонса. С помощью выражений (1.1), (1.7) определим соответствующую объемную силуf, подставим ее в интеграл (2.6) и после несложных выкладок получим
о(г) = Аи.[(г + к - г)-а - (г + к)-а] - ^[(г + к - г)-в - (г + к)-в]
(2.9)
0
Здесь и далее используются обозначения
Ai W = •
2nNs
а(а + 1)(а + 3)
N
2nNs
'!0li*l' A20=e(Fw7iNlf21
a = m - 4, ß = n- 4
Nb и Nc — концентрации молекул подложки и слоя, a1b, a2b и a1c, a2c — коэффициенты a1, a2 в элементарном законе (1.5) взаимодействия молекул индентора с молекулами подложки и слоя, соответственно. Параметры m и n в элементарном законе (1.5) полагаются одинаковыми для материалов слоя и подложки. В дальнейшем также будут использоваться величины
^ = (A2c/Aic)1/(ß-a), reb = (A2b/Aib)1/(ß-a) представляющие собой расстояния между индентором и полупространством из материала слоя (rec) или подложки (reb) в состоянии равновесия. Отметим, что выражение (2.9) имеет место при условиях: m > 4 (a > 0) и n > 4 (ß > 0), которые были установлены ранее [15].
Подставляя найденное выражение (2.9) в соотношение (2.8) и учитывая, что h — h0, придем к равенству
w = -Bh0x¥(r)
в котором
¥(r) = -X (r) +
A1c
rOrlh la-1
\a-1 i r Na-1 'ec I - I _[e_
r ) v r + h,
ß- 1
ß-1
r + h
ß-1
x (r) = A1c
r J
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Интегрирование объемной силы согласно соотношению (1.2) позволяет найти функцию Ф(г) для рассматриваемой композиции слоя и подложки:
Ф(г) = -X(r) + X(r + h) - A1b
reb r + h
reb
r + h )
(2.13)
Заметим, что в выражениях (2.11) и (2.13) можно заменить Н на к0 в силу предполагаемой малости упругих деформаций слоя.
Как указывалось
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.