научная статья по теме МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА И КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Математика

Текст научной статьи на тему «МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА И КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 79. Вып. 1, 2015

УДК 531.31

© 2015 г. А. А. Зевин

МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА И КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Решена задача Мышкиса о максимальном показателе Ляпунова линейного дифференциального уравнения первого порядка с произвольным ограниченным запаздыванием. Полученный результат обобщен на систему уравнений произвольного порядка, матрица которой имеет действительные собственные значения. Для системы с комплексными собственными значениями получено достаточное условие экспоненциальной устойчивости.

1. Введение. Рассматривается уравнение

i(t) = Ax(t - x(t)), x e Rn (1 i)

x(t) = x0(t) при t e [-h, 0], 0 < h < ад

где A — действительная матрица, x0(t) и x(t) — кусочно-непрерывные функции, причем T(t) е [0, h] (1.2)

Пусть x(t,x0(t ),x(t )) — решение уравнения (1.1) при некоторых x 0(t ) и x(t). Соответствующий показатель Ляпунова

Ь = limsuplnllx(t,x 0(t >,T(t »11 (1.3)

t t

Максимальным показателем Ляпунова системы (1.1), (1.2) будем называть величину Хт =Хm(A,h) = sup X(z(t),x0(t)) (1.4)

x0(t ),T(t )

Уравнение (1.1) экспоненциально устойчиво при любых x0(t) и x(t), если только X т < 0. При этом для любого X е (0, |Xт|) найдется такое N = N(X), что соответствующее решение x(t ) удовлетворяет неравенству

||x(t)|| < Nexp(-Xt), t e (0,ад) (1.5)

Таким образом, величина Xт характеризует степень устойчивости системы. Большинство известных результатов по устойчивости систем с переменным запаздыванием получено приближенными методами, дающими достаточные условия устойчивости (см., например, [1—4]).

Необходимые и достаточные условия устойчивости найдены [5, 6] для уравнений вида

x(t) = Ax(t) + f (x(t - t(t))), ||/(x)|| < к ||x||

где A — неотрицательная либо симметрическая (кососимметрическая) матрица. Для скалярного уравнения

U(t) = P(t)u(t - T(t)), u e R, p0 < P(t) < Pi < 0 (1.6)

необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости РсА е (-1.5,0)

(1.7)

найдено А.Д. Мышкисом [7]. В дальнейшем были получены различные обобщения этого результата (например, [8]).

Для системы (1.1) с произвольной матрицей А и постоянным запаздыванием было получено необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости и сделано аналогичное утверждение для переменного запаздывания [9], однако соответствующее доказательство верно только для матриц с действительными собственными значениями (эти вопросы обсуждаются в разд. 3).

А.Л. Мышкисом ([7], с. 234) поставлена задача отыскания максимального показателя Ляпунова для устойчивых решений уравнения (1.6): "было бы интересно провести оценку скорости убывания решений при заданных Р и к, доведя эту оценку до точной". До настоящего времени эта задача оставалась нерешенной.

В разд. 2 задача полностью решена (теорема 1). На основе этого результата для системы (1.1) с действительными собственными значениями а 1 (г = 1,..., п) матрицы А найден максимальный показатель Ляпунова, выраженный с помощью а; и к (теорема 3). При наличии комплексных собственных значений найдено достаточное условие экспоненциальной устойчивости (теорема 4).

2. Решение задачи Мышкиса. Решение и(г) уравнения (1.6) называется осциллирующим, если его нули ti ^ да при г ^ да; в противном случае решение неосциллирующее.

Нетрудно проверить, что максимальный показатель Ляпунова неосциллирующих решений равен р1. Действительно, так как такое решение и(г), начиная с некоторого t, знакопостоянно, то в силу уравнения (1.6) )| монотонно убывает. Пусть для определенности ^^ > 0, тогда

Щ, т) = Р(0и^ - т) < ви^)

поэтому максимум т) достигается при т(0 = 0.

Пусть X * — максимальный показатель Ляпунова осциллирующих решений.

Лемма 1. Для любого р0

Доказательство. Пусть

и(0) = 1, Р(0 = р1, т^) = 0 при t е [0,^ > к], т(0 = к при t > ^

Соответствующее решение и(0 монотонно убывает на некотором интервале [0, Т > где и(Т) < 0. Положим т^ + Т) = т(0, тогда и^ + Т) = и(Т)и(0, t е [0, да). Следовательно, его показатель Ляпунова

(здесь использовано равенство и(^) = ехрф^)).

Так как величины 1п |и(Т)/и(^)| и Т — ^ ограничены при ^ ^ад (^ = Д^) > tl), то Х(и) ^ р1. Таким образом, для любого р0 можно построить осциллирующее (в силу и(Т) < 0) решение с показателем Ляпунова, сколь угодно близким к р1. Лемма доказана. Установим некоторые предварительные результаты. Сделав в уравнении (1.6) замену

Ь* ^ Рх

(2.1)

Х(и)

1п |и(Т) _ 1п (и(г^1)\и(Т)/и(^)\) _ p1t1 + 1п |u(T)/u(t1)| Т ~ Т^г-Й) " /1 + (Т-/1)

u(t) = exp(-Xt)u(t), 0 <Х<|р(

0

(.2)

Фиг. 1

получим

ù(0 = X u(t) + P(t)exp(A,-c)u(t - т(0) (2.3)

Без ограничения общности полагаем

0 < u0(t) < 1, t е [-h, 0), и0(0) = 1 (2.4)

Пусть u(t) = u(t, и 0(t), p*(t), t*(t), x) — решение уравнения (2.3), где функции t*(t) и P*(t) минимизируют правую часть уравнения (2.3) на множестве функций x(t) и P(t), удовлетворяет условиям (1.2) и (1.7). Таким образом, для любого t

p*(t)exp(U*(t))u(t - t*(t)) < p(t)exp(U(t))u(t - x(t)) (2.5)

Из этого неравенства найдем P*(t) = р0 при u(t - t*(t)) > 0. Функция T*(t) при t е [0, h] зависит от u0(t); в частности, при учете а > 0 нетрудно проверить, что t*(t) = h при u0(t) = 1, t*(t) = t при v0(t) = 0 (u0(0) = 1). При этом решение u(t) монотонно убывает, поэтому из условия (2.5) найдем t*(t) = h при t е [h, t_], где u(t_) < 0 — минимум u(t) (фиг. 1).

Положим

u+(t) = -u(t + t_), t e [-h, 0] (2.6)

Обозначим W(К) оператор, переводящий u0(t) в (t), т.е.

U0+(t) = W(X)u0(t) (2.7)

Пусть X+ > 0, u+(() > 0 — решение уравнения

и = W(X)v (2.8)

Теорема 1. При X + < в! максимальный показатель Ляпунова осциллирующих решений

Ь * = + (2.9)

Доказательство. Прежде всего покажем, что указанное решение Х+, и+(() существует. Очевидно, W(X)(ku) = kW(X)v, т.е. W(X) — линейный оператор.

Пусть u(t0) = 0 (фиг. 1), тогда при учете соотношений (2.3) и (2.5) нетрудно показать, что ù(t) < 0 при t е [t0, t0 + h]. Поэтому u(t) < 0 при t е [t- - h, t-], откуда при учете равенства (2.6) следует, что оператор W(X) положительный (u+(t) > 0 при u0(t) > 0). Обозначим

и '(t ) = и' (t, и ¿(t ),т*()Д) решение уравнения (2.3) при 0 < u0(t) < U0(t).

Тогда u(t - т) > и' (t - т) при t - т < 0, откуда при учете соотношений (2.3) и (2.5) найдем, что при u(t) = и' (t' ), t е [0, h]

ù(t) < ù'(t') (2.10)

Следовательно,

u(t - s) > v'(t'-s), u(t + s) < u'(t'+ s), s e [0, t] (2.11)

Первое неравенство (2.11) в свою очередь гарантирует сохранение неравенства (2.10) при t > h, и т.д. Полагая в неравенстве (2.11) t = 10, t' = t'0, где u(t0) = и' (t0) = 0, получим

u0+(t) < U0+(t) (2.12)

Таким образом, оператор W(X) монотонный.

Установленные свойства оператора W(X) гарантируют (Красносельский ([10], теорема 5.6)), что уравнение

u(t) = ц W (X)v(t) (2.13)

имеет решение u(t, X) > 0, > 0. Так как при X = 0 уравнение (2.3) совпадает с (1.6), то u(t, 0) ^ 0 при t ^ œ ; следовательно, ц(0) > 1. Для больших X sup lim [u(t, А,)[ ^ œ при t ^ œ, поэтому < 1. Из непрерывности следует, что +) = 1 при некотором что дает искомое решение o+(t,X+) уравнения (2.8). В силу соотношений (2.7) и (2.8) при u0(t) = u+(t) и периодическом продолжении i*(t ) на (t_, ад) имеем

u(t, Я,+) = -Ut +1-, Я,+) = и( + Ъ_,\+) (2.14)

т.е. решение v(t,X+) периодическое.

Как показано выше, при u0(t) < u0(t) и т = т*(0 соответствующее решение удовлетворяет неравенству (2.12). Учитывая условие (2.5), аналогично найдем, что неравенство (2.12) сохраняется при любых допустимых (удовлетворяющих условиям (1.2) и (1.7)) функциях ß(0 и t(t). При учете линейности уравнения (2.3) найдем, что при X = X+ любое осциллирующее решение u(t) ограничено на бесконечности, следовательно, его показатель Ляпунова Х(и) < 0. Так как решение (2.14) периодическое, то X(ü(t,Х+)) = 0, поэтому при X = X+максимальный показатель Ляпунова осциллирующих решенияй X *(и) = 0. В силу соотношения (2.2), для уравнения (1.6) имеем X *(u) = -X+. Теорема доказана.

Таким образом, величина X + равна значению X, для которого уравнение (2.3) имеет периодическое осциллирующее решение u(t) = u(t, и0(0, ß*(t), т*(0, X). Нетрудно показать, что такое значение единственно.

При X + > в соответствии с леммой 1 следует считать X* = Xт = Р!. Эта величина достигается на неосциллирующем решении и(г) = ехр р^ уравнения (1.6) при Р(г) = рь т(г) = 0; для осциллирующих решений можно построить систему (1.6), (1.2) с показателем Ляпунова, сколь угодно близким к .

Решению и+(() отвечает решение и+(() = ехр(-Х+г)и+(() уравнения (1.6). Следовательно, если

|и0(г)| < ехр(-Х+г) при г е [-И, 0)

то при любых допустимых Р(0 и т(() решение и(г) уравнения (1.6) удовлетворяет неравенству

|и(г)| < ехр(-Х +г), г е [0,да) (2.15)

На фиг. 2 для случая = р0 представлена зависимость приведенного (И = 1) максимального показателя Ляпунова Xт от р0 (сплошная линия). Как видно, Xт = р0 при р0 > -0.635, т.е. значения Xт достигаются на неосциллирующих решениях. При в0 < -0.635 определяющими являются осциллирующие решения, т.е. X т (Р) = X *(Р) = -X+(Р) (значения X *(Р) найдены с помощью численного решения уравнения (2.8)).

Простые двусторонние оценки величины X*(Р) при р0 < -0.635 можно получить с помощью следующих соображений. Обозначим ии(г, X, в0) и и, (г, X, в 0) решения уравнения (2.3) при

и0(г) = 1, г е [-1,0], т(г) = 1, г > 0 (2.16)

и

т(г) = г при г < 1, т(г) = 1 при г > 1 (2.17)

соответственно. Пусть X и(в) и X, (в) — корни уравнений

ии (ги, Ъ р0) = -1 и и(г,, X, р0) = -1 (2.18)

где ии(ги,X,р0) и и,(г,,X,р0) — минимумы функции ии((,Х,р0) и и,(г,X,р0). Покажем, что максимальный показатель Ляпунова уравнения (1.6) удовлетворяет неравенству

-X,(Р0) < X*(Р0) < -Xи(Р0)

(2.19)

Из приведенных выше рассуждений ясно, что при X = Xи, |u0(t)| < 1 и любых т(() е [0,1] для соответствующего осциллирующего решения справедливо неравенство |u(t)| < 1 при t е (0, да). Следовательно, Х(и) < 0 и в силу соотношения (2.2) X*(u) < -Xu. Решение и,(t,X,,р0) не зависит от значений u0(t) при t < 0. Так как

u(t,, X,, Р0) = -и(0, X ,, Р0) = -1

то оно 2t,-периодично при периодически продолженном т(() на (t,, да). Соот

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»