ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 4, 2013
УДК 539.3
© 2013 г. С. А. Лычев, А. В. Манжиров
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАСТУЩИХ ТЕЛ.
КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Излагаются основы математической теории наращиваемых тел при конечных деформациях с использованием понятия расслоения дифференцируемого многообразия, что позволяет построить четкую классификацию процессов наращивания. Рассматривается один из возможных вариантов наращивания — за счет непрерывного присоединения к трехмерному телу напряженных материальных поверхностей. Приводится полная система уравнений механики наращиваемых тел. В отличие от задач для тел постоянного состава в эти уравнения входит тензорное поле несовместной дис-торсии, которое может быть найдено из условия равновесия границы роста — материальной поверхности, контактирующей с деформируемым трехмерным телом. Растущее тело, вообще говоря, не имеет свободной от напряжений конфигурации в трехмерном евклидовом пространстве, однако такая конфигурация имеется на некотором трехмерном многообразии с неевклидовой аффинной связностью, обусловленной отличием от нуля тензора кручения, который является мерой несовместности деформаций растущего тела. Поэтому математические модели напряженно-деформированного состояния растущего тела оказываются эквивалентными моделям тел с непрерывным распределением дислокаций.
В рамках механики растущих тел рассматриваются деформируемые твердые тела переменного состава: в процессе деформирования к телу присоединяются части, которые могли деформироваться до присоединения независимо. Историю возникновения и развития механики растущих тел можно найти в ряде монографий и статей, среди которых отметим [1—10].
В большинстве опубликованных работ теория растущих тел строилась как некоторый специальный вариант теории деформируемых твердых тел в трехмерном евклидовом пространстве. Однако оказывается, что геометрических свойств евклидова пространства недостаточно для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) тела, которое было образовано путем непрерывного объединения предварительно напряженных частей. Представляется важным, что растущие тела могут быть рассмотрены как частный класс неоднородных тел, в которых неоднородность возникает в силу несовместной деформации, вызванной соединением несогласованно деформированных элементов. С этой точки зрения механика растущих тел имеет много общего с теорией дефектов, в частности с геометрической теорией непрерывно распределенных дислокаций, построенной во второй половине XX века. Следует отметить, что на развитие этой теории значительное влияние оказали геометрические методы теории Эйнштейна—Картана и общей теории относительности. По-видимому, первым, кто применил методы геометрии Картана [11] в механике сплошной среды был Кондо (1955 г.). Эти идеи быстро получили развитие в серии работ Билби с соавт., Крёнера и Зигера, в которых были установлены связи между тензорным полем несовместности деформаций, плотностью распределения дефектов и нетривиальной геомет-
рией материального многообразия с отличными от нуля кручением и кривизной [12] (имеется подробный исторический обзор [13]). В этой связи такие геометрические понятия, как связность, кривизна, кручение, параллелизм, оказались в числе основных понятий общей теории неоднородных тел, которая в логически завершенном виде была представлена результатами фундаментальных исследований [14—16], образующих теоретический базис для построения математической теории непрерывно наращиваемых тел. Геометрические аспекты этой теории представлены ниже.
Задачи механики растущих тел весьма разнообразны, в связи с чем приведем некоторую классификацию таких задач, которая позволит выделить область исследований, затрагиваемую в настоящей работе.
Во-первых, следует различать дискретное и непрерывное наращивание. В первом случае в процессе деформирования происходит объединение тел конечных размеров. Задачи о дискретном наращивании рассматривались в рамках так называемой теории составных тел [17]. При этом уравнения равновесия, сформулированные для отдельных частей составного тела, объединялись в систему, а краевые условия определялись из условия идеального контакта этих частей. В такой постановке математическая модель дискретно наращиваемого тела принципиально не отличалась от классических моделей тел постоянного состава. При непрерывном наращивании имеет место непрерывный приток материала к исследуемому телу. В этом случае процесс наращивания может быть представлен как последовательность элементарных актов присоединения бесконечно малых напряженных частей к растущему телу, причем каждый элементарный акт происходит за бесконечно малый интервал времени.
Во-вторых, следует различать поверхностный рост и объемный рост. При поверхностном наращивании присоединение материала происходит на границе тела — "границе роста" [18]. Поверхностному росту соответствуют такие технологические и природные процессы, как намотка, пиролитическое и электролитическое осаждения, возведение массивных сооружений, аккреция планет, рост кристаллов. При объемном росте состав тела в процессе деформирования не меняется, однако масса элементарного отсчетного объема не сохраняется: она изменяется в процессе деформирования по некоторому заданному закону [19]; рост биологических тканей дает пример такого процесса.
Ниже рассматривается непрерывное наращивание тела путем присоединения нового материала на его границе. Рост тела рассматривается как объединение деформированных тел, образы конфигураций которых не пересекаются, но имеют в физическом пространстве общую границу. С механической точки зрения объединение по границе сводится к образованию связей в окрестности граничных точек. В общем случае НДС этих тел не согласованы, в связи с чем у их объединения отсутствует свободная от напряжений отсчетная конфигурация. Следует отметить, что этот факт упоминался в работах по механике растущих тел, однако чаще указывалось лишь на несовместность поля малых деформаций.
Обратим внимание на еще одно обстоятельство. Непрерывное наращивание рассматривается как процесс непрерывного присоединения к телу инфинитезимальных областей, т.е. областей инфинитезимальной меры (используется мера массы). Таким образом, к инфинитезимальным областям могут быть причислены, например, бесконечно тонкие слои, нити, точки. Так как такие области представляют собой непрерывные тела разных размерностей, то они испытывают НДС, соответствующее их размерности, например, слои могут переносить мембранные напряжения, нити — линейное и т.д. В этой связи характер распределения напряжений в непрерывно растущем теле подразумевает построение разных вариантов теории наращивания. Далее рассматриваются тела, растущие за счет непрерывного присоединения бесконечно тонких двумерных слоев, называемых также материальными поверхностями [20].
В качестве геометрического фундамента теории растущих тел используется теория расслоений дифференцируемых многообразий [21, 22], аналитические свойства которых определяются без привлечения априорно заданных метрики и связности. Многообразия в таком виде позволяют сформулировать краевую задачу, в ходе решения которой определяется частный вид связности, соответствующий кинематическим и статическим характеристикам процесса наращивания. Кроме того, геометрическое понятие расслоения многообразия соответствует физически реализуемому распределению свойств растущего тела, рост которого моделируется как непрерывный процесс присоединения деформированных материальных поверхностей.
1. Тела. Прежде всего, формализуем понятие растущего тела. Для этого воспользуемся аксиоматикой, предложенной Ноллом, которая позволяет сформулировать понятие гладкого тела на языке гладких многообразий [14] и дополним ее аксиомой, характеризующей растущее гладкое тело.
Под телом Ф будем понимать связное подмножество абстрактного топологического пространства, такое, что его образ в физическом пространстве представляет собой область с регулярной границей. Кроме того, полагаем, что тело представляет собой дифференцируемое многообразие. Его элементы р е Ф — материальные точки; полагаем, что они являются простыми.
Поясним подробнее, как вводится структура дифференцируемого многообразия на множестве Ф. Множество Ф оснащается структурой, которая определяется классом отображений ©
Уке © к : Ф — %
где % — физическое (аффинное) пространство. Элементы к е © называются конфигурациями. Образ р е Ф относительно отображения к, а именно к(р) е %, называется местом материальной точки р в конфигурации к. Образ множества Ф, т.е. совокупность мест всех материальных точек, будем называть формой. Как правило, одна из таких форм фиксируется и называется отсчетной. Если отображения у, к е © представляют собой две конфигурации, то их композиция
X = у ° к-1 : к( Ф ) —у( Ф)
называется деформацией тела Ф из конфигурации к в конфигурацию у.
Поскольку каждая форма вложена в аффинное пространство % (с евклидовой структурой, определяемой трансляционным пространством У), то существует натуральная параметризация формы, в частности, с помощью декартовых координат. Таким образом класс отображений © оснащает множество Ф структурой многообразия. Гладкость этого многообразия определяется гладкостью функций из класса ©, элементы которого могут служить глобальными картами многообразия Ф. В этой связи топологическая структура Ф тривиальна: атлас карт, накрывающих Ф, состоит из единственной карты.
Напомним определение простого тела [23, 24]. Пусть R — множество, элементы которого называются дескрипторами отклика (поле напряжений представляет пример такого дескриптора). Непрерывное тело Ф будем называть простым телом по отношению к R, если оно наделено структурой посредством функции ©, которая присваивает каждой точке X отображение
©X:^х —^ ^
Значение функции — дескриптор отклика материальной точки X в любой конфигура-
ции к тела Ф, такой, что Ук(Х) = Ож.
Следуя Ноллу [14], определим понятие непрерывного деформируемого тела. Тело Ф является непрерывным телом класса Cp, (^ > 1), если класс конфигураций © уд
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.