ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 6, 2013
УДК 531.36:534.1
© 2013 г. В.Н. Тхай
МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, СОДЕРЖАЩАЯ СЛАБО СВЯЗАННЫЕ ПОДСИСТЕМЫ
Вводится понятие механической системы (модели), содержащей связанные подсистемы (МССП). Примерами служат система Солнце-планеты-спутники, система взаимодействующих движущихся объектов, система по-ступательно-вращательно движущихся небесных тел, цепочки связанных осцилляторов, маятники Зоммерфельда, пружинные системы и др. Проводится анализ подсистем МССП и всей системы, ставятся задачи, связанные с изучением колебаний, бифуркации, устойчивости, стабилизации, резонанса. Для класса МССП, который описывается обратимой механической системой, дается решение задачи о колебаниях. Доказывается, что в автономной МССП семейство симметричных периодических движений (СПД) сохраняется при параметрических возмущениях системы, а в периодической МССП оно бифурцирует рождением двух семейств СПД. В качестве приложения исследуются задача двух тел и ^-планетная задача. Устанавливаются порождающие свойства задачи двух тел, в ^-планетной задаче доказывается существование N + 1)-параметрического семейства орбит, близких к эллиптическим орбитам произвольного эксцентриситета; семейство параметризуется постоянной энергией, а на орбитах наблюдается "парад планет".
1. Понятие механической системы, содержащей связанные подсистемы. Изучается механическая система (модель), содержащая связанные подсистемы (МССП), описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которой подсистемы — системы автономных ОДУ (к примеру, уравнения Лагранжа, уравнения Гамильтона, уравнения в квазикоординатах и др.). Связь между подсистемами задается параметром с; при с = 0 модель распадается на независимые подсистемы. Таких параметров в МССП может быть один или несколько. Параметры отражают иерархичность подсистем в МССП. Размерность каждой подсистемы в МССП в общем случае — индивидуальная, а сама подсистема может быть линейной или нелинейной. Для малых значений параметра с имеем слабо связанную МССП1.
Пример МССП в природе дает Солнечная система. В математической постановке здесь имеем ^-планетную задачу, состоящую в изучении движения системы из N + 1 гравитирующих точек, одна из которых (Солнце) имеет массу, значительно превосходящую массы остальных точек (планет). Тогда при пренебрежении взаимодействием планет между собой получаем N независимых задач двух тел (Солнце—планета), а влияние движения одной планеты на движение других планет учитывается в рамках теории воз-
1Понятие связанной гамильтоновой системы введено в работе: Козлов В.В. Статистическая динамика системы связанных маятников // ДАН. 2000. Т. 373. № 5. С. 597-599.
мущений. Обобщением Ж-планетной задачи служит система Солнце—планеты—спутники, в которой получим связанную иерархичную структуру с двумя уровнями.
В рамках МССП описывается поступательно-вращательное движение искусственного спутника Земли. Размеры спутника намного меньше, чем его расстояние от Земли, поэтому уравнения поступательного и вращательного движения слабо связаны между собой, а параметром е служит отношение характерного размера спутника к расстоянию спутника от Земли. Другими механическими примерами МССП будут поступательно-вращательное движение естественных небесных тел, цепочки связанных ос-циляторов, маятники Зоммерфельда, пружинные системы и т.д. В промышленности пример МССП дает система взаимодействующих подвижных объектов, например, роботов.
2. Постановка задачи о колебаниях, бифуркации, устойчивости, стабилизации, резонансе для МССП. Изучаются одночастотные колебания — периодические движения. В линейной системе имеем изохронные колебания. В нелинейной автономной системе реализуется альтернатива: цикл или семейство колебаний. Рассматривается распространенный в задачах механики случай семейства колебаний. Согласно указанному ранее закону [1, 2] период Т на семействе зависит от одного параметра. Следовательно, все точки семейства разделяются [3] на обыкновенные (йТ Ф 0) (о-точка) и критические (йТ = 0) (с-точка). Поэтому режим колебания в МССП зависит от рассматриваемого сочетания типов точек семейств в подсистемах. При этом необходимо учитывать, что критическая точка может вырождаться в равновесие (е-точка). В линейной подсистеме имеем или о-точку, или е-точку.
Слабую связь между подсистемами в МССП можно учесть в рамках теории возмущений. Если связь не содержит время в явном виде, то получим автономную МССП, и для анализа такой МССП в виде системы ОДУ общего вида, содержащей только одну подсистему, можно воспользоваться результатами И.Г. Малкина (см. [4], гл. VI, § 8, 9). В случае связи, зависящей явно от времени, получим специальный класс квазиавтономных систем.
Колебательные режимы в МССП зависят не только от типов точек семейств в подсистемах, но также от иерархичности модели. Рассмотрим задачи, возникающие в модели, где подсистемы находятся на одном уровне иерархии.
Пусть МССП состоит из т подсистем, которые распадаются на независимые подсистемы, когда параметр е обращается в нуль. В отдельной ц-возмущенной автономной системе реализуемый режим колебаний зависит от типа точки. Так, в о-точке колебания порождающей и возмущенной систем различаются на 0(ц) [3]. Что касается критической точки, то здесь возникают резонансные колебания [5]. То же самое характерно для равновесия [6]. Поэтому по типу точек семейства в автономной системе режимы колебаний в возмущенной системе будем называть как о-режим, с-режим и е -режим соответственно. Ниже для краткости слово "режим" опускается.
Таким образом, режим колебаний в одноуровневой МССП зависит от режимов в каждой подсистеме, и поэтому получим следующие качественно различные комбинации режимов:
о—о, о—с, о—е, с—с, с—е, е—е, о—о—с, о—с—с, о—о—е, о—е—е, с—с—е, с—е—е
причем в каждой комбинации возможны несколько однотипных режимов.
Общая постановка задачи о колебаниях, бифуркации, устойчивости и стабилизации для МССП состоит в следующем: найти условия существования и описать сценарии бифуркации колебаний, получить условия устойчивости колебаний в МССП и стабилизации колебаний связующими управлениями в системе, состоящей из подсистем МССП, изучить резонансные эффекты в МССП.
Каждая подсистема может содержать свой параметр; кроме этого, объединение подсистем в МССП осуществляется параметром е.
Несмотря на значительное число задач, основными будут два или три сочетания режимов. Это связано с тем, что согласно указанному ранее закону [1, 2] правилом является наличие в подсистеме о-точек семейства. Поэтому комбинация режимов, где в подсистемах имеются только о-точки, является первоочередной для изучения. Назовем его основным режимом колебаний в МССП.
Дадим схему исследования основного режима. Необходимо поставить и проанализировать следующие задачи: а) описать МССП с двумя подсистемами второго порядка, б) найти необходимые и достаточные условия существования колебаний, в) описать сценарий бифуркации, г) построить колебания в МССП, д) найти условия устойчивости колебаний, е) найти условия стабилизации колебаний МССП посредством малых управлений, з) обобщить результаты на случай двух подсистем, каждая из которых имеет произвольный порядок.
Указанная для основного режима схема сохраняет силу для всех перечисленных 12 комбинаций режимов. При этом особенностью комбинаций с-режимов и е-режимов будут внутренние резонансы, а при изучении комбинаций с линейными подсистемами необходимо учитывать изохронность колебаний.
Такая программа исследований пригодна для моделей, описываемых уравнениями Лагранжа, гамильтоновыми уравнениями, системами ОДУ общего вида и т.д.
Ниже исследуется МССП в виде обратимой механической системы. Для этого класса систем при использовании свойства пространственно-временной симметрии удается получить результаты, неизвестные для других классов. Так, для автономной МССП доказывается сохранение семейства симметричных периодических движений при параметрических возмущениях системы. Для периодической МССП полностью решается задача колебаний в случае основного режима колебаний.
В качестве приложения рассматриваются задача двух тел и Ж-планетная задача. Устанавливаются порождающие свойства задачи двух тел в классе обратимых возмущений. В Ж-планетной задаче доказывается существование (Ж + 1)-семейства орбит, близких к эллиптическим орбитам произвольного эксцентриситета; семейство параметризуется постоянной энергии, а на орбитах наблюдается "парад планет". При этом, в частности, снимаются ранее наложенные [7] ограничения на величины эксцентриситетов.
3. Обратимая механическая система. Рассматривается обратимая механическая система
и = и(и, V), v = ¥( и, V)
У ; к ' (3.1)
и( и,-V) = -и( и, v), ¥( и, — V) = ¥(и, V); и е Я, V е Я", I > п
Особенность этой системы ОДУ — наличие в ее фазовом пространстве симметричных относительно неподвижного множества М = {и, V : V = 0} объектов. Среди них выделим симметричное периодическое движение (СПД), которое по крайней мере дважды пересекает множество М [8].
Симметричное решение обозначим через v(и0, ..., и\, где и0 — начальная точка на неподвижном множестве М. Тогда необходимые и достаточные условия существования СПД полупериода Т имеют вид [8]
V,(и\, ..., и0, Т) = 0, ^ = 1, ..., п
(3.2)
Пусть система (3.2) допускает решение
щ = щ, ..., и0 = и,, Т = Т (3.3)
Составим матрицу А =
д^„(и\,..., и0, Т) 5vs(и\,..., и0, Т)
д и0 д Т
(3.4)
(частные производные вычисляются для значений (3.3)). Если гапкА = п, то система (3.1) вместе с данным СПД с начальной точкой (3.3) допускает семейство СПД.
Ниже рассматриваются семейства СПД системы. Решается вопрос: сохраняется ли семейство СПД в возмущенной автономной системе? Задача состоит из двух частей.
1. Пусть система содержит параметры и при данном наборе значений параметров семейство СПД задачи известно. Существует ли семейство СПД при близком наборе параметров?
2. Пусть порождающая система распадается на т подсистем, семейства СПД которых описаны. Тогда при слабой связи между подсистемами получаем МССП, в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.