ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2015, том 118, № 6, с. 1005-1011
^^^^^^^^^^^^^^^^ ФИЗИЧЕСКАЯ
ОПТИКА
УДК 535.417
МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ФАЗОВОГО СДВИГА НА ОСНОВЕ ФУРЬЕ-АНАЛИЗА РАЗНОСТНЫХ ИНТЕРФЕРОГРАММ
© 2015 г. Г. Н. Вишняков, Г. Г. Левин, В. Л. Минаев
Всероссийский научно-исследовательский институт оптико-физических измерений, 119361 Москва, Россия
E-mail: vish@vniiofi.ru Поступила в редакцию 05.12.2014 г.
Интерферометрия, в которой используется метод фазовых шагов, требует точного знания фазового сдвига. Предложен новый подход к методу измерения фазового сдвига между тремя интерферо-граммами на основе фурье-анализа трех новых интерферограмм, сформированных из разности различных пар исходных интерферограмм. Рассмотрены пути повышения точности измерений фазового сдвига.
DOI: 10.7868/S0030403415060240
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время для автоматической расшифровки интерферограмм широко используется метод фазовых шагов (Phase Shifting Interferom-etry) [1]. Цель такой расшифровки — восстановление двумерной карты фазы, далее фазового изображения, из интерференционного изображения. Метод фазовых шагов состоит в регистрации и обработке набора интерферограмм с известным фазовым сдвигом между интерферирующими пучками света. Величина этого фазового сдвига используется в качестве параметра при вычислении фазового изображения и его погрешность сильно влияет на точность восстановления фазы. Так, например, неточное знание фазового сдвига приводит к возникновению второй гармоники на восстановленном фазовом изображении, что понижает точность измерений.
Физически фазовый сдвиг между интерферирующими пучками света достигается изменением оптической длины пути одного из этих пучков. Для определения фазового сдвига необходимо точно задавать или измерять это изменение оптической длины пути. Первые системы автоматической расшифровки интерферограмм методом фазовых шагов были снабжены прецизионными системами задания фазового сдвига, как правило, на основе пьезоприводов. Однако гистерезис пье-зоэлемента, вибрации и воздушные потоки могут дополнительно случайным образом изменять оптическую длину пути.
Если трудно точно задать фазовый сдвиг, то можно попытаться его измерить. Так как фазовый сдвиг ведет к смещению интерференционных полос на интерферограмме, то, следователь-
но, по самим интерферограммам можно измерить этот сдвиг.
Существует много методов измерения фазового сдвига по смещению интерферограмм [2—13]. Один из последних методов предложен в работе [14]. Он является сравнительно быстрым и точным методом и основан на вычислении сдвигов по интегральным характеристикам интерференционных изображений, сформированным из разности между соответствующими парами из трех интерферограмм.
В настоящей работе предложенный в [ 14] метод получил дальнейшее развитие. Благодаря тому, что мы проводим анализ в частотной плоскости, нам удалось выявить и объяснить некоторые ограничения этого метода, а также предложить существенные меры для повышения точности данного метода.
2. УРАВНЕНИЕ ИНТЕРФЕРОГРАММЫ
Запишем уравнение интерференционного изображения в наиболее общем виде
1к (х, у) = а(х, у) + Ь( х, у)ео8[и о х + ф( х, у) + 5 ¿],(1)
где а — амплитудный фон, Ь — видность полос, ф(х, у) — искомая фаза интерферограммы, и0 — частота опорных полос, ориентированных, например, перпендикулярно оси х, бк — фаза во время к-го измерения, к = 0, 1, 2, ... . Если и0 ^ 0, то выражение (1) описывает интерферограмму в полосах конечной ширины. Если и0 = 0, то имеем интерферограммы, полученные при настройке интерферометра на бесконечно широкую полосу.
(2)
Используя формулу Эйлера, запишем (1) как 1к (х, у) = а( х, у) + 2 Ь( х, у)е1щхет х'у)е'5к + + 2 Ь( х, у)е ~''и° хе Чф( х у)е "¡5 к.
Введем следующие обозначения: с( х, у) = 2 Ь( х, у)е'ф( ху),
с*( х, у) = 2 Ь( х, у)е _,ф( х'у),
а к = е'5к, а * = ечЪк и перепишем (2) в виде
1к (х, у) = а( х, у) + + с( х, у)е'"0 ха к + с*( х, у)е ~''и°ха*.
Выполним двумерное преобразование Фурье над обеими частями уравнения (3). Обозначая заглавными буквами фурье-образы функций, записанных в этих выражениях строчными буквами, и используя теорему о смещении, получим
(3)
1к (и, V) = Л(и, V) + + акС(и - и0^) + а*С*(и + и0, V),
(4)
менять метод фазовых шагов. В уравнении (4) неизвестными являются Л(и^) и С(и^). Для нахождения этих величин составляется система уравнений при изменении параметра ак. В этом случае используется несколько интерферограмм, полученных при различных сдвигах фазы бк. Отсюда следует, что для реализации метода фазовых шагов требуется знание точных значений параметров ак или фазовых сдвигов бк.
3. МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ФАЗОВЫХ СДВИГОВ
В настоящем разделе рассмотрен метод измерения фазовых сдвигов бк, впервые предложенный в работе [14]. Отличительная особенность этого метода состоит в том, что в нем используются интерференционные изображения, сформированные из разности двух интерферограмм. В отличие от работы [14] мы предлагаем проводить вывод основных формул для вычисления фазовых сдвигов используя фурье-анализ "разностных" интерферограмм.
Найдем фурье-образ разности двух интерферограмм (4), полученных при разных фазовых сдвигах:
где и, V — частотные координаты.
Из (4) видно, что фурье-образ интерферограм-мы на несущей частоте имеет три слагаемых, разнесенных на величину и0. По аналогии с дифракцией света на решетке первая область называется "нулевым" порядком дифракции, и она описывается слагаемым Л(и, V). Второе и третье слагаемые называются соответственно "плюс первым" и "минус первым" порядками дифракции.
Основная задача расшифровки интерферо-грамм состоит в решении уравнения (1) относительно фазы ф(х, у) или уравнения (4) относительно С(и - и0^). В зависимости от величины несущей частоты полос и0 и ширины спектра в порядках дифракции различаются и методы восстановления фазы интерферограммы.
Если несущая частота полос и0 достаточно велика и все три порядка в (4) разделяются в частотной области, то с помощью полосового частотного фильтра можно выделить один из первых порядков, например С(и - и0^). После обратного преобразования Фурье формируется комплексное изображение, фазовая составляющая которого несет информацию об искомой фазе интерфе-рограммы. В этом состоит суть метода фурье-преобразования [15].
Если же несущая частота и0 = 0 или она недостаточно велика и порядки дифракции в спектре (4) будут перекрываться, то необходимо при-
где
Лы(и^) = 1,(и^) - 1к(и^) = = аыС(и - и0, V) + а*,С*(и + щ^),
¡5, ¡5к
а к, = а, - а к = е - е к
(5)
(6)
Видно, что у спектра "разностной" интерфе-рограммы отсутствует нулевой порядок. Именно для устранения нулевого порядка в спектре ин-терферограмм и используются разностные интер-ферограммы.
Если варьировать параметры к, ,, то выражение (5) порождает систему уравнений. Например, для к = 0, I = 1, 2 легко найти решение полученной системы:
С(и - и0^) = а°2Л01(и,У-) -а*1Ар2(и^). (7)
а01а02 - а02а01
После обратного преобразования Фурье получим комплексную функцию с(х, у), фаза которой несет информацию об искомой фазе интерферо-граммы. В этом заключается суть метода фазовых шагов.
Таким образом, для реализации метода фазовых шагов необходимо знание величины фазового сдвига. Ниже опишем процедуру вычисления этого сдвига.
(б)
Рис. 1. Векторы фазовых сдвигов в комплексной плоскости без учета (а) и с учетом (б) фазового сдвига 6т.
Рассмотрим интеграл от квадрата модуля спектра разности двух интерферограмм (5):
a" = I 1kl("'H2 dudv'
(8)
4п2
Из (5) следует, что
|дkl(u, v)|2 = akC(u - Uo, v) + a*,C*(u + uo, v)
= |aki|2 [|C(u - uo, v)|2 + |C(u + uo, v)|2] + (9) +aklC(u - u0, v)C(u + u0, v) + + [a2klC(u - u0,v)C(u + u0, v)]*.
Второе и третье слагаемые в полученном выражении формируются из произведения спектров в + 1-м и -1-м порядках, поэтому их можно назвать "перекрестными" членами. Допустим, что пространственная частота и0 достаточно большая, такая, что ±1-е порядки не перекрываются. Тогда в некотором приближении, которое будет рассмотрено ниже, можно считать, что второе и третье слагаемые в (9) обращаются в нуль и поэтому
|Â kl (u, v )|2 « |a ki| 2[| C(u - u0, v )|2 + |C7(u + u0, v)|2].
Тогда
a2 =
2 I |2 TT la kl I 4n
v )2)
dudv.
(10)
(11)
Используя формулу Парсеваля [16], а также то,
получим следующее
что c<x> y) =1b(x> ^
выражение для (8) через интеграл в простран ственной области
a h = 2 |a kl|2 I I \c(x, yf dxdy = 2 I I b2(x, y)dxdy.
(12)
a
Обозначим через В = | | Ь 2(х, у)ёхёу неизвестную величину интеграла от квадрата функции видности полос интерферограммы, тогда (12) можно переписать как
_2
a kl
B a
kl\
2
(13)
Таким образом, в приближении (10) интеграл по площади от квадрата разностной интерферограммы пропорционален величине |akl\2. Что представляет из себя данная величина?
Если рассмотреть геометрическую интерпретацию комплексных чисел в круге единичного радиуса, то комплексное число akl можно представить как вектор, равный разности векторов ak и al
(см. рис. 1а). Тогда |akl|2 — это квадрат длины данного вектора.
Из рис. 1а видно, что искомую величину — фазовый сдвиг между интерферограммами ökl = öl — — ök = zLOK можно определить из треугольника OLK по формуле косинусов
LK2 = OL2 + OK2
2OLOK cos(Z LOK) (14)
2
Учитывая, что OL = OK = 1, LK = |aa|, получим
22 а kl\ = 4sin
5 i -5 k
(15)
Отсюда следует, что фазовый сдвиг ók¡ определяется через длину вектора |аи|. Его можно найти из выражения (13), однако остается неизвестным множитель B.
Для того, чтобы вывести формулы, не зависящие от этой величины, введем третий фазовый сдвиг óm (рис. 1б). Он порождает еще два разностных вектора a¡m, akm и соответственно два новых треугольника MOL и MLK Важное следствие от введения третьего фазового сдвига — это появление треугольника MLK, у которого все стороны равны разностным векторам ak¡, a¡m, akm. Угол ALKM можно найти из этого треугольника LKM по теореме косинусов
cos (Z LKM ) =
I |2 . I |2
a km\ + a kl\
- a
lm\
(16)
2 |акт\|ак,|
Подставляя в (16) выражение (13), видим, что не известная величина В сокращается, и оконч
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.