ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 6, 2013
УДК 539.3
Посвящается памяти Х.А. Рахматулина
© 2013 г. Н. Б. Расулова МЕТОД РЕШЕНИЯ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ МЕМБРАН
Показана возможность расширения области применения функционально-инвариантных решений Смирнова—Соболева к динамическим плоским задачам на примере решения задачи Х.А. Рахматулина.
При разработке проекта тормозящих устройств для больших быстродвижущихся объектов Х.А. Рахматулин поставил задачу об ударе с постоянной скоростью некруговым конусом по упругой мембране. Когда эта задача рассматривалась впервые [1], она сводилась к решению некоторой краевой задачи для аналитических функций с разными комплексными аргументами. Для случая косонаправленного удара круговым конусом был угадан вид этих функций с использованием решений, найденных ранее [2] другим способом.
Ниже предлагается алгоритм построения решений для некоторого класса контуров поперечного сечения конуса на базе функционально-инвариантных решений Смирнова—Соболева.
1. Постановка задачи. Пусть в момент времени ^ = 0 по упругой мембране, покоящейся на плоскости (х, у), ударяет движущийся с постоянной скоростью некруговой конус. Предполагается, что скорость удара такова, что в результате возникает следующая картина движения, состоящая из двух областей (фиг. 1):
а) область поперечных движений I, где часть мембраны облегает движущийся конус, и частицы мембраны приобретают поперечную составляющую скорости, при этом каждая частица мембраны движется так, как соответствующая точка поверхности конуса;
б) область движений II в плоскости (х, у) (см. фиг. 2, где окружностями показаны фронты продольных и поперечных волн, которые стартуют в момент ^ = 0 с точки со-
Фиг. 1
Фиг. 2
прикосновения вершины конуса с поверхностью мембраны, за ними следует волна сильного разрыва Г0, на которой известны скорости частиц мембраны).
Такая волновая картина при полном облегании мембраной поверхности конуса рассматривалась ранее [3] в случае нормального удара круговым конусом по мембране с большой скоростью. В случае некругового конуса и, вообще говоря, для косого удара такая волновая картина может возникнуть при выполнении дополнительных условий. Наряду с требованием высокой скорости удара поперечное сечение конуса должно быть гладким и выпуклым. Будем считать, что все необходимые условия, обеспечивающие осуществление принятой волновой картины, выполнены.
2. Метод решения задачи. В общем случае двумерные плоские движения описываются следующими уравнениями:
^ = c^AU k, rot U! = 0, div U 2 = 0, U k = {uk ,uk}, k = 1,2 (2.1)
dt
Здесь Ui и U2 — безразмерные потенциальная и соленоидальная часть вектора скорости U = Ui + U2, uk, uk — их декартовые компоненты, с1 и с2 — безразмерные скорости продольной и поперечной волны. В качестве масштаба скорости примем скорость удара и0. Начало координат поместим в плоскости мембраны в точке удара, выбор координатных осей показан на фиг. 2, где Г0 — линия набегания мембраны на конус, которая определяется формой конуса и направлением скорости удара.
Условия сохранения массы вместе с условием полного прилипания однозначно определяет значения скоростей ui + U2 и ц + U2 на контуре Г0 как функции полярного угла 9 (ниже на конкретном примере будут представлены соответствующие уравне-
ния, определяющие вид этих функций). Поэтому на контуре Г0 приняты следующие граничные условия:
щ + «2 = 4(6), «Л + и 2 = 4(6) (2.2)
Начальные условия нулевые:
щ = и2 = ц = и2 = 0 при t = 0 (2.3)
Постоянство скорости удара и то обстоятельство, что ударяющее тело — конус, обеспечивает автомодельность задачи: безразмерные скорости ик,ик (к = 1, 2) будут функциями от автомодельных переменных (р = г/(и0г) и 9 в полярной системе координат, где г — радиальная координата или х/(и0г), у/(и0 г) в декартовой системе). Поэтому, решения ик, ик задачи (2.1)—(2.3) выражаются через функционально-инвариантные решения Смирнова—Соболева
ик = Яе/»(г,), ик = Яе/?\гк), гк = Ск ^ "Р2 Л к = 1,2 (2.4)
Р
Условия потенциальности вектора ^ и соленоидальности вектора ^ дают новые соотношения между функциями /к^ и /к]:
' Г г - 1 Н/1%) = { г1 +1Н/1%)
I г) йц \ 11) йц
{г2 + ^Н/2(1)(г2) = - Гг2 - /2^2) .
Функции /кп)(гк) (к,т = 1,2) аналитичны и определены в двусвязных областях 0.к, показанных на фиг. 3. Внутренняя граница Гк определяется формулой (2.4), если положить р = р0(9), где р0(9) — полярный радиус, описывающий контур сильного разрыва Г0. Внешние единичные окружности соответствуют фронтам продольных и сдвиговых волн. Следовательно, условия (2.2) и (2.3) превращаются в следующие краевые условия для аналитических функций /кп)(гк) (т = 1, 2):
Яе//^)) ^ + /2(т)(г 2) ^} = Л,(9), т = 1,2 (2.6)
^/^(гк) = Ъ-/2)(гк) = 0 при № = 1 к = 1,2 (2.7)
Функции /кп)(гк) можно искать в виде рядов Лорана, удовлетворяющих условиям (2.7) на внешних контурах областей 0.к:
м ( —(п)
' ' а кп
п
гк
/кп)(гк) = акП)1п гк + I
п=1
акП'гк I (2.8)
Здесь ак? — действительные, а а^П — комплексные числа. Удовлетворение условиям (2.5) приводит к соотношениям между неизвестными коэффициентами.
Прежде всего, можно определить характер многозначности искомых функций. Поскольку их области определения и аналитичности двусвязные, то в общем виде в их ло-рановском разложении в этих областях, вообще говоря, могут присутствовать логариф-
Im zk
Фиг. 3
мические члены. Результаты вычисления интегралов: — <£ (ux + u2) ds, — <£ ( u1 + u2) ds,
1 0 1 0
где L0 — длина дуги контура Г0, дают компоненты скорости центра тяжести контура Г0 по осям x и y; они отличны от нуля только в случае косого или косонаправленного удара (когда направление скорости удара наклонно, но ось конуса перпендикулярна к первоначальной плоскости мембраны). С другой стороны, соответствующие интегралы (s)ds могут иметь отличные от нуля значения только при наличии многознач-Гк
ных ветвей в выражениях (2.8).
Если рассматривается нормальный удар, то можно отбросить логарифмические
члены в разложениях (2.8); при этом a m0 = 0, а во всех остальных случаях некоторые из этих коэффициентов отличны от нуля. Теперь рассмотрим аналитические функции
гк = [ек -Vо\ -вЪк)ю(1/^)]/ю(1/^), к = 1,2 (2.9)
Здесь ю© — функция отображающая внешность контура Г0 на внутренность единичного круга < 1. Видно, что если ю© — рациональная функция (не имеющая точек ветвления), то функции (2.9) отображают внешности контуров Г на комплексной плоскости zk на внутренность того же круга < 1. Кроме того, функции (2.9) обладают тем преимуществом, что в этих отображениях точки контуров Г^ соответствующие одинаковому полярному углу 9, будут сходиться в единственной точке окружности = 1, куда и отображаются значения Ак(9) посредством функции г = ю©.
Этим способом удается преодолеть основную трудность в решении краевых задач с уравнениями (2.6), (2.7), связанную с присутствием двух разных комплексных аргументов.
Теперь применим отображение (2.9) к функциям, стоящим в левых частях краевых условий (2.6), представленных в виде (2.8), при учете соотношений (2.5). Затем можно
разложить их значения на окружности = 1 в ряд по степеням Е (Е = еа). Правые части этих условий разлагаются в ряд по тем же функциям после применения отображения г = ю©. Затем сравнением коэффициентов при одинаковых степенях £ получаем бесконечную линейную алгебраическую систему для определения неизвестных постоянных а ¿?(и = 0,1,2,...; k, m = 1,2).
Следует отметить, что при отыскании решения в виде рядов Лорана необходимо добиться, чтобы области сходимости этих рядов (имеющие вид круговых колец) полностью покрывали области определения Qk (см. фиг. 3) отыскиваемых функций fm (zk).
В качестве примера применим описанный метод к задаче о нормальном ударе эллиптическим конусом по упругой мембране.
Сначала надо определить граничные функции ^(9) и ^(6).
Введем обозначения
© s(0) = cos2e + e 2ssin 29, s = 1,2
где e — отношение большой и малой полуосей нормального сечения конуса.
Кинематическое соотношение вместе с условиями сохранения массы при переходе через точки излома контура (Г0) позволяет определить скорости точек в области чисто плоского движения [3]
(b + ur )cos y + u0 sin у = ——, ur sin y- u0 cos y = 0, b = ,tg в 0 = sin в J®! (0)
Здесь b — скорость волны сильного разрыва, y — угол между радиус-вектором и нормалью к линии контура Г0, определяемый формулой
2
t _ 1 dp _ (e - 1)sin9cos9 SY _ р d0 _ ©i (0)
Пусть в0 — угол полураствора конуса при большой полуоси и sin р = -
tg во
V©2 (0) + tg2 во В результате вычислений получим
4(0) = B(0) cos (0 - Y), A2(0) = B(0) sin (0 - y)
д/©2(0)(©2(0) + tg2 во) - ©1(0)tgpo
B(0) =■
V©1(0)©2(0)
Так как рассматривается нормальный удар, то а0т = 0 (к, т = 1,2).Кроме того, известно, что функция
г = А +
отображает внешность эллипса с полуосями А(1 + X) и А(1 - X) на внутренность круга
п< 1.
Согласно выражениям (2.9) соответствующие отображения для внешних областей контуров Г- будут следующие:
^ = С -J ck - A 2[1 + X2 + *(/ ^ + %k 2)])/A (k + Щк)
Чтобы осуществить отображения граничных функций ^(9) и ^(6) на окружность = 1, нужно определить зависимость 9 = 9(а), причем а = arg £ на этой окружности. Простые вычисления показывают, что
tg 9 = e_1tga; e = (1 +1)1(1 - X)
В силу очевидной симметрии искомые функции представляются в виде
f^izk) = I аI
(1)
2^+1
2^+1 Zk
21+1 Zk
fk(2)(Zk) = I ia k2.
(2)
2t+1
2t+1 1 Zk +
2M
Zk
(2.10)
(1) (2)
где акП и акП — действительные числа.
Вышеупомянутое условие о покрытии областей в этом случае приводит к неравенству X < 0.36.
Результаты вычислений при
Х = 0.2, в0 =п/4, с1 = 100, с2/с1 = 0.7
свидетельствует о возможности ограничиться пятью членами разложений (2.10).
ЛИТЕРАТУРА
1. Рахматулин Х.А., Агаларов Д.Г. К неодномерным автомодельным задачам динамики мембран // Изв. АН Азерб. ССР. Серия физ.-техн. и мат. Наук. 1977. № 5. С. 136—138.
2. Муталлимов Ш.М., Агаларов Д.Г. О косом ударе по мембране // Изв. АН Азерб. ССР. Серия физ.-техн. и мат. наук. 1975. № 3. С. 78—81.
3. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.