ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 4, 2013
УДК 532.516
© 2013 г. О. Б. Гуськов
МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ДИНАМИКЕ ВЯЗКИХ СУСПЕНЗИЙ
Разработан метод приближенного решения проблемы многих тел сферической формы в вязкой жидкости в приближении Стокса. В рамках чисто гидродинамического подхода на основе использования концепции самосогласованного поля классическая граничная задача сведена к формальной процедуре решения бесконечной линейной алгебраической системы уравнений относительно тензорных коэффициентов, входящих в полученное решение для поля скорости и давления жидкости. Для случая разбавленных суспензий, когда отношение размера дисперсных частиц к характерному расстоянию между ними является малым параметром, построена процедура приближенного решения этой системы уравнений. В итоге исходная граничная задача сведена к решению рекуррентной системы уравнений, в которой каждое последующее приближение для всех искомых величин зависит только от предыдущих приближений. Полученная система рекуррентных уравнений может быть аналитически решена в любом заданном приближении по малому параметру. Показано, что данная система уравнений содержит в себе все возможные физические постановки задач, и в рамках построенной математической процедуры они различаются только набором заданных и искомых функций. Практические возможности построенного метода никак не ограничены количеством дисперсных частиц в жидкости.
При решении задач динамики дисперсных сред ключевой проблемой является необходимость учета гидродинамического взаимодействия между огромным числом частиц дисперсной фазы. В рамках гидродинамического подхода приходится решать граничную задачу в неодно-связной области, имеющей в общем случае нерегулярную структуру. Даже в линейном приближении уравнений Навье—Стокса это сложная задача, которая точно пока не решена. Исключительная сложность проблемы приводит к необходимости построения разного рода упрощенных гидродинамических моделей. На основе наиболее простой модели невзаимодействующих частиц в приближении Стокса были получены первые результаты по эффективной вязкости суспензий в работах Эйнштейна (1906) [1], Джеффри (1922) [2] и Тейлора (1932) [3]. Первыми из методов учета гидродинамического взаимодействия частиц в приближении Стокса были метод единичной ячейки Каннингэма (1910) [4] и метод отражений Смолуховского (1911) [5], которые длительное время были единственными методами теоретических исследований в этой области. На основе использования их модификаций, в том числе в сочетании с методами статистической физики, были получены практически все наиболее важные результаты по динамике вязких дисперсных сред. В 1979 г. был разработан новый приближенный метод1 учета гидродинамического взаимодействия частиц в вязкой жидкости и на его основе впервые рассчитано движение клас-
1Струминский В.В., Смирнов Л.П., Кульбицкий Ю.Н. и др. Законы механики дисперсных сред и двухфазных систем в связи с проблемами повышения эффективности технологических процессов. Препринт № 1. Ч. 1. М.: Сектор механики неоднородных сред АН СССР. 1979. 59 с.
теров, содержащих сотни таких частиц, как в безграничной жидкости [6], так и в присутствии внешних границ различной геометрии [7—9]. Затем применительно к случаю идеальной несущей сплошной среды был разработан новый более точный метод [10], в рамках которого на основе использования идеи самосогласования полей возмущений дисперсных частиц исходную граничную задачу удалось свести в математическом плане к существенно более простой задаче. В последнее время на основе этого метода удалось получить ряд новых результатов [11—13]. Ниже показано, что использование концепции самосогласованного поля позволяет построить достаточно эффективный метод приближенного решения проблемы многих тел применительно к случаю вязкой несущей сплошной среды.
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении N сферических частиц радиуса а в заданном внешнем потоке (Уа, Р) вязкой несжимаемой жидкости в линейном приближении уравнений Навье—Стокса. Пронумеруем все частицы от 1 до N и обозначим
(') г/О пЮ
координаты их центров как ха , а линейные и угловые скорости — как иа и Иа соответственно. Классическая граничная задача для определения поля скорости и давления (иа,р) в жидкости в приближении уравнений Стокса имеет вид
иа, ее = Р,а, °а,а = 0
иа ^ Уа при Л ^да, иа = иа + варМ'Х^ при Л = €, ' = 1, 2,..., N
Xо = х _ хс> л = € = а г = д- г =
Ла Ла Ла 1 Ч Ла 1 с т 1 J ,а - > J ,аа т
1 8ха 8x1
где еару — символ Леви-Чивиты, (Уа, Р) — заданный на бесконечности внешний поток.
Задача (1.1) записана в безразмерном виде, где в качестве масштабов величин приняты характерные расстояние между центрами соседних частиц Ь, скорость частиц и давление цЦ(0)/Ь, где ц — вязкость жидкости. Приняты тензорные обозначения величин с условием о суммировании по повторяющимся нижним координатным индексам, принимающим значения от 1 до 3. Это условие не распространяется только на переменную Я. Верхние индексы относятся к частицам, и чтобы отличать их от показателя степени, они заключены в круглые скобки.
Пользуясь линейностью уравнений Стокса, будем искать решение граничной задачи (1.1) в виде суперпозиции заданного потока и возмущений, индуцируемых частицами при их движении в жидкости:
N N
Оа = Уа + X , Р = Р + XР(0 (1.2)
I = 1 I = 1
где каждое из полей ( , Р()) удовлетворяет уравнениям Стокса и убывает на бесконечности. Очевидно, что функции и^ и р(,) имеют особенность только в центре ;-й сферы. Введем также в рассмотрение функции
Уа° = Уа - Ц? - в^Х? + X иа', Р(0 = Р + ХрЛ (1.3)
где суммирование производится по всем N частицам кроме ;-й. Очевидно, функции У^ и Р^ имеют смысл поля скорости и давления, внешнего по отношению к ;-й частице. Так как эти функции не имеют особенности внутри ;-й частицы, их можно разложить в ряд Тейлора в окрестности центра этой сферы
у.о _ ^ до X') X') р(') = V* Г-') X') X')
а /, аУ1—Уп У1 '' ' Уп , / I У1--Уп У1'"' Уп
п = 0 п = 0
Д) _ Л(0 цЮ г°) _ л(0 Р°) • л/• = 1 д /
Нау1^у„ _ лУ1-УпУа , СУ1-Уп _ ЛУ1 -ЧпР • ЛУ1-Уп/ = п , ^ дх
(1.4)
Я' = 0
Последнее тождество (1.4) определяет дифференциальный оператор , действу-
ющий на функцию /.
Если ввести обозначения
У') _ ^ У')(п) у(0(п) _ Д') X') X') • »/'') = V1»)(')(")
"а / 1 ' а , "а ау1 • ■■уп У1 '' ' Уп • иа / 1 иа
п =0 п =0 (1.5)
ТО ТО
р(о _ ^ р(<хи) р(')(п) _ Г-О Х~1)• = ^*)
я _ 0 п _ 0
то после подстановки выражений (1.2) в соотношения (1.1) задача для определения поля возмущения ( О^а^"^, р(,)(п)) при учете равенств (1.3)—(1.5) будет формулироваться следующим образом:
„(ОМ _ „0)(п) ,р)(.п) _ А
иа,вв _ Р,а , иа,а _ 0 .. ,,
(1.6)
(')(п)
а
^ 0 при Я , иа(п) _ -Уа°(п) при Я _ е
Прежде, чем приступить к поиску решения задачи (1.6), отметим несколько свойств тензоров На1 ,, . Подставляя выражения (1.5) в уравнения Стокса, получим
аУ1-Уп
С_ (п + 1)Д
р')(п) _ пд^^ X?• ■ ■ 1, п *2; Р°(0) = Р°(1) _ 0
У1 •■■Уп _ У1 + ЧНлввУ2■■■Уп
Из определения (1.5) непосредственно следует свойство симметричности тензоров Даау1...у и Д1вву2...у , а следовательно, согласно первому соотношению (1.7), также и
тензора С;' у по системе индексов (у:, ..., уп) при 1 < к < т < п:
Д') _ Д') Г') _ Г-')
НаУ1-Ук•■■Ут.--Уп ДаУ1-Уш•■■Уk•■■Уn, СУ1-Ук.Уш-Уп СУ1-Уш-Ук.Уп ,Л
(1.8)
У1 ввУ2 — Ук •■■
Уш • ' 'Уп
- ЛУ1РРУ2 — ш У к. п
ТО
ТО
После подстановки выражений (1.5) в уравнение неразрывности системы (1.6), используя соотношения (1.8), можно получить следующее свойство для свертки тензора
На,.., по первому и любому другому индексу из набора (уь ..., уи):
М2 „ ау „ = 0, 1 < к < п (1.9)
аУ1-• • Ук- 1аУк +1-• • Уп ' 4 '
Используя свойства (1.7)—(1.9), также получим следующие соотношения для производных функции Уа^п):
т/0(п) _ „ тЛI) у(1) у(I) у(0т/0(п) _ т/')(п)
Уа,в = ПНаву2... у„Лу2 ■■■Луп , Лв Уа,в = ПУа
4° = лв) У™ = (п - 2) Уа^ (1.10)
Уа)уу) = п(п - 1 )Навву3 - ..упЛу3 ■ЛУп)
Все указанные выше свойства (1.7)—(1.10) понадобятся в дальнейшем.
Идея решения задачи (1.6) состоит в том, чтобы попытаться найти возмущение
( п), р(,)(и)), вносимое ;-й частицей во внешний поток (У^ , Р(,)), через характеристики этого потока. Такая попытка представляется естественной, так как возмущение и набегающий на частицу поток взаимосвязаны посредством граничных условий (1.6) на поверхности ;-й сферы. Кроме того, так как уравнения и граничные условия линейны относительно искомых функций, то зависимость возмущения от внешнего потока должна быть также линейной по скорости. Для поиска этой зависимости воспользуемся методом, который был разработан Шмицем и Фельдерхофом [14] для точного решения задачи об обтекании одиночной сферы заданным внешним потоком. Очевидно, что система уравнений, к которой сводится данная задача — частный случай системы (1.6), когда число частиц N = 1. Принципиальное отличие состоит в том, что в правой части граничных условий в задаче (1.6) фигурирует заранее неизвестный поток, внешний по отношению к ;-й сфере, а в рассмотренной ранее задаче [14] этот поток задан. Тем не менее, использование самой идеи решения задачи [14], как будет показано далее, позволяет в конечном итоге построить метод приближенного решения исходной задачи о движении N тел в вязкой жидкости.
Не повторяя в деталях процедуру решения [14], изложим ее схематично, обращая внимание на моменты, важные для понимания сути разрабатываемого метода.
2. Представление внешнего потока. Следуя методу Шмица и Фельдерхофа [14], для решения задачи (1.6) прежде всего необходимо найти подходящее представление для
внешнего по отношению к ;-й сфере потока ( У^ , Р(,)) в виде трех составляющих, для которых в дальнейшем будут сформулированы три независимые задачи. В силу определений (1.5) эта процедура эквивалентна задаче построения подходящего представления для тензора Н^.у
но = Н')( 5) + Н')( Р) + Н(')(т) (21)
аУ1-Уп аУ1 — Уп аУ1-Уп аУ1-Уп (2.1)
Задача состоит в том, чтобы разложить тензор Н^ у на три независимых тензора,
каждый из которых обладает своими специфическим
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.