ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 2, 2014
УДК 533.15
© 2014 г. В. Н. Бакулин, Б. В. Бошенятов, В. В. Попов
МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В ПОЛЫХ ВОЛОКНАХ С ПРОНИЦАЕМЫМИ СТЕНКАМИ
Построена модель изотермического течения вязкого совершенного газа в длинных трубках (полых волокнах) с проницаемыми стенками. Выведены аналитические соотношения для относительного расхода газа через проницаемые стенки трубок, изготовленных из пористого и непористого материала. Установлено, что при заданном перепаде давления существует оптимальная длина трубки, когда расход газа через ее стенку достигает максимальной величины. Приведена формула для расчета характерной длины волокна, при которой расход газа в стенки трубы становится преобладающим в общем балансе расхода газа, поступающего во входное сечение волокна. Предложена единая универсальная безразмерная зависимость, описывающая баланс расходов газа для волокон, имеющих разные механизмы проницаемости.
Использование в ряде технологических процессов мембран в виде тонких (до 100 мкм) полых волокон с проницаемыми стенками [1, 2] позволяет создать газоразделительные и фильтрационные аппараты с более развитой поверхностью (порядка 103—104 м2/м3 в единице объема аппарата) по сравнению с традиционными плоскими мембранами. Трубчатые, или половолоконные, мембраны в зависимости от диаметра пор йр в проницаемой стенке разделяют на три основных типа:
1) волокна с непористой проницаемой стенкой (йр = 0, диффузионный механизм проницаемости),
2) волокна с диаметром пор йр « 0.1 мкм (кнудсеновский механизм проницаемости, число Кнудсена близко к единице),
3) волокна или трубки с диаметром пор много больше длины свободного пробега молекул (течение в порах описывается уравнениями Навье—Стокса).
В конце 1980 гг. В.В. Струминским [3] на основе решения кинетических уравнений для газовых смесей была получена обобщенная система уравнений газовой динамики типа уравнений Навье—Стокса, в которой появились члены, позволяющие учитывать взаимодействие между отдельными компонентами смеси. С использованием этих уравнений им была разработана теория течения газовых смесей в тонких каналах (волокнах второго типа) [4]. Эти результаты открыли новые возможности при создании пористых мембран высокой производительности, имеющих повышенный коэффициент разделения для конкретных газовых смесей. В Секторе механики неоднородных сред АН СССР под руководством В.В. Струминского были организованы работы по проектированию и изготовлению компактных газоразделительных установок с использованием половолоконных мембран1,2,3 для разных отраслей промышленности (Агропром, Минсуд-пром и др.). Для оптимизации параметров таких установок необходимо рассчитывать течения внутри половолоконных мембран (трубок) при учете различных механизмов проницаемости их стенок.
1Струминский В.В., Бошенятов Б.В., Зражевский А.М. Мембранный аппарат с полыми волокнами: а.с. 1519739 СССР. № 4249902/31-26; заявл. 21.04.87; регистр. 15.11.87; опубл. 07.11.89, бюл. № 41.
2Струминский В.В., Бошенятов Б.В., Попов В.В. Устройство для насыщения жидкости газом: а.с. 1383562 СССР. № 4154773/28-12; заявл. 02.12.86; регистр. 22.11.87.
3Струминский В.В., Бошенятов Б.В., Попов В.В. Устройство для насыщения жидкости газом:
а.с. 1381784 СССР. № 4155778; заявл. 02.12.86; регистр. 15.11.87.
Задача о движении несжимаемой вязкой жидкости в трубе с пористой стенкой впервые была проанализирована С.А. Регирером; решение уравнений Навье—Стокса проводилось методом разложения по малому числу Рейнольдса [5]. Изотермическое течение вязкого газа по длинной трубе с непроницаемыми стенками, но при учете изменения плотности газа вдоль трубы, впервые было рассмотрено Ландау [6]. В модели Ландау закон сопротивления Пуазейля для несжимаемого газа справедлив лишь локально, в каждом сечении трубы, в результате чего оказывается, что расход газа в этом случае пропорционален разности квадратов давлений на входе и выходе, а не разности давлений в первой степени, как в классическом варианте несжимаемой жидкости.
1. Постановка задачи. С использованием модели Ландау, рассматривается изотермическое движение вязкого совершенного газа внутри длинной половолоконной трубки с проницаемой стенкой при больших отношениях общей длины волокна к диаметру его проходного сечения.
Оценим применимость модели Ландау для длинной трубки с проницаемой стенкой. Локальную скорость потока в такой трубке, например, в полом волокне типа "Гравитон", вычислим по формуле для коэффициента гидравлического сопротивления l трубы длиной L и внутренним радиусом a [7]:
^ _ Ар 2а _ 32; _ риа
12 Ь Яе' п
-р и 1
2
Здесь Ap = p2 — p1 — перепад давления газа между входным ^2) и выходным сечениями трубы, р — плотность газа, u — его средняя по расходу скорость, Яе — число Рейнольдса потока.
Для Ap = 106 Па, a = 5 ■ 10-5 м, динамической вязкости п = 10-5 кг / мс и L = 1 м получим u « 20 м/с. Таким образом, несмотря на значительные перепады давления (десятки атмосфер), локальное течение газа в полых волокнах будет несжимаемым, так как отношение скорости потока к местной скорости звука значительно меньше единицы. Ламинарное течение с параболическим профилем скорости при Яе « 100 в такой трубке [7] устанавливается на длине l в несколько миллиметров от входного сечения. Отношение массового расхода газа в стенку к расходу в сечении трубки на расстоянии l от входа также ничтожно мало, в то время, как правило, длина аппарата L > 1 м. Таким образом, модель Ландау с высокой степенью точности применима к полым волокнам с проницаемыми стенками.
Для практических целей наиболее важную информацию представляют аналитические соотношения для величин массовых расходов на входе G2 и выходе G1 из трубки в зависимости от перепада давления Ap и (или) относительный массовый поток через проницаемую стенку волокна — G1)/G2 в зависимости от длины волокна L, проницаемости материала стенок и других характеристик задачи.
Рассматривается течение в полых волокнах с проницаемыми стенками двух разновидностей: 1) полые волокна первого типа проницаемости, изготовленные из непористого материала, когда проницаемость стенок обусловлена молекулярной диффузией газа через стенку волокна, и 2) волокна третьего типа проницаемости.
Как правило, волокна первого типа используются в газоразделительных установках, так как они имеют разную проницаемость для различных газов. Например, для волокна "Гравитон" при температуре T = 293 К имеем значения коэффициента газопроницаемости K для водорода 75 ■ 10-17 м2/с ■ Па, для кислорода 16.2 ■ 10-17 м2/с ■ Па, для азота 4 ■ 10-17 м2/с ■ Па.
Стенки полых волокон третьего типа проницаемости состоят из пористого материала, и обычно используются в фильтрационных и газонасыщающих установках. Ло-
кальный (на единичную длину волокна) массовый поток газа через стенку полого волокна обычно рассчитывают по формуле [1, 2]
/о _ 2парАр-К; Ар0 _ р(г) -Ро (1.1)
о
Здесь p(z) — давление газа в сечении длинной трубки с продольной координатой z, отсчитываемой от входного сечения вдоль оси волокна, p0 — давление снаружи трубки,
р — некоторая характерная плотность газа (обычно используют плотность газа при нормальных условиях или плотность снаружи трубки), 8 — толщина стенки полого волокна, K — ее коэффициент проницаемости. Далее будем считать давление на выходе из волокна равным давлению снаружи трубки p1 = p0.
2. Течение в проницаемых волокнах первого типа (с непористой стенкой). Рассмотрим более детально течение в проницаемых волокнах первого типа с непористой стенкой [8]. Из закона сохранения массы, в каждом сечении волокна имеем
-йв(1) _ /оdz (2.1)
Используя формулы (1.1), (2.1), уравнение состояния совершенного газа p = рRT/M, где R — универсальная газовая постоянная, M — молярная масса, и формулу Пуазейля, для локального массового расхода в трубке
ад _ -р^)па-4^ (2.2)
8 п dz
после перехода к безразмерным величинам по формулам рР _ Р(Z)/Ро, ^ _ z/Lо
где L0 = V 5 а3/(п К) — характерная длина проницаемого волокна (далее штрихи опускаем) получим уравнение, описывающее распределение давления вдоль продольной оси волокон первого типа, в безразмерном виде
_ 32(р - 1) (2.3)
dz
Численное исследование этого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения было проведено в постановке двухточечной краевой задачи с условиями
р(о) _ рг/ро, р(Ь) _ 1 (2.4)
Задача решалась методом экстраполяции по Ричардсону со средней точкой и переменным шагом интегрирования. Поскольку уравнение (2.3) имеет при больших перепадах давления критическую точку в нуле, применялись специальные меры для достижения приемлемой точности результатов расчетов, сводящихся к выбору подходящего шага интегрирования и варьирования точности попадания в конечную точку методом стрельбы. Достигнутая относительная погрешность расчетов составила не более 10-4.
На фиг. 1 представлены графики распределения давления вдоль оси волокна при длине волокна L = 0.25L0 (слева) и относительного массового расхода газа через стенку в зависимости от безразмерной длины волокна (справа) при разных значениях давления p2 на входе. Видно (левая часть фиг. 1), что при давлениях на входе 5 атм и выше изменение давления вдоль волокна носит нелинейный характер, а при малых давле-
15
Р Ро
10
15
10
5 p2, атм = 2
1.0
О2 - О1
0.5
p2, атм = 2 / ^___/ / / /У 5 / /7/10/ ' / / / / / / / . 1 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 15
// / / / ч / / / // / / / // / / / // / / / 1/ / / / // / / / // / / / ч / / / ч / / / // / // ч / // ч / // ч /// и///
0.5 z/L 1.0 0
2 L/L*o
Фиг. 1
ниях на входе, когда распределение давления вдоль волокна близко к линейному, расход газа через стенку достигает «95% от максимальной величины на характерной длине Ь0 (правая часть фиг. 1). Однако с увеличением давления на входе оптимальная длина волокна Ь** увеличивается. Так, Ь** « 2Ь0 приp2 = 15 атм.
3. Течение в волокнах с пористой стенкой (третий тип проницаемости). Рассмотрим изотермическое течение вязкого совершенного газа в полом волокне с пористой стенкой, когда диаметр пор много больше длины с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.