ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 1, 2013
УДК 539.3 : 534.11
© 2013 г. Г. В. Костин
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ УПРУГОЙ БАЛКИ
НА ОСНОВЕ МЕТОДА ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ
В рамках метода интегродифференциальных соотношений развивается вариационный подход к численному моделированию вынужденных поперечных движений упругой балки Эйлера—Бернулли для ряда линейных краевых условий. Рассмотрен класс линейных краевых воздействий. Предложено семейство квадратичных функционалов, связывающих поля перемещений точек балки с функциями изгибного момента в сечении и плотности импульса. Даны вариационные формулировки исходной начально-краевой задачи о движении балки и проанализированы необходимые условия стационарности введенных функционалов. Определены интегральные и локальные характеристики качества допустимых приближенных решений. Показана связь сформулированных для модели балки вариационных задач с классическими вариационными принципами Гамильтона—Остроградского. Разработан алгоритм построения приближенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой доставляет стационарные (минимальные) значения введенным функционалам на заданном множестве полей перемещений, моментов и импульсов. Приведены примеры расчетов перемещений упругой балки и анализа качества полученных численных решений.
Актуальным направлением исследований вынужденных движений механических систем с распределенными параметрами остается разработка методов достоверного моделирования этих систем. Некоторые элементы упругих конструкций могут рассматриваться как тонкие стержни с заданными жесткостными и инерционными характеристиками. При малых деформациях и скоростях движения таких объектов достаточно точно могут быть описаны в рамках балочной модели Эйлера—Бернулли.
Одним из наиболее распространенных подходов к решению задач об вынужденных движениях упругих балок является метод разделения переменных (метод Фурье) [1], основанный на нахождении собственных частот и форм свободных колебаний. Знание амплитудно-частотных характеристик балки позволяет свести исходную начально-краевую задачу к счетномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Нахождение собственных частот и форм колебаний серьезно осложняется в случае неоднородного распределения механических или геометрических параметров по длине балки. Был предложен [2] регулярный метод возмущений (метод малого параметра) для исследования динамики слабо неоднородных тонких стержней при разных граничных условиях. На основе подхода Релея—Ритца разработан метод ускоренной сходимости, позволяющий получать достаточно точные значения искомых величин и функций при больших изменениях в распределении жесткости на изгиб и линейной плотности балки [3].
Среди вариационных подходов к решению динамических задач теории упругости наиболее известны принцип Гамильтона—Остроградского и дополнительный к нему принцип, сформулированные для движений с периодическими или краевыми по вре-
мени условиями (см. [4]). Были предложены также возможные обобщения (Хейлиге-ра—Рейснера, Васидзу и др.) этих вариационных принципов. На основе преобразования Лапласа получены другие вариационные принципы для решения начально-краевых задач динамики упругих тел, имеется их описание и подробная библиография [5]. Следует отметить систематический подход к получению вариационных принципов, основанный на преобразовании Фридрихса [5]. Существуют также и другие подходы к выводу вариационных формулировок, из которых можно упомянуть полуобратный метод [6]. Среди численных методов решения начально-краевых задач в механике выделяется метод Петрова—Галеркина [7, 8]. Следует заметить, что как его частная модификация может трактоваться и метод Фурье. В последнее время появился ряд работ посвященных использованию метода наименьших квадратов в механике деформируемого твердого тела [9].
Во всех этих подходах предполагается, что некоторые определяющие уравнения, например уравнения движения, граничные условия в напряжениях и т.д., выполняются в численных процедурах приближенно, а точное решение аппроксимируется конечной комбинацией базисных функций. При построении аппроксимации движений распределенной системы достаточно трудно получить двустороннюю оценку сходимости численного процесса. Это не позволяет эффективно контролировать ошибки вычислений, связанные, например, с дискретизацией задачи, погрешностями округления, численным интегрированием и т.п.
Результаты представленной работы связаны с развитием алгоритмов построения приближенных решений для задач о вынужденных движениях упругих систем с распределенными параметрами и основаны на интегродифференциальном подходе [10, 11]. С использованием семейства энергетических функционалов был дан ряд вариационных формулировок для динамических задач линейной теории упругости и предложены интегральные и локальные оценки качества допустимых решений [12, 13].
Цель работы — развитие этих формулировок, которые базируется на интегральном представлении локальных уравнений состояния, на случай модели упругой балки Эй-лера—Бернулли. Разработан алгоритм построения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой доставляет стационарные значения выбранному функционалу на заданных аппроксимациях. Одно из его преимуществ по сравнению с классическими вариационными подходами к решению задач динамики состоит в том, что для ряда функционалов качества ищется их минимально возможное значение, а не стационарные точки. Это позволяет повысить эффективность численных процедур. Отметим также, что в явном виде получены энергетические оценки качества приближенного движения. Локальные оценки, вытекающие из предложенной интегродифференциальной формулировки задач упругости, дают возможность выявлять области недостоверности численного решения и эффективно применять различные стратегии улучшения его качества, например, с помощью адаптации сетки при использовании метода конечных элементов [14].
1. Постановка задачи. Рассматриваются плоские поперечные движения прямолинейной упругой балки, описываемые в рамках модели Эйлера—Бернулли линейным уравнением в частных производных
+ (к(х^хх)хх = /(х,г), х е (0,хх) (1.1)
Здесь т — поперечные перемещения точек центральной линии балки, длина которой равна хь р > 0 — линейная плотность, а к > 0 — изгибная жесткость балки, / — распределенная по ее длине нагрузка. Нижними индексами ? и х обозначены соответствующие частные производные. В начальный момент времени г = 0 определены форма поперечного изгиба (перемещения) и относительная скорость точек балки. В каждой из концевых точек х = 0 и х = х1 задаются по два условия, которые будут приведены ниже.
Перейдем к безразмерной форме записи уравнений движения упругой балки, определяя новые координату, время и заданные функции в следующем виде:
/■ к0 f'
X = x1x , t = t0t , w = x1w , p = p0p , к = K0K , f = 3
x1
Xi Xi
p0 = ~ f p(x)^x, K0 = — [ Kx)dx
X] xiJ
1 0 1 0
(1.2)
Здесь t0 — время, характеризующее периоды собственных колебаний, р0 — средняя линейная плотность балки, к0 — ее изгибная жесткость. Очевидно, что при такой замене р' = к' = 1, если р = const и к = const. Подставляя в уравнение (1.1) выражения (1.2) для координаты x, времени t, функций перемещений w, плотности р, жесткости к и
нагрузки f и умножая это уравнение на x3 /к0, получим безразмерное уравнение, аналогичное (1.1). В дальнейшем штрихи опускаются.
Введем безразмерные силовые переменные p и s, характеризующие вместе с геометрической переменной w поведение упругой системы и зависящие от времени t и координаты x. Здесь p и s — функции соответственно линейной плотности импульса (в дальнейшем для краткости импульс) и изгибающего момента в поперечном сечении балки (момент).
В линейной теории локальные уравнения состояния, связывающие плотность импуль-саp со скоростями точек системы w, а также момент s с изгибом wxx можно записать в виде
П = wt - р-1 р = 0, ^ = Wxx - к-1s = 0 (L3)
где для удобства введены вспомогательные функции п,
Используя соотношения (1.3), уравнение движения упругого тела (1.1), записанное в перемещениях, можно выразить через функции момента s и импульса p:
Pt + Sxx = f (1.4)
Поскольку выражение (1.4) связывает распределенные инерционные, упругие и внешние силы, это соотношение будем называть уравнением динамического равновесия.
Рассмотрим случай линейных граничных условий, которые выражаются через краевые значения функций перемещений w, угла поворота центральной линии балки wx (в рамках линейной теории), момента s, и перерезывающей силы — sx в форме
x = 0: ^w + b1Sx = ц(0, ajWx - b2s = v2($) (1
x = 1: a3w - b3sx = u3(t), a4wx + b4s = u4(t)
где vk(t) (k = 1,2,3,4) — известные функции. Постоянные коэффициенты ak > 0 и bk > 0 задают тип граничных условий. Так, например, функции ul 3 определяют перемещения w на концах балки, если даны постоянные a13 = 1, b13 = 0, или перерезывающую силу —sx, если a13 = 0 и b13 = 1. При a24 = 1, b24 = 0 на концах задается касательная к центральной линии балки, а если a24 = 0, b24 = 1, то в концевых сечениях даны изгибающие моменты s. Условия (1.5) включают в себя разнообразные виды упругого закрепления балки, если для какого-то из индексов k = 1,...,4 пара коэффициентов akи bk одновременно не равна нулю (akbk Ф 0).
Для полного описания движения упругой балки определим его состояние в начальный момент времени, задавая начальные распределения поперечных перемещений w и импульса p, как функции координат x:
w(0, x) = w 0(x), p(0, x) = p 0(x) (1.6)
При постановке задачи надо принимать во внимание совместность начальных (1.6) и краевых (1.5) условий [11].
При решении начально-краевой задачи (1.3)—(1.6) необходимо учитывать, что функции линейной плотности р и изгибной жесткости к могут претерпевать разрывы в некоторых точках балки, граничные функции ик мгновенно менять свои значения в некоторые моменты времени, а функция распределенной нагрузки/ рваться на некоторых кривых в двумерном пространстве времени и координат. В этих точках могут существовать особенности решения,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.