ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 4, 2013
УДК 539.3
© 2013 г. Ю. И. Виноградов
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Перемножением матриц (мультипликативно) краевые условия переносят в произвольно выбранную точку. Матрицы переноса краевых условий являются аналитическим решением системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в канонической форме механики деформирования оболочек в виде значений функций Коши—Кры-лова. В произвольно выбранной точке краевые условия объединяют в систему алгебраических уравнений в матричной форме, столбец неизвестных величин которой — параметры искомых величин задачи. Эффективность метода — простота реализации на ЭВМ, малые затраты машинного времени и оперативной памяти — основана на мультипликативном в матричной форме переносе краевых условий. Класс задач ограничен возможностью метода Фурье разделения переменных в уравнениях с частными производными.
1. Постановка задачи. Пусть система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) приведена к канонической матричной форме и представлена в виде
у'(х) = А(х)у(х) + {(х); у(х) = ||у 1?у2, уп\\т (1.1)
где у(х) — транспонированный столбец искомых величин, А(х) = \\а,]||п — матрица,
элементы которой — коэффициенты системы ОДУ, ^х) — столбец параметров правых частей системы ОДУ.
Необходимо определить решение в матричной форме ОДУ (1.1) при заданных краевых условиях
Н( 0) у (0) = г,( 0), Нк (I) у (I) = г к (0 (1.2)
Здесь
Н1(0) = Мх=о, 1 = 1 *; Нк(0 = 1Ы1х=1, 1 = 1 п -*
] = 1, 2, п
я — число краевых условий при х = 0, п — порядок ОДУ (1.1); Н(0) и Нк(Г) — прямоугольные матрицы, ненулевые элементы которых в виде единиц заносят для выбора элементов столбцов искомых величин на краях х = 0 и х = I:
у(0) = ||У 1, У2? • • Уп\\т= о, у(0 = \\у 1? У2' • • Уп\\т= I
II IIT
на которые накладываются известные краевые условия; г^0) = \гъ r2, ..., r^x = 0 и
II II t
rk(l) = ||r1, r2, ..., rn-Jx =; — столбцы, ненулевые элементы которых — заданные значения физических величин или их параметров на краях.
Решение краевой задачи достигается переносом краевых условий (1.2) в произвольно выбранную точку краевого интервала [1] с помощью решения [2] канонического матричного ОДУ (1.1) и решением системы алгебраических уравнений для объединенных в этой точке краевых условий. При этом определяются значения искомых величин, характеризующих, например, прочность и жесткость оболочки.
2. Алгоритм переноса краевых условий при вычислении значений функции Коши-Кры-лова в направлениях от произвольно выбранной точки краевого интервала. Общее решение ОДУ (1.1) имеет вид
y (x -1) = Q 1 (A (x)) y (xi) + y*x -1 (2.1)
" ( UK \m n
1(A (x)) = У , B = У A (Tj), Axj = **, Ax = Xj -1 - x,
m = 0 j = 1
Tj e (xj-1,xj), j = 1, 2, ..., n Если
A (x) = A = const (2.2)
то
n
A (Tj) = A, у A (Tj) = nA, BAxj = AnAx} = A Ax, Ax = x} -1 - x}
i = 1
и общее решение однородного ОДУ имеет вид
K;(A(x)) = У , Ax = xn - xo (2.3)
0 ¿—lm\
m=0
Частное решение ОДУ определяется по формуле [2]
y i - 1) = K1K2 ...Kn - f n + K1K2 ...Kn - 2 f n - 1 + ... + K1K2 ...Kk - f k + ... + Kf 2 + f 1
fk = TkfkAxk, Tk = E + + (Akfxk)2 + . (2.4)
При условии (2.2) величины К*-1 = K и Tk = T одинаковые для всех равных интервалов Ахк = xk_ 1 — xk = Ах (к = 1, 2, ..., и), и частное решение у*^, xi_на основном интервале принимает вид
у *(хь х, _ 1) = (К" -1Д, + К"- 2Пп _ 1 + ... + КП2 + 7Т1 ) (2.5)
Здесь верхний индекс у матрицы К обозначает возведение в степень.
Сокращаем запись решения (2.1):
у (х1 1) = 1 (х,) + у*"-1 (2.6)
Значения функций Коши—Крылова матрицы Кх'-1 однородного ОДУ и частного решения неоднородного ОДУ у*х'-1 вычисляются в направлении от произвольно выбранной точки х, к левому краю, т.е. от точки х, к точке х, —: (см. фигуру, где показаны направления вычисления решений ОДУ (1.1)).
Перенос краевых условий на левом краю х = 0 в точку х = х: выполняем следующим образом. Решение (2.6) для интервала (х0, х:), прилегающего к левому краю, принимает вид
у (0) = (х1) + у*х0 (2.7)
Исключая у(0) из условия (1.2), получаем
Н(х1 )у(х1) = г,(х1); Н(х1) = Н(0)£0, г,(х1) = г,(0) - Н(0)у*х°
Аналогично переносу краевых условий при х = 0 в точку х1 осуществляется перенос краевых условий в точку х2. Продолжая итерации, получаем формулу для переноса краевых условий на левом краю х = 0 в произвольно выбранную точку х, при вычислении значений функции Коши—Крылова на интервалах в направлении левого края
Н,( х,) у (х,) = г,(х,) (2.8)
где
Н(х) = Н(х,-1)^-1, г,(х,) = г,(х,-1) - Н(х,-1)у*х'-1 (2.9)
или
Н(х) = Н( 0 )*хкх;-К,-1
г,(х,) = г, (0) - Н,(0)(у*х0 + + - + 1)
Если ОДУ (1.1) имеет постоянные коэффициенты, т.е. выполнены условия (2.2), и длины интервалов (х,- — ь х) (,' = 1, 2, ..., п) равны, то матрицы ,-1 значений функций Коши—Крылова — одинаковые. Тогда итерационные формулы (2.9) принимают вид
Н(х) = Н,(0)К, г,(х,) = г,(0) - Н,(0)(у*Х|) + Ку*2х1 + - + К-1 у*"-1) (2.10)
Верхний индекс , - это степень матрицы, вычисленной на одном из интервалов (х, - ь х) (г = 1, 2, ..., п).
Для последнего интервала (хи _1, хи), прилегающего к правому краю, решение ОДУ (1.1) записывается в виде
у (х„) = К;п_ у (х„_!) + у**-"; у (х„) = у (I)
Используя это решение, исключаем столбец у(1) из условий (1.2) на правом краю и, таким образом, переносим их в точку хп -Тогда
Ик(хп - !)у(хи -!) = г^ -!); Ик(хп -!) = Ик(1)Кх" 1, г^ -!) = гк(1) - Ик(1)у**-"
Аналогично осуществляется перенос краевых условий из точки хп -: в точку хп - 2. Продолжая итерации, получаем формулу для переноса условий на правом краю в произвольно выбранную точку х, при вычислении значений функций Коши-Крылова на интервалах в направлении правого края. Имеем
Нк(хд у (хд = Гк(хд
(2.11)
где
шк(х) = ик(х{ +1К+1 или ик(х,) = шк(1)К;п К";;... Кх;1
Тк(х1) = Гк( I); Нк( 1)(у**-" + К:1 у**;- +...+К;П_ К"; 2... Кх++;у**х+1)
(2.12)
При условиях (2.2) и равных длинах интервалов матрицы Кх'+2 значений функции Ко ши-Крылова одинаковые, и итерационные формулы (2.12) принимают вид
Ик(х,) = Нк( I) К"-'
Гк(х.) = Тк(1); Нк(1)(у*х_\ + К ■ у*"х";;1 + ... + у**х+1)
(2.13)
Краевые условия (2.8) и (2.11), перенесенные в произвольно выбранную точку х, объединяем в систему алгебраических уравнений, неизвестными которой являются искомые величины (в случае оболочки характеризующие ее напряженно-деформированное состояние):
(2.14)
Решение краевой задачи для точек х, (значений аргумента) заканчивается определением столбца искомых величин
Б(х) у (х{) = г (х); Б (х{) = Н (х{) , Г(х.) = г(х)
Нк( хд Гк( хд
у (х.) = [ Б(х,,)]1 Г(х)
(2.15)
3. Алгоритм переноса краевых условий при вычислении значений функций Коши-Крылова в направлении к произвольно выбранной точке краевого интервала. Общее решение ОДУ (1.1) при вычислении значений функции Коши-Крылова в принятом положительном направлении от х,-: к х, записывается в виде представления (2.6) при замене индексов , о , - 1, а направления вычисления решений, показанные на фигуре, меня-
ются на противоположные. Действуя аналогично изложенному в разд. 2, краевые условия при х = 0 переносим в произвольно выбранную точку х ,:
Н,( х,) у (х,) = г,(х,); Н,( х,) = Н,(х,-1 )[Кх, 1 ]-1
1 1 (3.1)
г, (х,) = г, (х,-1) + Н (х,-1)[ К,-1 ]-у*х;
Процесс итерационный и выполняется по формулам
Н,( х,) = Н,(0 )[< ]-1 [ кх2 ] "1-[Кх,_ 1 ]-1
г, (х,) = (3.2)
= г,(0) + Н(0) {[ < ]-1 у*0х1 + [ < ]-1 [ К* ] 1у*1х2 + - + [ < ]-1 [ К; ]-1 - [ < 1 ]-1у*х;}
или
н,( х,) = Н( 0 )[Кх, 1-К; ]-1
, 1 0 (3.3)
г, (х,) = г,(0) + Н (0) {[ ]-1 у*Т + [ ]-1у*Т2 + - + [< 1-кх2 кх; ]Л*х;}
Если ОДУ (1.1) имеет постоянные коэффициенты и длины интервалов одинаковые, итерационные формулы (3.3) принимают вид
Н1 (х) = Н (0)[ К ]-1
; ; ; (3.4)
г,(х,) = г,(0) + Н(0) {[К ]- у*0х; + [К] у*х2 + - + [К] у*х;}
Верхние индексы у матрицы К означают возведение в соответствующую степень.
Аналогично краевые условия на правом краю переносим в произвольно выбранную точку х :
Нк(х) у (х,) = гк(х,); Нк (х,) = Нк (х, +;)[ ^+; ]-1
^ , +1 (3.5)
гк( х1) = гк( х, +1) + Нк( х1 +1) [ +; ]
Процесс переноса краевых условий итерационный и выполняется по формулам Нк(х) = Нк( /)[КТ1 ]-1 [<-2]-1 -[К,+1 ]-1
гк(х) = гк( I) + (3.6)
+Нк (I){[ КТ 1 ]-1у*„х"-1+[ КТ 1 ]-1 [ к-2 ]-1 у*х"1-2+[ к- 1 ]-1 [ к- ; ]-1 -[ +; ]
или
Нк(х) = Нк(,)[ кх,+1 -КхП-К;1 ]-1
гк(х) = гк( I) + (3.7)
+Нк( I){[ 1 ]-1у*;-1+[ 2 кхп-1 ] у*,хт2+- + [ А+1 к1 ]-1 у*^}
Если ОДУ (1.1) имеют постоянные коэффициенты и длины интервалов одинаковые, итерационные формулы (3.6) и (3.7) принимают вид
-'Ь-1
Нк(х) = Нк( /)[ Кп гк(х) = Гк( I) + Нк( 1){[К ]-1у*Х"-1 + [ К ] ^Т-Т2 + - + [ К1-']-1у*Х;}
(3.8)
Верхние индексы у матрицы К означают возведение в соответствующую степень.
Краевые условия (3.1) и (3.5), перенесенные в произвольно выбранную точку х, объединяем в систему алгебраических уравнений (2.14), неизвестными которой являются искомые величины. Решение краевой задачи завершается аналогично.
4. Ортонормирование краевых условий. Дифференциальные уравнения механики деформирования оболочек относятся к "жестким". Решение краевых задач на их основе с помощью ЭВМ требует специальных процедур для обеспечения устойчивости счета. С.К. Годунов, например, предложил при численном интегрировании ОДУ периодически выполнять процедуры ортонормирования результатов интегрирования.
Алгоритмы мультипликативного метода переноса краевых условий в произвольно выбранную точку краевого интервала также не обеспечивают устойчивость счета на ЭВМ при решении краевых задач. Однако далее предлагаем использовать процедуры построчного ортонормирования переносимых в точку х краевых условий.
Для краткости и общности краевые условия можно записать в виде
(4.1)
Ортонормирование выполняется в следующей последовательности: юп = Л/И1И | , где — скалярное произведение векторов (строки матрицы Н размерности т);
ортонормированные строки (обозначим их И') определяются последовательно
И' = —, ©12 = л/ъа , ®22 = л/м2
И Г1
Ну = г ; Н = И2 , Г = Г2
Ит
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.