ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 1, 2013
УДК 532.59.534.1
© 2013 г. М. Б. Кочанов, Н. А. Кудряшов, Д. И. Синельщиков
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ НА МЕЛКОЙ ВОДЕ ПОД СЛОЕМ ЛЬДА.
УЧЕТ РАЗЛОЖЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Рассматриваются нелинейные волновые процессы на поверхности мелкой воды под слоем льда при учете деформаций изгиба и растяжения-сжатия. Для их описания приведена замкнутая система уравнений относительно возмущения уровня воды и потенциала скоростей. С помощью метода многих масштабов и теории возмущений из условий совместности этой системы получено нелинейное эволюционное уравнение девятого порядка для описания возмущения уровня воды при учете поправок второго порядка по малым параметрам. Построено периодическое решение полученного уравнения, выраженное через эллиптическую функцию Вейерштрасса. При использовании модификации метода простейших уравнений получены решения в виде уединенных волн, выраженные через гиперболические функции. Показано, что для периодических и уединенных волн существуют два вида профилей волны в зависимости от параметров математической модели.
1. Введение. Впервые нелинейное эволюционное уравнение для описания волн на поверхности мелкой воды получено в конце XIX века [1] (уравнение Кортевега-де Вриза)
их + 6иих +Р иххх = 0 (1.1)
При наличии упругой пластины постоянной толщины на поверхности воды, с которой можно идентифицировать поверхность льда, для описания волн на поверхности воды под тонкой пластиной получено уравнение пятого порядка [2]
Учитывались лишь поправки первого порядка малости по малым параметрам, характеризующим задачу, физический смысл которых и соответствующие выражения приведены ниже, в разд. 2 (см. формулы (2.11)).
Уравнение (1.2) неоднократно изучалось и часто называется уравнением Кавахары, который рассматривал нелинейные волновые процессы, описываемые этим уравнением. В частности, были численно проанализированы стационарные решения уравнения (1.2), показано существование волн сжатия и волн разрежения в зависимости от положительности или отрицательности коэффициента при дисперсионном слагаемом [3]. Изучалась устойчивость периодических решений малой амплитуды уравнения (1.2) [4]. Рассмотрена структура гидравлических прыжков, описываемых уравнением (1.2), и их влияние на напряжения в слое льда [5]. Численно и аналитически решены задачи о распаде произвольного разрыва для уравнений (1.1), (1.2) [6]. Построены точные решения уравнения (1.2) [7—10].
Аналогичное уравнение было получено позже при изучении процесса механического разлома льда под действием волны [11].
Для описания волн на поверхности воды при учете поправок второго порядка малости было получено уравнение [12]
ut + ux + 6uux + ß uxxx + 8 uxxxxx = 0
(1.2)
nt + 6nnx + nxxx - n nx + annxxx + ßnxn xxx + Yn xxxxx 0
(1.3)
Если в нем отбросить слагаемые второго порядка малости, то оно переходит в уравнение (1.1).
Уравнение (1.3) было также выведено [13] для описания отклонения уровня жидкости от положения равновесия, и показана связь с уравнением типа Кортевега—де Ври-за, задача Коши для которого может быть решена методом обратной задачи рассеяния.
Цель данной работы — вывести нелинейное эволюционное уравнение с учетом поправок второго порядка малости для описания волн под тонким слоем льда и получить точные решения этого уравнения. Использовались метод возмущений и метод многих масштабов [14—17]. Для построения точных стационарных решений в виде уединенных волн использован метод, представленный ранее [18—20], для периодических решений — метод эллиптической функции Вейерштрасса [7].
2. Вывод нелинейного эволюционного уравнения для описания волн на поверхности воды под слоем льда. Рассмотрим идеальную несжимаемую жидкость с постоянной плотностью р0 под слоем льда в однородном поле силы тяжести. Введем пространственные координаты (х, у) и соответствующие компоненты (и, и) вектора скорости.
В случае безвихревого течения имеем уравнение Лапласа для потенциала скоростей [21]
Дф = 0 (2.1)
Рассмотрим случай плоского горизонтального дна, тогда граничное условие на нем примет вид
у = 0: и = дф/ду = 0 (2.2)
Обычно для решения уравнения Лапласа требуется одно граничное условие на границе области, в которой решается задача [14, 15]. В рассматриваемой задаче верхняя граница жидкости также подлежит определению, поэтому требуется два граничных условия.
Первое из них определяется тем, что компонента скорости жидкости, нормальная к верхней поверхности, должна совпадать с нормальной компонентой скорости самой поверхности. Зададим верхнюю границу соотношением у = к0 + п (х, г) (Ь — уровень невозмущенной поверхности), тогда это условие примет вид [14, 15]
Пг +Ф хП х =Ф у (2.3)
Второе граничное условие находится из интеграла Коши—Лагранжа для жидкости в поле тяжести
фг + Яу + Р = ¥(?) + ЯЬ + р0 (2.4)
2 р0 р0
где у (г) — произвольная функция, из которой для удобства выделены величины Ь0 и р0 (атмосферное давление), она может быть положена равной нулю [15].
На поверхности жидкости находится слой льда толщины Ьц, который будем считать тонкой упругой пластиной. Тогда его колебания описываются уравнением [2, 22, 23]
еь
-1-Пхххх - ххПхх = р - РЛП« (2.5)
12(1 -v2)
где п — отклонение средней плоскости пластины от положения равновесия, P — давление на пластину, E — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона, р(- — плотность льда. Предполагаем, что слой льда может испытывать напряжение вдоль оси x, характеризуемое компонентой тензора напряжений a xx = const. Тогда условие (2.4) на поверхности при учете уравнения (2.5) можно записать в виде
12 2
фг + 2 (фх + фу) + + Мцхххх - КПхх + ¿Пгг = 0
м = ■
БН?
12(1 -V 2)ро
ь = р-н1, к = Н^
ро ро
(2.6)
Соответствующее дисперсионное соотношение [2] дает зависимость для фазовой скорости волны с точностью до членов порядка k4 в виде
с = -ЛН0
(
( /2
Но - ЬНо + К 6 2 2g
\
к2 +
+
19Н04 + ьНз - ькНо зь2Но2 - кНо + М _ К2^
ч360 + 4 4g + 8 ^ + 2g 8g 2у
(2.7)
В безразмерных переменных
, , , . . / . g/a .
х = /х , у = Но у , п = аП , г = — г , ф = 2— ф
Со Со
(2.8)
где / и а — характерные длина и амплитуда волны, со = VgНо — фазовая скорость волны в нулевом приближении, система (2.1)—(2.3), (2.6) принимает вид (штрихи опущены)
Цфхх + Фуу = о, фу = о, у = о
(2.9)
фг +^фХ +П + УПхххх-$Чхх +8п« = о
2 2ц
пг +£фхПх -1 фу = о, у = 1+ 8п Она содержит пять малых параметров
(2.10)
а .. Н2 л/ _ М п _ К 5 _ ЬНо
о М а К
Но / g/ g/
/2
(2.11)
характерные значения которых при E = 3 ■ 109 Н/м2, стхх = 104—105 Н/м2, = 3 м и раз ных значениях Но, / и а представлены ниже
ho, м 10 10 50
^ м 100 500 500
a, м 0.1 0.5 0.5
е ■ 102 1 5 1
ц ■ 102 1 0.04 1
у ■ 104 80 0.1 0.1
р ■ 104 3-30 0.1-1 0.1-
5 ■ 104 30 1 6
В зависимости от значений параметров а , Но, Н , / возможны различные соотношения между малыми параметрами (2.11). При выводе уравнения полагаем, что все они имеют один порядок (е ~ ц ~ у ~ Р ~ 8). Все вычисления проводим с точностью до членов второго порядка малости (~е2).
Ищем решение уравнения Лапласа (первое уравнение (2.9)) в виде
œ
ф = У yfn (л t )
п = 0
Используя соотношения (2.9), получим у (2n/ И д^п
п = 0
Подставляя это выражение в соотношения (2.10), дифференцируя первое из уравнений по x и используя обозначение w = f0x, получим систему уравнений
Wt + n x + £wwx -1 V-wxxt + Yn x,5 - Pnxxx + ànttx +
Г l2 1 1 12 (2.12) + ЕЦ wxt)x - 2 wwxxx + 1 wxwxxJ + 24 ^2wx,4,t = 0
11 1 2
nt + wx + e(nw)x --Vwxxx wxx)x + — Ц wx,5 = 0 (2.13)
6 2 120
С точностью до слагаемых нулевого порядка малости система (2.12), (2.13) переходит в систему уравнений, эквивалентную паре волновых уравнений
П« = ^ wtt = wxx
Рассмотрим волны, движущиеся вправо, тогда имеем
w = n (2.14)
Из уравнений (2.12), (2.13) с точностью до членов первого порядка малости получим выражения для wt и nt, учитывая которые представим уравнение (2.12) в виде
wt + Пx + Swwx + 2 ЦПxxx + Ynx,5 - Pnxxx + 8nxxx +
+ £Ц ((lin xx )x + 2wxwxx ) + S8 (2(wwx )xx + (nn x )xx ) + (2.15)
+ 1 MYnx,? -1 MPnx.s + 5^Snx.s + Y8nx,7 -P8nx,s + ;5M21x,5 + 82nx,s = 0 2 2 6 24
Принимая во внимание соотношение (2.14), решение системы уравнений (2.13), (2.15) будем искать в виде
w = n + eA1 + цЛ2 + yA3 + PA4 + 5A5 + e^A12 + eyA13 + ePA14 + e5A15 + + ^A23 + цр A24 + ^A25 + yp A34 + y5A35 + p5A45 + (2.16)
, 2 .11 2 .22 2 .33 „2 .44 s2 .55
+ e A + ц A + y A +p A + о A
Значения Ai зависят от функции n и всех ее частных производных. Подставляя выражение (2.16) в систему (2.13), (2.15), получим систему уравнений (назовем ее системой A),
А а2 .3 .4 .5
из условия совместности которой и находятся величины A , A , A , A , A . Для A1 имеем уравнение
A/ +nnx = A1 + 2nn x (2.17)
Поскольку A — функция величины п и ее производных, выполнены следующие соотношения:
X, + АзП ,, + А4 П XX, + А5 П X,, + ••• Ах = А1Г1 х + А2П XX + А3П ,х + А4П XXX + А5 п х,х + •••
Используя эти соотношения и условие п, = + 0(е, ц, у, в, 8), получим
А, + Ах = 0(е,ц,у,р,5) (2.18) Тогда уравнение (2.17) примет вид 2А1 + пп X + 0(е,ц,у, Р,5) = 0
и с точностью до 0(1) имеем
1 1 2
А = --п 2 (2.19) Аналогичный образом получим
А2 = ^ xx, А3 = % xxxx, А4 = -А5 = --п xx (2.20)
3 IЛЛ ' 2 1лллл' 2 1ЛЛ ^ '
Используя выражения (2.19), (2.20), систему А преобразуем и, учитывая условие (2.18), из условия совместности преобразованной системы находим
12 = — 2 + 1 13 1 13 17 2
А — п X — п XX , 16 2 А = - ■^пп X, 4 - 8 п X XXX 1- б- п XX
14 1 7 2 15 5 17 2
А = 4"п п XX + 1бп X , А = ^п п XX + 1бп 2
А23 = 2 А34 = 2 А35 1 = 6^, А24 = 1 25 - - А = 2 45 - А = - 1 X, 4
33 2 3
11 1 2 22 4 .44 4 55 = 1 33 1
А = -п п x, А = — А 5 = —А 15 = 10п - 4, А33 = ^ X,
Переходя к новым переменным
X' = ■ X - ,, , = ,
получим нелинейное эволюционное уравнение девятого порядка для описания возмущения уровня жидкости при распространении длинноволновых возмущений на поверхности мелкой воды под слоем льда (штрихи опущены)
3 . 3 2 2 ^ „ (23 ^ 5 ~ 31 Л
п , + 28пп X + Ап XXX - 8 8 п п X + Вп п XXX + е^2-4И + - в + "88" п xn XX +
п (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.