ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 4, 2013
УДК 531.36
© 2013 г. А. М. Русинова
О ДИНАМИКЕ ОДНОРОДНОЙ ШАЙБЫ НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ С ТРЕНИЕМ
Обсуждается задача о движении однородного кругового цилиндра по неподвижной наклонной шероховатой плоскости. Предполагается, что цилиндр опирается о плоскость своим основанием и совершает безотрывное движение. Силы и момент трения вычисляются в рамках динамически совместной модели, предложенной А.П. Ивановым, для которой распределение давления по пятну контакта неравномерно. Дан качественный анализ динамики цилиндра в случае, когда тангенс угла наклона плоскости меньше коэффициента трения Кулона.
Рассматриваемая задача обобщает задачу о движении цилиндра по горизонтальной плоскости [1, 2] и задачу о движении диска (цилиндра нулевой высоты) по наклонной плоскости [3].
1. Постановка задачи. Описание модели. Рассмотрим движение однородного кругового цилиндра массы т с радиусом основания а и высотой 2Н по неподвижной наклонной плоскости с трением. Цилиндр опирается о плоскость своим основанием и совершает безотрывное движение, u — скорость центра масс цилиндра, а ш — угловая скорость цилиндра. Применяя основные теоремы механики, выпишем уравнения движения цилиндра на наклонной плоскости
т и = т g + N + Г, та2 со / 2 = M + MN (1.1)
Здесь g — ускорение свободного падения, N — нормальная реакция наклонной плоскости, F — результирующая сила трения, действующая на цилиндр, М и Мж — моменты сил трения и нормальных реакций, вычисленные относительно центра масс цилиндра. Так как цилиндр совершает плоскопараллельное движение, скорость u центра масс цилиндра параллельна наклонной плоскости, а угловая скорость ш перпендикулярна этой плоскости.
Введем правый ортонормированный репер СЬ^^, такой, что С — центр основания цилиндра, орт e1 направлен вдоль скорости u = ж1 (и > 0) точки С, орт e2 ортогонален скорости u и, как и орт e1, лежит в наклонной плоскости, а орт e3 направлен по нормали к плоскости движения. Тогда ш =
Положение произвольной точки А основания цилиндра определяется углом р е [0, 2п) между векторами e1 и СА и расстоянием г = СА.
Силы N и F, а также моменты М и МN рассчитываются по формулам
N = е е ЦП (Л)йБ, Г = - ^кп(Л) йБ
Б Б
М = -(Л) х кп(Л)йБ, Мж = ЦП(Л)[г(Л) х ее]йБ
Б
Б
S — основание цилиндра, п(А) — плотность нормального давления в точке А, k > 0 — коэффициент трения скольжения, и(А) — скорость точки А, которая может быть вычислена по формуле Эйлера
и (A) = u + [ w х CA ] = ( u - ю r sin р) e1 + юг cos pe2
Для определения плотности нормального давления n(A) воспользуемся динамически совместной моделью контактных напряжений [1]. Будем считать, что
n (A) = ^о + cos p + X2r sin p
причем коэффициенты А,0, Х2 определяются в каждый момент времени из соотношений, обеспечивающих безотрывность движения цилиндра:
(mg + N + F, e3) = 0, (M + MN, e¡) = 0, i = 1, 2
Было показано [1], что X0 = (na2)-1mgcosa, а коэффициенты X2 находятся как решение системы двух линейных уравнений
a11^1 + ai2 ^2 = a10 ^0, a21 + a22^2 = a20^0 (1.2)
где
a 2n 2 a 2n
= -kHY íD^OM)<*¿r, a22 = kHf J(
Г r( u - rsin P )-sin Pdedr D(r, p; u)
0 0 0 0
4 a 2n
a12 = -an = , a10 = 0, a%) = -kH\r Г u- ^ ^dpdr 4 J J D (r, R; u)
00
D(r, p; u) = Ju2 - 2 ursin p
2u + r , u = — ю
Система (1.2) имеет единственное решение
л а 20 Х л а 11 а^п^л А п
Х = - 12 А20 0 , Х = 11 А20 0 ; А = апа22 - а12а21 > 0
Как было указано [1], предполагается, что выполнено неравенство п^) > 0, равносильное условию
5 = 4кН/а е [ 0, 1 ]
Результирующая сила трения, действующая на цилиндр, и главный момент внешних сил, вычисленный относительно центра цилиндра, определяются по формулам
Г = - Г1е1 - е2, М = -Ме3 ^ = пка2Х/, I = 1, 2, М = пка3Х/3
1 2п 1 2п ~ 2
/1 = 1 Г, Г(1 + ^sinв) , /2 = 1 IV Г¿РА
п! 3 В(,, р; и) п! 1 В(,, р; и)
0 0 0 0
a
11
1 2
п
'' = П F í( 1 + ^S™ P) ÚP*
0 0
r п. л a k ~ u
s = -, — = a ю, ki = —, u = —
a k0 —
2. Уравнения движения цилиндра. Пусть у — угол между линией наибольшего ската наклонной плоскости и вектором e:. Учитывая, что репер Ce1e2e3 совершает плоскопараллельное движение, заключаем, что его угловая скорость равна у e3. Значит, Ú = = U е1 + u у e2. Выпишем уравнения (1.1) в проекциях на подвижные оси репера Ce1e2e3
mU = mgsin a cos у - F1, mu\jz = - mg sin a sin у - F2, ma— / 2 = -M Без уменьшения общности выберем единицы измерения массы, длины и времени так, что
m = 1, a = 1, gsin a = 1 Тогда уравнения движения цилиндра примут вид
U = cos у - к/1, uу = - sin у - к/2, — = -2к/3; к = кctg a (2.1)
Заметим, что множество Q = 0 инвариантно для рассматриваемой системы уравнений, поэтому знак угловой скорости цилиндра не меняется в процессе движения. Далее будем считать, что Q > 0.
3. Динамика цилиндра при к > 1. Введем обозначения
£ 2п
I% = 1 í' í (1 + k1S cos в + ks sin в)D(s, в; u)dpds (3.1)
00
1 2п
A(u, 5) = ís í(1 + kssinв)(D(s, в; ü) - ü)dpds (3.2)
00
Так как k2 = k2 (u , 8), то функция (3.2) является функцией переменных u и 8.
Вычислим производную от кинетической энергии цилиндра Т = (u2 + Q2/2)/2 по времени в силу системы (2.1):
T = u cos у - кI1
и представим ее в виде
T = u( cos у - 1) + (u -11) + (1 - к) I1 (3.3)
Первое слагаемое в правой части соотношения (3.3) неположительно. Второе слагаемое можно представить в виде
u -11 = -—A(u, 5) я
Рассмотрим интеграл (3.2). Производная функции (3.2) по 8 имеет вид
~ ~ _ _ 1 2п
А = ^2B(ü); ^2 = 28flllfl20 , B(ü) = 17 I"D(s, ß; ü)sinß(dß)ds * 8 d 8 ^ ; d 8 ( П 2 + 8 5 22 )2' ^ 0 0
~att = -a- > 0, i = 1, 2, ¿20 = -—2 > 0
kha kha
Она неположительна при всех допустимых значениях 8, поскольку 2 > 0, B( ü) < 0 .
58
Численный анализ показывает, что A( ü , 1) > 0. Следовательно, функция (3.2) неотрицательна при всех 8 е [0, 1]. Так как в процессе движения цилиндра Q > 0, второе слагаемое в правой части соотношения (3.3) неположительно.
Пусть коэффициент трения больше тангенса угла наклона плоскости. Из соотношения (3.3) следует, что T< (к — 1)I1 < (к — 1)I1/2 .
При 0 < s < 1/2 выполняется неравенство 1 + —1s cos ß + —2s sin ß > 1/2 , поэтому T<( 1 - к)/(211/2) (3.4)
Учитывая, что
D(s, ß; ü) > (1 - Isinß|)1/2(U + s2)1/2 > s(1 - Isinß|)1/2(ü2 + s2)1/2 из неравенства (3.4) имеем
dJlT/ dt < -p, p = (72 - 1 )(к - 1) / (6 я)
Таким образом, 0 < 72T < J2T0 — pt, т.е. при к > 1 цилиндр останавливается за конечное время
t* < (ü2 + q0 / 2 )1/2/p < + «
Покажем, что (при Q0 Ф 0) скольжение и верчение цилиндра прекращаются в один и тот же момент времени t*. Действительно, если существует момент времени tu < t*, такой, что u(t) = 0, Q(t) Ф 0 при t е [tu, t*), то на этом промежутке времени не выполняются первые два уравнения системы (2.1). Если же существует момент времени ta < t*, такой, что Q(t) = 0, u(t) Ф 0 при t е [tn, t*), то из последнего уравнения системы (2.1) следует, что Q(t) = 0 при всех t, т.е. и при t = 0, что противоречит условию Q0 Ф 0.
4. Предельное движение цилиндра. Выясним характер предельного при t ^ t* — 0 движения цилиндра. Для этого исследуем вопрос о существовании конечных пределов ü* = limü (t) и = limy(t) при t ^ t* — 0, полагая, без уменьшения общности, что Q0 > 0 (при этом Q(t) > 0 при всех t е [0, t*), случай Q0 < 0 рассматривается аналогично).
Перейдем к переменным ü , т = ln(Q0/Q). Уравнения движения цилиндра (2.1) примут вид
Фиг. 1
0
du = cos у - к f ( U ) - 2 ц/3 ( U ) ) dy = - sin у - к/ ( U ) (4 1)
dT 2к/3 (u) ' d t 2k u/3 (u)
Положения равновесия (u* , у*) системы могут быть найдены как решения системы уравнений
cos у* = g( u *), sin у* = -к/2 (u *); g( u *) = k(/i( u *) - 2u */ (u *)) (4.2)
Она имеет решение тогда и только тогда, когда g2(u*) + /2(u*) = к 2 .
2
Качественный вид графика функции g2( u) + /2 (u) при фиксированном значении 8
приведен на фиг. 1. Значение функции стремится к (1 + (8/2)2)/2 при u ^ +<». Из графика видно, что в зависимости от значения к (при фиксированном значении 8), система (4.1) может иметь одно, два или три положения равновесия.
Для исследования устойчивости положения равновесия рассмотрим систему первого приближения
du g'(u*) ~ Л sinУ* , Л
— =--~— (u - u*)---— (у - у*)
dT 2/3 ( u *) 2к/3 ( u *)
d у f(u *) ~ Л cos у* , Л
— = —---— (u - и*)----*— (у - у*)
dT 2 u */3( u*) 2ku*/3 (u*)
Характеристический многочлен имеет вид
х(а.) = х2 + , 1 -(g(u*) + u*g'(u*))a. + _ 1 _ (g2(u*) + /2(u*))' 2u*/3(u*) 8u */ 2 ( u *)
В зависимости от значений параметров 1/к и 8 меняется количество положений равновесия системы и их характер (см. фиг. 2). В области I нет положений равновесия,
Фиг. 2
в области II — одно асимптотически устойчивое, в области III к этому асимптотически устойчивому равновесию добавляются два неустойчивых, в области IV — два асимптотически устойчивых и одно неустойчивое, в области V — одно асимптотически устойчивое, в области VI — одно неустойчивое. На границах между областями III и IV, а также V и VI характеристический многочлен %(А,) имеет пару чисто мнимых корней, все остальные границы соответствуют случаю, когда один из корней многочлена %(А,) равен нулю.
Надо отметить, что в случае одного нулевого корня характеристического многочлена новые положения равновесия не ответвляются от уже существующего равновесия, а появляются в некоторой другой точке (бифуркация рождения). Это проиллюстрировано на бифуркационной диаграмме при фиксированном значении 8 = 0.5 (фиг. 3).
В случае, когда 1/к и 8 лежат в области II, в исходных переменных u, О, у существует область начальных условий
Б = {(и, О, у): и/О е (й2), у е (уь у2)}
такая, что при ^^ О0, у0) е D имеем
и (?) / О( ^ ^ и *, у( ?) ^ у * при ? ^ t* - 0
Это обстоятельство существенно отличает задачу о движении цилиндра по наклонной плоскости от аналогичной задачи в случае горизонтальной плоскости [1, 2], для которой угол у(?) ^ —да при t ^ t* — 0 для любых начальных условий u0 Ф 0, О0 Ф 0.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (10-01-00292), а также при поддержке Министерства образования и науки Российско
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.