ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 5, 2004
УДК 531.36
© 2004 г. Ю. П. Бычков О КАТАНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО ДВИЖУЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ
При помощи методов, изложенных ранее [1-3], рассматривается в общей постановке задача о движении материальной системы, состоящей из несущего твердого тела, ограниченного поверхностью и катящегося по другой движущейся поверхности, и совокупности носимых материальных точек, положение которых относительно этого тела может быть задано конечным числом обобщенных координат.
1. Кинематические свойства движения. Изучение рассматриваемой материальной системы начнем с описания обозначений и рассмотрения кинематических свойств. Введем системы прямоугольных координат Охуг 13 - единичные векторы осей),
Осхсусгс (, ¡2, - единичные векторы осей), неизменно связанные соответственно с несущим твердым телом и с поверхностью-основанием (все системы координат -левые). Это позволяет определять положение несущего тела относительно поверхности-основания 8с координатами х0, у0, г0 точки О в осях Осхсусгс и углами Эйлера
ф, у, 0 (чистое вращение, прецессия, нутация) между введенными осями, а положение системы носимых материальных точек М 1 относительно несущего тела (относительно осей Охуг) - некоторыми обобщенными координатами а1, ..., а". Проекции вектора скорости У0 точки О и вектора угловой скорости несущего тела ю на оси Охуг обозначим через к, I, т и р, q, г. Условимся, что нижний индекс радиус-вектора, имеющего начало в точке Оа, Ос, О, Сг, и его проекций на оси Оахауага, Осхсусгс, Охуг, С1хгуггг соответственно - символ конца радиус-вектора, а верхний - символ его начала Оа, Ос, О, Сг (символ системы координат Оахауага, Осхсусгс, Охуг, С1хгуггГ).
Положим еще, что гс, г0 - радиусы-векторы, фиксирующие положение точек М,
О в осях Осхсусгс, а г, гС - радиусы-векторы, фиксирующие положение точек М{С (центр инерции системы) в осях Охуг; отсюда получаем
с с , с с сч .1 н,
г ; = Г0(хоу0г0) + г ;(а , ...,а )
Теперь предположим1, что поверхность-основание 8с движется, причем ее движение (движение неизменно связанной с ней системы координат Осхсусгс) по отноше-
а а а а а а
нию к неподвижной системе координат Оху г (¡1, ¡2, ¡з - ортонормированные век. а ,а а
торы осей) известно, т.е. заданы как функции времени радиус-вектор гО = 11 хО +
1 Более полное изложение дано в препринтах автора: Бычков Ю.П. О катании твердого тела по движущейся поверхности. Препринт. М.: РАН. 1995; Бычков Ю.П. К задаче о катании твердого тела по движущейся поверхности. Препринт. М.: Институт механики МГУ. 1998; Бычков Ю.П. О катании шара по движущейся плоскости. Препринт. М.: Изд-во МГУ, 2001.
+ ¡2у0 + цг0 точки 0С с началом в точке 0а и параметры (обобщенные координаты), определяющие ориентацию осей 0схсусг относительно осей 0ахауага (например, углы Эйлера фС, уС, 0С).
Далее, вводя для точек поверхности ограничивающей несущее тело, радиус-вектор р с началом в точке 0 и гауссовы координаты д1, д2, будем задавать ее уравнение в виде
р = р (д1, д2) (р = х 11 + у 12 + г ¡в),
а коэффициенты первых двух квадратичных форм обозначать ап, а22, Ъп, Ь22 (для простоты полагаем, что координатные линии поверхности являются линиями кривизны). В точке касания М к поверхности 5 присоединим подвижный репер Мд1д2и с единичными векторами, направленными по касательным к координатным линиям и нормали
1 1 1 , , ( д
е1 = -Т= р1. е2 = ~~г— Ро е3 = ,-(р1 Х р2) I Ра = :—ар
л/а11 л/а22 л/а11а22 4 д С
Проекции векторов гс, р на оси этого репера обозначим
1 дР 1 дР 2 2 2 2
^оПс^сД = -¡= Р-"т, П = "Т= Р-±2, е(Р = х + у + г )
а
11
дд1 дд2
Введем еще косинусы углов между осями 0ахауага и 0СхСуСгС, между осями 0СхСуСгС
12 12 и МдСдС иС, а также между осями Мд д2и и 0хуг
,с ,1 ,а 1 ,а К а С ,с т * С п.С
¡1 = 1а ¡1 + та ¡2 + Па13' е1 = аС11 + аС12 + аС13
.С 72,а 2,а 2.а С о .С п» .С пи.С
¡2 = 1а ¡1 + та ¡2 + Па13. е2 = Рс ¡1 + Рс ¡2 + Рс ¡3
.с ,3.а 3.а 3.а с .с т .с м.с
¡3 = 1а ¡1 + та ¡2 + Uа13, е3 = Ус ¡1 + У Л + У с ¡3
(1.1)
= ае1 + в е2 + у е3, ¡2 = а' е1 + в' е2 + у 'е3, ¡3 = а ''е1 + в'' е2 + у ''е3
Все сказанное здесь для поверхности 5, ограничивающей несущее тело, имеет место и для поверхности-основания 5С (соответствующие величины обозначаются теми же буквами, но и с индексом). Далее, следуя Воронцу, будем определять положение
несущего тела обобщенными координатами д1, д2, д^, д2, Ф (первые четыре величины - гауссовы координаты точки М, Ф - угол между осями д1 и д2 в той же точке), а положение всей системы, следовательно, - обобщенными координатами д1, д2, д^,
д2с, Ф, а1, ..., аи.
Проекции КС, 1С, тС скорости v0 точки 0С на оси 0СхСуСгС будут такими:
7 ,с ,1 .а 1 .а 1 .а ,Л ,-.4
кс = ¡1 • vn = 1ах0„ + таУ0г + (1.2)
1С, тС получаем из соотношений (1.2) заменой верхнего индекса 1 на 2, 3, а проекции рС, дС, гС вектора угловой скорости шС поверхности-основания на оси 0СхСуСгС даются известными формулами ([3], формулы (2.9.3), где надо заменить ф, у, 0 на фС, уС, 0С).
Для проекций скорости j = vO + wc х pc точки поверхности основания Sc, совпада-
c c c c c c
ющей в данный момент с точкой касания M, на оси ij, i2, i3 и , e2, e3 соответственно получаем
f 1 = kc + qczc - rcf . b1 = e1 • j = acf 1 + acf 2 + <f 3
f2 = lc + ^ - Pczc. b2 = e2 • j = Pcf 1 + Pcf2 + Pcf 3 (L3)
f з = + pcyc - q^. b3 = e3 • j = Ycf 1 + Ycf 2 + Ycf 3
1 2 1 причемf1,f2,f3, b1; b2, b3 - функции i, qc, qc. И, наконец, получаем как функции i, qc,
2 1 2 qc, — проекции j1, j2, j3 вектора j на оси подвижного репера Mq q2n (jk войдут в уравнения движения)
j1 = ± b1sin — + b2cos —, j2 = - b1cos — + b2sin —, j3 = ±b3 Здесь использованы формулы
e1 = ± e1sin — + e2cos—, e2 = - e1cos — + e2sin—, e3 = ±e3 (1.4)
Выберем в качестве символа производной вектора по времени в осях Ocxcyczc кох c
сой крест над вектором: p (аналогично поступал А.И. Лурье [3], вводя звездочку). Тогда абсолютная скорость точки контакта (см. [3], с. 81, 88) записывается в виде
(1.5)
аЬБ с Хс Хс с .а с с .1 с с .2
уМ = уОс + «с Х Р + Р > Р = Ра'1с = е1л/а11<1с + е2л/а22'с
аЬя * * .а I- . 1 I- .2
уМ = '0 + « Х Р + Р» Р = Ра' = е1л/а11# + е24а22<1 Это дает
с Х с *
уо + «с х р + р = у0 + « х р + р
Введем вектор и в плоскости осей е1, е2
Х с * с —
Р - Р = У0 + « Х Р - УО - « Х Р = и (1.6)
Отсюда (Ф = и +
у0 = [и + (уо + «с х рс)] - « х р = Ф - « х р (1.7)
Проскальзывания в точке M нет (у0 + « х р - уО - «с х рс = 0), отсюда получаем уравнения неголономной связи (вектор и = рс - * = 0 проектируем на оси е1, е2)
U1 = ± л/ОЦ Ф + Ф - ТОЙ'?1 = 0
(1.8)
и = + л/аЦ1 дссо8-д + л/а22<7с81пФ - 4а224 =0
Угловую скорость « несущего твердого тела и вектор бесконечно малого поворота 0 этого тела можно представить так ([1], с. 804):
« = «1 + «2 + «3 + «с, 0 = 01 + 02 + 03 + 0с (1.9)
У вектора wc проекции pc, qc, rc (как и фс, yc, 0c) - заданные функции времени, поэтому при фиксированном моменте времени вектор бесконечно малого поворота 0c = 0.
Отсюда на основании формул (1.7), (1.8) работы [1] получаем выражения проекций угловой скорости несущего тела на оси e¡ подвижного репера (здесь и далее
верхний (нижний) знак отвечает случаю e3 = e3 (e3 = - e3))
3 ^22 2 Ь 22 2 Ь11 i
U = О = —— q ± —= sin Ф--— qc cos Ф±
V«22 JaC22 Jan ± (Pc a + qc ac + rc«C)sin Ф + (Pc Pc + qcPc + rc PC)cos Ф
и4 = т
b11 .1 b11 .1 . „ b22 .2 ü гq —— qcsinФ- —= qccosФ +
11
22
(1.10)
+(PcPc + qc Pc + rc PC) sinФ+(Pcac + qX + rc ac) cosФ
и = л =
^Эа
11 1
Э а
22 2
i-1 2" 1--i" 1 + i-
^л/а11 a22 dq дq J 2Jac11a
- Ф ±( Pc Y c + 1cY c + rc Y с)
cc 22
^11.1 d 022.2 -г г qc
dqc dqc ,
Аналогично получаются проекции вектора 0 = 5V3 e1 + 5V4 e2 + 5V5
5 V3
b22 r 2 . b22 о 2 . b
5q2 ± 5q2sinФ —-i^r 5q^osФ
22
22
5 V4 = --"-г 5 q—^ 5q,1sin Ф + —1= 5 qíJcos Ф
bh
11
5 V3
22
1 /Эan 5 1 da22 5 2^ 1
-— I—25q 75q - /—
Va11 a22q dq J 2 J a11 a22
^эa1, 1 da2o 2
5 1c -i-—1- 51c
Э
Ъ11
- 5Ф
Используя уравнения связи (1.8), выражения (1.10) можно преобразовать к виду
о = -д^ТоЦд1-+ а' т = А1^7айс* + + 5 и = - ф+с2 +с
(1.11)
где
А = ±oc sin Ф + tc cos Ф, oc = pc ac + qc a'c + rcaC 5 = - occosФ + tcsinФ, tc = ...
С = , n.c = Pc Y c + 1c Y c + rc Y c
3
c
Ьц Ьц 2 Ьт2 2 A11 = — + —sin Ф- —cos Ф,
11 a1
A22 =
b22 - b22 2 - b11 2 -- -sin Ф - — cos Ф
11 a
22
22 a
22
11
1 Э 1пап ^пдд 1паС11 ± С08дд 1паС22 2А1 = ~Т=—! г=—Г ±
а22 д<
с д ас
2А-,
1 д 1пй22 - втдд 1пас22 С08дд 1па^
А12 = А21 = -
сс
сс V а22 а11/
д С08 д
Укажем еще такие формулы:
р = оа + тв + ну, < = аа' + тв' + н уг = аа'' + тв'' + ну''
Определим далее из соотношений (1.8), (1.10) выражения д1, <?2, а?1, <?2, д через квазискорости (члены с и1, и2 не выписываем)
1 1 2 1 < = -т=- (0А12 + ТА22- АА12- ВА22), <? = -—- ( оА 11 + ТА21- АА11- ВА21) 7а11 Л >22 Л
1 1 2 1
<?с = -Гс- (0с12 + тс22-Ас12-Вс22) > <?с = —7==- (0с1 1 + Тс21 - Ас1 1 - Вс21) (1.12)
^ас11 й
а22 й
д = - " + V3(А12А1 + А11А2) - (Т-дВ(А22А1 + А21А2) + С
Здесь
й = с11с22- с12 с21 = К = А11А22 - А12
2
с12 =
22
_11 - Ь22
11 а
22
22 - 22
Г - ~
22 а22/
С08 д, с11 =
д, с21
с
а
д
(1.13)
11 а11
__п___п
а22 ас11
С08 д
Наконец, получаем, согласно известным формулам (см. [3], с. 160) и формуле (1.6), выражение кинетической энергии Т рассматриваемой системы, выведенное без учета уравнений связи,
2Т = Mv20 + СMу0 •(и х гС) + и • 0° • и + 2(у0 • Qг + и • кО) + £
1 = 1
22
m ф - 2 mф • (и х р) + и • 0" • и + m ри - m (р • и) +
+ 2mФ • (и х гС) - 2MгС • [ри - и(и • р)] +
+ 2Ф • Qr + 2« •(Qr х р + К°) + £ = М[ и + 2и • j + ]] -
; = 1
- 2М[и • (« х р) + j • (« х р)] + « • 0° • « + Мр2ю2 - М(р • «)2 + + 2М[и • (« х гс) + j • (« х гс)] - 2Мгс • [р«2 - «(« • р)] +
N
+ 2[и • Qr + j • Qr] + 2« • (Qr х р + К°) + £ т;и2(у; = *) (1.14)
I = 1
и это же выражение 0', выведенное с учетом уравнений связи при и = 0.
Вектор с проекциями д0'/ди3, д0'/ди4, Э0'/ЭЦ5, на оси Мс^с^п обозначим через т'. Выражения для кинетической энергии системы Т = Г + Г", 0' = 0 + 0'' и вектор т' = = т + т'' распадаются на два члена, где
2Г'' = 2j(Ми + Qr)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.