ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 2, 2013
УДК 531.36
© 2013 г. А. А. Буров О КОНСЕРВАТИВНЫХ МЕТОДАХ УПРАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЕМ ГИРОСТАТА
Обсуждается способ формирования управления вращением гиростата, представляющим собой твердое тело, внутри которого расположены три ротора, вращающихся вокруг жестко связанных с телом некомпланарных осей. Состояние системы определяется положением и угловой скоростью вращения тела, а также угловыми скоростями роторов. Управление осуществляется моментами сил, приложенных к роторам. Идея предлагаемого способа управления состоит в выборе управляющих моментов таким образом, что угловые скорости вращения роторов оказываются линейными функциями от компонент вектора угловой скорости тела. Задаваемая таким образом линейная зависимость определяет (3 х 3) матрицу — "управляемый тензор инерции". Эта матрица, определяемая параметрами выбранного управления, не обязана обладать свойствами тензора инерции. В результате такого выбора управлений уравнения, определяющие изменение угловой скорости тела, записываются в виде, аналогичном динамическим уравнениям Эйлера. Для получаемой системы уравнений ставятся и решаются задачи управления угловым движением спутника на круговой орбите. Предлагаемый метод построения управляющих воздействий позволяет сохранить как лагранжеву структуру уравнений движения, так и основные симметрии задачи. Выражения для действующих на роторы моментов сил, реализующих движение требуемых классов, выписаны в явном виде.
Разные аспекты стабилизации движения твердого тела за счет подвижных масс, в частности, за счет роторов, изучались В.В. Крементуло [1—5] (см. также [6]). Предлагаемое исследование восходит в идейном плане к статье Э. Блоха с соавт. [7], где было показано, как, управляя вектором гиростатического момента роторов, можно стабилизировать вращение твердого тела вокруг средней оси инерции, сохраняя при этом аналог интегралов энергии и квадрата вектора кинетического момента.
1. Гиростат и его свойства. Рассмотрим движение твердого тела с неподвижной точкой О. Пусть ^ — ротор, т.е. динамически симметричное твердое тело, способное свободно вращаться вокруг своей оси симметрии £, закрепленной в корпусе. Центр масс ротора — точка Ок — в силу его динамической симметрии располагается на оси симметрии £. Центральный тензор инерции ротора симметричен — два его собственных значения равны между собой: 1Ш = 12К. Соответствующие им оси инерции перпендикулярны оси динамической симметрии ротора, совпадающей с его третьей центральной осью инерции. Единичные векторы этих осей, образующие правую тройку, обозначим еь е2 и е3 = е. Моменты инерции 1т = 12К принято называть экваториальными, в то время как момент инерции 13К называют осевым.
Кинетическая энергия корпуса представима в виде
Т0 = гоТ I сш/2
(1.1)
где ю — вектор угловой скорости корпуса, IG — тензор инерции корпуса относительно точки O.
Ротор Ш участвует в двух движениях — вращении вместе с корпусом вокруг неподвижной точки O с переносной угловой скоростью ю и собственном вращении вокруг своей оси симметрии £ с относительной угловой скоростью фe, где ф — производная по времени угла поворота ротора относительно корпуса, а единичный вектор e направлен вдоль оси ротора £. Тогда
юд = ю + ф e (1.2)
Проекции вектора Юд на главные центральные оси инерции ротора имеют вид
T T T
юд1 = ю e!, raR2 = ю e2, юдз = ю e + ф (1.3)
С помощью теоремы Кёнига и формулы Эйлера для распределения скоростей в твердом теле кинетическую энергию ротора можно представить как сумму кинетической энергии движения его центра масс и кинетической энергии вращательного движения ротора вокруг центра масс.
Кинетическая энергия движения центра масс ротора имеет вид
TR(Transi) = mr(га X OOR)т (га X OOR) /2 (1.4)
Кинетическая энергия вращательного движения при учете соотношений (1.3) пред-ставима в виде
TR(Rot) = [Iir®2r + I2R®2R + I3r®2r]/2 = [Iir(®2r + + IsR(^Te + Ф )2]/2 = = [/1д(штш - (raTe)2) + 1зд((юТ e)2 + 2ф(ш^) + ф 2)]/2 (1.5)
Тогда полная кинетическая энергия корпуса G и ротора Ш имеет вид
T = raTIra/2 +1 3R(raT e)tp + I3R ф 2/2 (1.6)
Тензор инерции I системы в целом определяется из тождества
raTIю = raTIgю + mR(ю х OOR)T (ю х OOR) + I1R(raTю - (raTe)2) + I3R(raTe)2, Vra
Заметим, что компоненты тензора I постоянны в любом репере, фиксированном в
корпусе, так как векторы OOR и e неизменны в этом репере.
2. Уравнения вращательного движения гиростата. Зафиксируем в корпусе некоторую правую систему координат с началом в неподвижной точке. В проекциях на оси этой системы координат уравнения вращательного движения гиростата представимы в виде
AST = дТ х ю + Q £дТ = дТ + Qr (2.1)
dt дю 5ю dt <Эф др
Здесь Q — векторы момента сил, приложенных к гиростату, QR — величина вращающего момента, действующего на ротор. Так как кинетическая энергия не зависит явно от угла поворота ротора ф, то первое слагаемое в правой части второго уравнения (2.1) равно нулю. В силу соотношения (1.6) уравнения (2.1) представимы в виде
d(Ira + 13rфe) = (Ira + I3Rфe) x ra + Q (2.2)
dt
d (I3r (raT e) + I3r ф ) = Qr (2.3)
dt
Рассматривают разные постановки задачи о вращательном движении гиростата. 3. Классические постановки задачи о движении гиростата.
Свободный гиростат. Пусть ротор гиростата вращается свободно: QR = 0. Тогда координата ф — циклическая, и имеет место первый интеграл
^ = I 3r(&T е + Ф) = Р„ (3.1)
дф
наличие которого позволяет осуществить понижение порядка по Раусу. Для этого из уравнения (3.1) выражают
Ф(ю, Pp) = IwPv - ^Te (3.2)
и выписывают функцию Рауса
T' = [T - фрЦ3 2) = ют1' ю/2 + KT ю + const (3.3)
Приведенный тензор инерции I' определяется из тождества
ют1' ю = ют1ю - I3R (ют e)2, Vra Вектор кинетического момента постоянен и имеет вид K = р^е
Постоянная, не сказывающаяся на виде уравнений движения, записывается как
const =
2
Ptp 213R
Уравнения Рауса при этом принимают вид
d_дГ = дГ х ю + q (3.4)
dt дю дю
Такой гиростат называют свободным гиростатом (apparent gyrostat).
Гиростат с постоянной угловой скоростью вращения ротора. Предположим теперь, что к ротору приложен такой вращающий момент, что угловая скорость вращения ротора Ш относительно корпуса постоянна: ф = ф0. В этом случае уравнения движения имеют вид
d д T" д T" 1 т т
--= -х w + Q, T'' = - w Iw + K w + const
dt dw дw 2
1 2 (3.5)
K = I3R <Po e, const = 2I3R Ф2
и постоянное слагаемое в T" не сказывается на виде уравнений (3.5). Такой гиростат называют гиростатом Кельвина.
Замечание 1. Уравнения (3.4) и (3.5) имеют одну и ту же структуру (см., например, [8]), поэтому во многих случаях, изучая задачу о движении гиростата, специально не оговаривают, является ли ротор свободно вращающимся или его угловая скорость поддерживается постоянной. Между тем, во втором случае определение момента сил, поддерживающего постоянство угловой скорости относительного вращения ротора, требует некоторых усилий и будет обсуждаться в дальнейшем.
4. Иная постановка задачи о движении гиростата. Выше рассматривалась задача о движении гиростата с единственным ротором. Вместе с тем, в корпусе гиростата мо-
жет быть размещено несколько роторов Жi, например n. Пусть ф = (фь ..., фn)T — вектор углов поворотов этих роторов, e1b e3i и e3i = ei — единичные векторы правых троек, связанных с каждым из роторов, mRi — массы роторов, Or — их центры масс, I1R, = I2R. и I3r . Тогда кинетическую энергию системы можно представить в виде
T =1 raT Ira + raT Bip +1 ф T Сф
I: raT Ira = raT IG га + X
mR. (ra x OOr. ) (ra x OOr. ) + I1Ri Ira га -1 ra ei I I + I3RiI ra ei
B: raT Bip = Z13Ri(raT e i )ф i С: ф T Сф = Z Ir Ф2
причем суммирование осуществлено по всем роторам, определяемым переменным индексом i. Здесь I — симметричная квадратная положительно определенная (3 х 3)-матрица, B — прямоугольная (3 х 3)-матрица, C — диагональная положительно определенная (п х п)-матрица.
Оставляя в стороне обсуждение вопроса о сведении этой задачи к задаче о движении гиростата с единственным ротором (см. например, [6]), будем считать, что изучаемый гиростат оснащен тремя роторами, оси которых некомпланарны. Предположим для простоты, что эти оси направлены по главным осям тензора I.
Тогда выражение для кинетической энергии системы представимо в виде
Т = 1 юТ1 ю + юТВф + 1 фТВф, В = Би Бъ Б3), ф = (<р1,ф2,фз)Т (4.1)
Здесь и далее ф ( — угловая скорость вращения '-го ротора вокруг '-й оси. В этом случае уравнения движения можно представить в виде
-(Iю + Вф) = (1ю + Вф) х ю + 0 = (4.2)
Л
Вю + Вф) = , = (01 к, 02К, )Т (4.3)
Систему (4.2), (4.3) можно разрешить относительно старших производных е> и ф. Вычитая из уравнения (4.2) уравнение (4.3), имеем
(I - в)&7 = ('- о *). л
Умножая равенство (4.3) слева на ГБ"1 и вычитая результат из равенства (4.2), имеем
(В - 1)ф = о'- 1В-1о Таким образом,
сС = (I - В)-1 (' - ), ф = (В -1)-1(0' - 1В-10*) (4.4)
Замечание 2. Всюду выше предполагается, что все надлежащие матрицы обратимы. Уравнения в виде (4.4) позволяют делать выводы относительно вращений корпуса гиростата и его роторов при заданных моментах Q, QR. Вместе с тем, эти уравнения
удобны и для решения обратной задачи — определения моментов, которые надо приложить к роторам, чтобы реализовать требуемое движение гиростата. Так, если потребовать постоянства угловых скоростей вращения роторов на произвольных движениях корпуса, то должно выполняться условие ф = 0, и в силу (4.4) моменты сил, вращающие роторы, задаются соотношениями
Ол = В1' = В1-1 [(I© + Бф) X ю + О].
~й $
йг (4.4).
Замечание 3. Совершенно аналогичные рассуждения относительно вращательных движений гиростата остаются в силе и для задачи о поступательно-вращательном движении гиростата. В этом случае в качестве точки O надо взять общий центр масс корпуса G и роторов ,.
5. Лагранжева структура уравнений управляемого движения. Возникает вопрос, можно ли найти действующие на роторы моменты, составляющие вектор Qд, такие, что
I ю + Вф = А ю = ^ дю
т
где А = А — заданная наперед постоянная симметричная матрица. Иными словами, можно ли
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.