ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 5, 2013
УДК 532.5:534.1
© 2013 г. А. А. Гавриков
О МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЭМУЛЬСИИ ДВУХ СЛАБОВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Исследуются малые колебания эмульсии двух слабовязких сжимаемых жидкостей во внешнем звуковом поле, структура смеси считается периодической с достаточно малым размером ячейки. Методом двухмасштабной сходимости выводятся интегро-дифференциальное акустическое уравнение, выражение для средней скорости и доказывается сильная сходимость к нулю в Ь2 по малому параметру разности скоростей и разности градиентов скоростей допредельной и предельной задач (исходной и усредненной). Методом конечных объемов вычисляются в плоском случае элементы динамической "матрицы фильтрации" — ядра свертки акустического уравнения.
Многие проблемы сейсмоакустики, например определение состава смеси жидкостей в скважинах, требуют решения обратной задачи нахождения характеристик (плотности, вязкости, концентрации) фаз по экспериментально полученному звуковому полю, для чего необходимо адекватно сформулировать прямую задачу построения акустического давления по известным параметрам среды. Существует обширная литература, посвященная разным подходам к исследованию данного вопроса [1, 2].
Используемая для рассматриваемой задачи модель, отличающаяся введением малого параметра г в уравнения движения, впервые [3] исследовалось методом двухмасштабных асимптотических разложений. Было выведено усредненное уравнение и показана связь между предельными скоростью и давлением (аналог динамического закона Дарси). В дальнейшем была доказана [4] слабая в Ь2 сходимость скоростей и сильная сходимость давлений. Тем же методом исследовалась рассматриваемая модель при учете капиллярных эффектов [5] и с добавлением фазовых переходов в насыщенной паром жидкости [6]. Однако в перечисленных работах отсутствуют явные вычисления усредненных (эффективных) характеристик среды. Следует также отметить близкие исследования [7—10].
Основной результат данной работы — создание эффективного метода расчета динамического аналога матрицы Дарси (эффективных характеристик неоднородной среды) и доказательство сильной сходимости по малому параметру решений допредельной задачи к решениям усредненной.
1. Постановка задачи. Рассмотрим движение эмульсии в ограниченной области О с гладкой границей дО при внешних акустических воздействиях малой амплитуды (например, колебания смеси нефти и воды около положения равновесия, вызванные сей-смоакустическим возмущением). Капиллярные и тепловые эффекты не учитываются. Характеристики жидкостей в состоянии покоя — динамические вязкости ц /, плотности р I, скорости звука с (I = 1,2) считаются сравнимыми:
ц ~ ц 2 > р1 ~ р 2 > с1 ~ с2
Дисперсная фаза представляет собой периодически расположенные одинаковые включения (капли или слои) неизменной достаточно гладкой формы, см. фиг. 1. Вводятся два пространственных масштаба: размер ячейки периода I (характерная длина на микроуровне, например средний размер капель) и Ь — размер области О (макроуровень, размер полости в грунте, заполненной эмульсией). При этом длина волны внешнего акустического возмущения x считается существенно большей размера ячейки периодичности, но меньшей либо равной величине параметра Ь, так что
Фиг. 1
/А ~ //Ь = Б ^ 1
Обе жидкости считаются баротропными, локальные числа Рейнольдса (отношение инерционных и вязких сил на микроуровне) полагаются величиной порядка единицы:
Яе,0 = р,ю/2/ц, - 1, , = 1,2 (1.1)
Здесь ю — частота внешнего акустического воздействия. На макроуровне последнее
2 2
выражение приводит к соотношению /(р,юЬ ) ~ б ^ б (, = 1,2), что можно интерпретировать как незначительное влияние вязкости в масштабах порядка длины волны на движение эмульсии как целого (это и означает, что жидкости "слабовязкие" [4]), но на микроуровне вязкость существенна, что в результате сказывается на распространении волн во всем объеме, т.е. вязкость необходимо принимать во внимание при переходе к усредненным характеристикам.
Для примера рассмотрим одну жидкость (воду). Возьмем (опуская нижние индексы)
Х = Ь = 1 м, / = 10-5 м, ц = 10-3 Нс/м2, р = 103 кг/м3 скорость звука с = 1500 м/с, частоту возмущений ю = 104 рад/с; получим
е = 10-5, Ке(') = 1, ц/(ргаЬ2) ~ 10-10 ^ е
Если уменьшить влияние вязкости, предположив, что Яе(г) > 1 при / < Ь, т.е.
2 2
ц,/(р,юЬ ) ^ б (, = 1,2), то на локальном уровне получится невязкая задача, дисперсия звука будет отсутствовать. При принятом соотношении параметров проявляются и демпфирующие, и диспергирующие свойства среды [3].
Отметим, что иногда [3—5] при постановке задачи учитываются также вторые коэффициенты вязкости жидкостей п, (, = 1,2) в предположении п, ~ щ. Однако значения вторых вязкостей не входят в усредненные характеристики эмульсии. Это вызвано тем, что последние определяются, как будет показано ниже, решениями вспомогательных локальных периодических задач, в которых (на микроуровне) жидкости оказываются несжимаемыми, а средняя сжимаемость учитывается только на макроуровне в акустическом уравнении. Таким образом, модель нечувствительна к значению объемной вязкости.
В соответствии с предположением (1.1) введем приведенные динамические вязкости ц) [3—6] так, что
~ р,ю/2 = р,юЬ2(/2/Ь2) = р,юЬ2Б2 = 2, , = 1,2 В дальнейшем штрих у приведенных вязкостей опускается, а исходные динамические вязкости обозначаются как б2ц, (, = 1,2).
Для удобства математического исследования будем работать в пространственных размерных переменных х' = (х [Х])/Х (далее штрих опускается). Введем функции
с© = С, р© = р1, б2ц© = е2ц;-, £ е У1, I = 1,2 Здесь ^ = х/е — локальная "быстрая" переменная. Таким образом, скорость звука c, динамическая вязкость е2ц и плотность р определены как У-периодические (У = У и У, см. ниже) разрывные на границах контакта жидкостей функции, принимающие постоянные значения для каждой из жидкостей [4].
Заметим, что результаты можно обобщить на случай непрерывных функций вязкости и скорости звука, а также непрерывной из Н1(У) функции плотности.
В соответствии с предположением о малости амплитуды звукового возмущения эмульсии за исходные уравнения движения жидкостей возьмем линеаризованные вблизи положения равновесия уравнения Навье—Стокса
Яу 2 2 Ц
р — = ^гаё р + е цАу + е — grad ё1у у + Г дг 3
Здесь неизвестные функции — скорость у(х, г; б), равная скорости дисперсионной среды или скорости дисперсной фазы в зависимости от принадлежности последним пространственной переменной х, и давление р(х, г; б), определяемое аналогичным образом, представляют собой малые возмущения скорости и давления относительно состояния покоя. Функция Г(х, г) описывает воздействующее на эмульсию звуковое поле. На межфазной границе скорость и напряжения полагаются непрерывными.
Цели работы — нахождение численного решения вспомогательной (локальной) задачи на ячейке периодичности в плоском случае (последнее позволяет получить эффективные характеристики среды, в данном случае — построить ядро свертки в интегральном члене предельного акустического уравнения) и дать доказательство методом двухмасштабной сходимости свойства сильной сходимости для разности скоростей и разности градиентов скоростей предельной (усредненной) и допредельной задач.
Сформулируем задачу в обобщенной математической постановке в тензорных обозначениях, используя запись в перемещениях, равных в линейном приближении интегралу от скорости
г
и(х, г; б) = | у(х,
о
Пусть ^ — ограниченная область с гладкой границей в [, У = [0,— единичный куб, Уь у — области с гладкой границей в Г, такие, что У п У = 0 и У = У и у. Положим
ОЧ = О П £(У + т)), I = 1,2
(область О(Е, занятая ;-й жидкостью, есть пересечение ячейки периода, сдвинутой по
целочисленной решетке, с исходной областью о). Тогда О = О иО2 (см. фиг. 1). Исходная задача в обобщенной формулировке ставится следующим образом. Найти вектор-функцию
и(х, г;б) = (м1(х, г;б), ..., иЛ(х, г;б)), х = (х1,..., xd) со значениями в Н]0(Ц) = (Н^(П))'1, такую, что
г р (х) д щ (х ?;£) ^(х)йх + Г о у (х, г; б) ^^ йх = Г /(х)мг(х)йх (1.2)
\в дг дх, :
о д о у о
для любой пробной функции №(х) = (^(х), ..., (х)) из Н0(Ц) (здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование) с начальными условиями
и = ^ = 0 при г = О
дг
Тензор напряжений задается тождеством
Оу(х,1;е) = -8ур(х,г;е) + [25к5уи - 3 8и8ку ] еу^^ (1.3)
тензор деформаций
ек1 ^=2
+ д^к
удхк дх1
возмущение давления и перемещение связаны соотношением
р(х, г; г) = — ) Шуи (1.4)
где модуль объемной упругости у© = с 2(Е)р(Е).
Прокомментируем равенство (1.4); считая жидкости баротропными, предположим, что возмущения давления р( х, г; в) и плотности р (х, г; в) связаны соотношением р = с 2р. В рассматриваемом линейном приближении скорость V, возмущение плотности р и плотность жидкости в состоянии покоя р связаны уравнением неразрывности в виде
— + рёг^ = О
дг
Интегрируя его по времени, получаем (р = 0 и и = 0 при г = 0)
р + р Шуи = О
откуда и следует равенство (1.4).
Сформулированной выше обобщенной постановке задачи соответствует краевая задача в классической дифференциальной форме
,д 2ы1 _ да у дг2 дх,
РТ"Т + Л в р = -уё1уи
[и]5. _ 0, [о(и)Ь■ _ 0, и |ап _ 0; (а(и)), _ £ а
У "У
у
и _ ди _ 0 при г _ 0 дг
где 5е — граница раздела жидкостей, заключенных в областях и 02, [Е — скачок функции на границе.
2. Усредненная система. Определим вектор-функции
Vу& г) = (V/& г), ..., V/& г)), 5 = ..., 5й) е У, у = 1,..., й
со значениями в Н1рег(У) (в пространстве периодических с периодом У функций из Н1) как решения вспомогательных задач (локальных) на ячейке периодичности У
р©- цаУ у © г) + у?© г) = 0, ¡5 е У дг
Яу^У1 = о (2.1)
[У^ = 0, [с(Уу)] = 0, Уу |г=о = 5 р©
— граница областей У и у. Компоненты тензора напряжений а заданы в виде су© г) = -8^© г) + 2^к8лек1 (У) Введем матрицу K(г) с элементами
■ = У | ■ г^, I, у = 1,..., d (2.2)
1 1У
Матрица К(г) в данной задаче — аналог матрицы фильтрации в законе Дарси.
Определим далее функцию р0(х, г) как решение задачи (акустического уравнения)
—\ др (х'г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.