О неделимых линиях
Существуют ли неделимые линии (атоцог урацца!), и говоря вообще, существует ли нечто во всем количественном, лишенное частей (ацере^), как утверждают некоторые? Ведь если в нем имеется многочисленное и большое и противоположное им, -немногочисленное и малое, и если то, что имеет едва ли не бесконечные подразделения, не есть немногочисленное, а многочисленное, то очевидно, что немногочисленному и малому будет присуще ограниченное число подразделений. А если число подразделений ограничено, необходимо должна существовать какая-то величина, лишенная частей, так что всему будет присуще нечто, лишенное частей, коль скоро ему присущи немногочисленность и малость.
Далее: если существует идея линии, а идея предшествует тому, что обозначается одним термином, и если части по природе раньше целого, то "сама линия" окажется неделимой, равно как и "сам квадрат", "сам треугольник" и прочие фигуры, и вообще "сама плоскость" и "само тело", ибо иначе получится, что и раньше них существует нечто.
Далее: если существуют элементы тела, а первее элементов ничего нет, части же существуют раньше целого, неделимым окажется и огонь, и вообще каждый из элементов тела, так что не только в умопостигаемом, но и в чувственном должно существовать нечто, лишенное частей.
Далее, по мысли Зенона, необходимо должна существовать некая величина, не имеющая частей, поскольку невозможно в ограниченное время коснуться неограниченного числа частей, касаясь каждой в отдельности, ибо движущемуся необходимо сначала достигнуть половины, а у того, что не лишено частей, всегда будет половина. Если же перемещающееся по линии касается безграничного числа частей в ограниченное время, а более быстрое в равное время проходит еще больше, и если наиболее быстрым является движение мысли, то и мысль коснется безграничного числа частей, каждой по очереди, в ограниченное время. Следовательно, если касание каждой части мыслью есть счет, то окажется возможным в ограниченное время сосчитать безграничное. Но коль скоро это невозможно, то должна существовать некая неделимая линия.
Далее также из утверждений людей, сведущих в математике, следует, как они говорят, что существует некая неделимая линия, коль скоро соизмеримы те линии, которые измеряются одной мерою. Ведь какой бы величины ни были соизмеримые линии, все они измеримы, так как существует некая длина, посредством которой они могут
© Зубова М.В. (публикация), 2008 г.
быть измерены. Она по необходимости является неделимой (a5lalретоv), ибо если бы она была делимой, то и эти части должны были бы иметь какую-то меру, поскольку они соизмеримы с целым. Следовательно, половина какой-нибудь части оказалась бы тогда вдвое большей. Поскольку это невозможно, невозможна была бы и такая мера.
Таким образом, и линии, в которых мера укладывается один раз, и все линии, составленные из этой меры, слагаются из линий, лишенных частей. То же получается и с плоскостями: все, происходящие от рациональных линий, соизмеримы друг с другом, так что мера их лишена частей. А если кто отсечет от нее в качестве меры некую определенную и ограниченную линию, она не будет ни рациональной (рптп), ни иррациональной (оЛоуос), ни какой-либо другой из тех, о которых сейчас речь, - например, "вычетом" (апотоцп) или "двуименной" (¿к 5гю о^цш^). Сами по себе эти линии не будут иметь какую-нибудь природу, и лишь друг в отношении друга будут либо рациональными, либо иррациональными.
Прежде всего: действительно ли необходимо тому, что имеет бесконечные подразделения, не быть малым и немногочисленным? Ведь мы называем "немногочисленным" и место, и величину, и вообще непрерывное, и то, к чему это приложимо, однако не отрицаем на этом основании, что они имеют бесконечные подразделения.
Далее: если существо линий заключается в сложности (awдетоv), то "малыми" называются эти неделимые линии, несмотря на то что точек имеется в них бесконечно много. Ведь поскольку эта мера есть линия, деление происходит в точке и притом безразлично в любой, и всякая неделимая линия будет допускать бесконечно много подразделений, как и линия, не являющаяся неделимой. И некоторые из них будут делиться на мелкие части, и отношений будет бесконечно много, ибо всякую линию, не являющуюся неделимой, можно делить в любом отношении.
Далее: если большое слагается из каких-то малых частей, то либо вообще не будет большого, либо то, что имеет ограниченное число подразделений, нельзя будет назвать большим; ибо целое имеет те же самые подразделения, что имеют и части. Между тем естественно предполагать, что малое должно иметь ограниченное число делений, а большое - безграничное число их - так они полагают.
Отсюда явствует, что большое и малое мы называем большим и малым не потому, что одно имеет ограниченное, а другое безграничное число делений.
А если кто-нибудь предположит, что малое в линиях имеет конечное число подразделений, тот проявит себя простодушным. Ибо в числах возникновение начинается с лишенного частей ацером) и существует нечто, что является началом чисел, и всякое не безграничное число имеет ограниченное число подразделений, а с величинами дело обстоит не так.
Те же, кто переносят неделимые в виды (та е15п), пожалуй, исходят из допущения, мало подходящего для этой цели, а именно, они полагают их идеи (15еа<с) и неким образом упраздняют то самое, на чем строят свое доказательство, ибо подобными речами упраздняются виды.
Опять-таки наивно приписывать телесным элементам отсутствие частей. Ибо если некоторые и утверждают это, однако в данном вопросе принимают это за исходное начало. И чем более они доказывают то, что принято ими с самого начала, тем все более становится явным, что тело и длина делимы, как в смысле их массы (оукос), так и в смысле их протяжения (бшатщца).
Рассуждение же Зенона не доказывает, что перемещающееся всегда одинаковым образом касается безграничного числа частей не в ограниченное время; ибо время и длина называются и бесконечными, и ограниченными, и имеют такое же число подразделений. И конечно, если разум касается каждой из бесконечных частей по очереди, это не есть счет, даже если кто-нибудь представил себе, что разум таким именно образом касается бесконечного числа частей; ибо движение разума совершается не в непрерывном и не в субстрате, как движение перемещающихся тел. Даже если бы возможно было двигаться так, это не будет счетом, ибо счет совершается с промежутками покоя (цет« ёлштааеюс). И, пожалуй, будет нелепо, если люди, неспособные разре-
шить вопрос, покорятся своей слабости и впадут в большие заблуждения, потворствуя своему бессилию.
Что касается соизмеримых линий, если говорят, что все линии измеряются одной и той же мерой, это совершенно софистично и никак не вяжется с положениями математики; ибо не такие положения там выдвигаются, и это не приносит геометрам никакой пользы. Ведь вместе с тем, будет противоречиво полагать, что всякая линия бывает соизмеримой и что для всех соизмеримых линий имеется общая мера. Таким образом, смехотворно, когда они превращают в спорное и софистическое рассуждение, и притом столь неубедительное, то, что согласно с мнениями математиков, и на чем, по их словам, они строят свое собственное доказательство. Ибо во всех отношениях оно неубедительно, и всячески надлежит избегать как парадоксов, так и опровержений [общепринятого].
Далее, было бы нелепо под влиянием Зеноновых рассуждений дать уговорить себя и признать неделимые линии на том лишь основании, что на эти рассуждения нечего возразить, ибо из движения прямой, которую необходимо рассекать посредством прямой, получая в середине бесчисленные окружности и промежутки, а также из равных кругов, с очевидностью показывающих, что по необходимости все, что бы ни двигалось, движется посредством большего полукруга, и из тому подобного, что открывается при рассмотрении линий, - легко убедиться, что невозможно происходить такому движению, при котором не достигалось бы сначала каждое по очереди из находящихся посредине. Ведь это находит гораздо большее признание, чем то.
Итак, ясно из сказанного, что существование неделимых линий не является ни необходимым, ни вероятным. И это станет еще яснее из нижеследующего. Прежде всего -из доказываемого и утверждаемого в математике, каковое мы не вправе отвергать без доводов, более заслуживающих доверия. Ибо ни определение линии, ни определение прямой не вяжется с признанием неделимой линии, не находящейся между чем-то и не имеющей середины.
Притом все линии окажутся соизмеримы; ибо все они будут измеряться неделимыми, - как соизмеримые в первой степени (ц^кег оиццетрог), так и соизмеримые во второй (5шацег). Но неделимые линии все соизмеримы в первой степени, ибо все они равны. Следовательно, они соизмеримы и во второй степени. А если так, то квадрат будет делим (5гaгретоv).
Далее, если линия, прибавляемая к большей, создает ширину, то одинаковая величина, отнятая от неделимой и от футовой линии и прибавленная к двухфутовой, сделает меньшей ширину линии, лишенной частей, - ширина, получаемая посредством неделимой линии, будет меньше.
Далее, если из трех данных прямых составляется треугольник, то он будет составляться и из неделимых линий. Но во всяком равностороннем треугольнике высота приходится на середину, следовательно, и на середину неделимой линии.
Далее, если мы имеем квадрат, составленный из неделимых линий, и проведена линия отвесно посредине, сторона квадрата, возведенная во вторую степень, будет равна и высоте, и половине диагонали, так что она не будет наименьшей. И промежуток, простирающийся от диагонали, не будет вдвое больше простирающегося от неделимой линии. Ибо после отнятия равной величины остаток будет меньше неделимой линии; так, например, диагональ описала бы в четыре раза большую величину. Можно привести и другие подобные примеры: ибо они, так сказать, противостоят всем положениям математики.
Опять-таки, у неделимых соприкосновение (ашауц) может быть только одно, а у линии - два, ибо она либо соприкасается целиком с другой, либо своим концом с встречной.
Далее: лин
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.