ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2015, том 118, № 6, с. 975-976
НЕЛИНЕЙНАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА
УДК 535.36
О "ПЛОЩАДИ" ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
© 2015 г. Н. Н. Розанов******
* Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова, 199053 Санкт-Петербург, Россия ** Университет ИТМО, 197101 Санкт-Петербург, Россия *** Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе, 194021 Санкт-Петербург, Россия
E-mail: nrosanov@yahoo.com Поступила в редакцию 03.12.2014 г.
Из уравнений Максвелла электродинамики сплошных сред получена общая формулировка сохраняющихся интегральных характеристик — "площадей" электромагнитного поля. Найденные соотношения могут использоваться для контроля точности компьютерного моделирования динамики поля.
DOI: 10.7868/S0030403415060173
Уравнения Максвелла для сплошных сред [1] в общей форме допускают сохранение некоторых интегральных характеристик — "площадей", варианты которых приведены в [2—4]. В настоящей работе представлена более общая формулировка таких сохраняющихся величин.
Уравнение Максвелла, отражающее закон индукции Фарадея, связывает между собой времен-нбе изменение магнитной индукции В с пространственным изменением напряженности электрического поля Е:
где введена площадь магнитного поля
rot E =
1ЭБ
с dt'
(1)
Рассматриваем ограниченные в пространстве и времени пакеты поля (с конечной энергией). При интегрировании (1) по времени t в бесконечных пределах с учетом обращения в нуль магнитной индукции B при t ^ получаем [4]
rot S E = 0, (2)
где введена "площадь" электрического поля
= J E dt,
(3)
d S в = 0,
dt
=J
Bd 3r.
(5)
Согласно (4), площадь магнитного поля постоянна (не меняется со временем). Но в начальный момент времени до появления импульса электромагнитного поля эта постоянная, очевидно, равна нулю. Поэтому уточнением (4) служит соотношение
S д = 0.
(6)
которая ввиду (2) является безвихревым вектором.
Проинтегрируем теперь (1) по пространству (объему) в бесконечных пределах. Поскольку на достаточно больших удалениях от области начальной локализации электромагнитного поля Е ^ 0, то получаем
Приведенные законы сохранения площадей являются общими, справедливыми для любого вида материальных уравнений, в том числе и при наличии электрических проводников и поглощающих излучение сред. Они не были бы справедливы при существовании гипотетических магнитных монополей Дирака. Точнее, для вывода (2) и (4) важно лишь отсутствие магнитных токов с плотностью ] т, так как при их наличии в правой части (1) появился бы дополнительный член
-—.¡т [5]. Тем самым несохранение этих площа-с
дей свидетельствовало бы о существовании магнитных токов. Аналогичным образом в диэлектриках из уравнения Максвелла
rot H = 1
с dt
(7)
(электрические токи отсутствуют) следует сохранение и равенство нулю "площади электрической
индукции" 8 в = | Б й Зг.
При переходе от (5) к (6) мы полагали, что электромагнитное поле отсутствовало до некоторого момента времени (тем самым, статические
976
РОЗАНОВ
поля исключаются из рассмотрения). Соответственно, уместно упомянуть возможные способы генерации поля. Во-первых, электромагнитные поля возникают при неравномерном движении зарядов (или даже при равномерном, но сверхсветовом движении заряда в среде, как в эффекте Ва-вилова—Черенкова [1]). Во-вторых, лазерное излучение генерируется за счет усиления исходного шума, т.е. флуктуаций поля, которые могут быть как квантовой, так и тепловой природы. Наконец, например, в резонаторе с колеблющимися зеркалами также принципиально возможна аналогичная раскачка шума [6], которая в квантовой интерпретации получила название динамического эффекта Казимира [7, 8].
Отметим, что приведенные соотношения, и в особенности (6), полезны для контроля точности компьютерного моделирования динамики поля, в том числе при расчетах формирования и распространения предельно коротких оптических импульсов [4, 9, 10], например, методом конечных разностей во временнбй области [11].
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-12-00894).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.
2. Розанов Н.Н. // Опт. и спектр. 2009. Т. 107. № 5. С. 761-765.
3. Rosanov N.N., Kozlov W, Wabnitz S. // Phys. Rev. A.
2010. V. 81. № 4. P. 043815 (17 pages).
4. Розанов Н.Н. Диссипативные оптические солито-ны. От микро- к нано- и атто-. М.: Физматлит,
2011. 536 с.
5. Швингер Ю. // УФН. 1971. Т. 103. № 2. С. 355-365.
6. Красильников В. Н. Параметрические волновые явления в классической электродинамике. Изд-во С.-ПбГУ, СПб: 1996. 299 с.
7. Dodonov V.V. // Phys. Scr. 2010. V. 82. P. 038105 (10 pages).
8. Wilson C.M., Johansson G., Pourkabirian A., Simoen M., Johansson J.R., Duty T., Nori F., Delsing P. // Nature. 2011. V. 479. P. 376-379.
9. Высотина Н.В., Розанов Н.Н., Семенов В.Е. // Опт. и спектр. 2009. Т. 106. № 5. С. 793-797.
10. Козлов В.В., Розанов Н.Н. // Опт. и спектр. 2013. Т. 114. № 5. С. 870-876.
11. Григорьев А.Д. Методы вычислительной электродинамики. М.: Физматлит, 2012. 430 с.
ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ том 118 № 6 2015
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.