ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 5, 2013
УДК 539.3
© 2013 г. Е. А. Артамонова, Д. А. Пожарский
О ПОЛОСОВОМ РАЗРЕЗЕ В ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОМ УПРУГОМ ТЕЛЕ
При использовании асимптотических методов, развитых В.М. Александровым с соавторами, исследуются пространственные задачи о полосовом разрезе в трансверсально изотропном упругом пространстве, когда плоскости изотропии перпендикулярны плоскости разреза. Рассмотрены два случая расположения полосового разреза: вдоль первой (задача А) или второй (задача Б) оси декартовой системы координат. В предположении, что нормальная нагрузка, приложенная к берегам разреза (трещине нормального отрыва), представима рядом Фурье, получены одномерные интегральные уравнения задач А и Б, символы ядер которых не зависят от номера члена ряда Фурье. При специальной аппроксимации символа ядра выводится замкнутое решение задачи. Для решения интегральных уравнений также использованы регулярный и сингулярный асимптотические методы с введением безразмерного геометрического параметра, характеризующего отношение величины периода приложенной волнистой нормальной нагрузки к толщине полосы разреза. С использованием трех указанных способов решения интегральных уравнений сделаны расчеты коэффициента интенсивности нормальных напряжений на границе полосы.
Ранее при помощи асимптотических методов [1—3] изучались аналогичные задачи для изотропных тел. Получено точное решение задачи об эллиптической трещине в трансверсально изотропном теле, плоскость которой перпендикулярна плоскостям изотропии [4]. Символ ядра интегрального уравнения этой задачи — взаимно обратный к символу ядра интегрального уравнения соответствующей контактной задачи для трансверсально изотропного полупространства [5]. Рассматривались задачи о полосовых разрезах в деформирующемся по степенному закону пространстве [6] и в трехмерном клине [7]. Был предложен вариационный метод решения задач о плоском разрезе в упругой среде [8]. В отличие от подхода Фабриканта [4] здесь ядро интегро-дифференциального уравнения задач о плоской трещине удалось получить в виде, свободном от квадратур.
1. Постановка задачи. В декартовых координатах рассмотрим трансверсально изотропное упругое пространство с плоскостями изотропии z = const. Закон Гука имеет вид [4]
л дых , А - А чдUy дuz ^dux л dUy duz
= An —^ + (An -lAe)^ + Ais-^, ay = (An -2A66)—x + Aa—^ +
дх ду dz дх ду dz
л d ux dUy dUz /1 14
a z = Ais-^ + Ais-^ + A33 —^ (1.1)
дх ду dz
T _ A дUx + A дUy т _ A дUy + A dUz T _ A dux + A дUz
Txy _ Aee + Aee^~ > Tyz _ A44 + A44 > Txz _ A44 + A44
dy dx dz dy dz dx
В частном случае изотропного тела в формулах (1.1) следует положить (G — модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона)
Ап = Азз = , ¿13 , ¿44 = А66 = ? (1.2)
1 - 2у 1 - 2у
Пусть в плоскости x = 0 в начале координат возникает точечная трещина нормального отрыва (дислокация). Далее все задачи о трещине считаем симметричными относительно плоскости x = 0, поэтому достаточно рассматривать лишь область x > 0. Граничные условия задачи для уравнений упругого равновесия [4] в этой области можно записать в виде
х = 0: ых = ы08(х)8(у), т = т = 0 (1.3)
где 8^) — дельта-функция Дирака.
Подставив выражения (1.1) в уравнения равновесия в напряжениях, перейдем к уравнениям равновесия в перемещениях, решение которых будем искать в форме двойного преобразования Фурье по переменным у, z. В результате, распространяя полученное фундаментальное решение на плоский разрез (трещину), занимающий произвольную область О, нормальное напряжение при x = 0 можно представить в виде [4]
¿6,
(0, У, z) =--^-66-2 ЯZo)dyodzo x
4n (m - m^Y 3 0
X X
D
(1.4)
í í i-exp(-í(z - zо)^ - i(y - yo)n№dn
—X —X
D = M2k^Z2 - mih22Zi + 4(mi - m2)r\Z\Z2Z3, Zn = А/уП^+П, n = 1,2,3 mk = AllYk "A44, kk = m + 1)y&2 + 2n2; k = 1,2, Y3 =.
A13 + A44
Здесь u(y, z) — нормальное перемещение в области трещины. Постоянные у:, y2 — положительные корни уравнения (предполагается, что такие корни существуют)
Y4A11A44 - y2[A11A33 - An(An + 2A44)] + A33A44 = 0 (1.5)
Переходя в соотношениях (1.4) к полярным координатам по формулам £ = r cos у, п = г sin ¥ (1.6)
полагая y3 = 1, A66 = G и используя значения предела [4]
2
D(w) cos w . ,Л П.
lim-=-- при y1 ^Y2 ^ 1 (1.7)
m2 - m1 1 - v
D(y) = m2k2(^)Z2(V) - m^V)^) + 4(m1 - m2)sin2 vZ1(v)Z2(v)Z3(v)
kk(y) = (mk + 1)y2 cos2 y + 2sinV, Zn(v) = Vy^osV + sin2y
убеждаемся, что формула (1.4) в пределе совпадает с известным результатом для изотропного пространства [4]
Сх^ * ^ = ^ ЛЯ^^0 (°)
Ayz + ^, R = v (y - У0)2 + (z - zo)2 dy dz
Формула (1.8) получается в результате использования тождества —г cos(zrcosy)cos(yrsiny) = Ayz[cos(zrcosy)cos(yrsin(1.9) и интеграла [9]
да да
Ду,z) = Ayz J Jcos((z - zf2)c°s2((y - yo)nWn = П Ayz (R) (1.10)
oo V^ +n
Интеграл (1.10) можно вычислить двумя способами. Переходя к полярным координатам по формулам (1.6), имеем
да п/2
Ду,z) = Ayz Jdr J cos((z - zo)r cosy)cos((y - yo)r siny)dv (1.11)
o o
Вычисляя сперва интеграл по у, а затем по r при помощи известных формул ([9], формулы 3.937.2 и 6.511.1), получим равенство (1.10).
Второй способ вывода формулы (1.10) состоит в изменении порядка интегрирования в равенстве (1.11) и привлечении теории обобщенных функций. Предполагая, что y > y0, z > z0, и вычисляя сперва интеграл по r с использованием представления
да
J cos(xr)dr = л8(х) (1.12)
o
приходим к выражению
п/2
F (y, z) =П Ayz { 8((z - zo)cos y-(y - y o) sin y)dV (1.13)
o
Делая в нем замену переменной интегрирования по формулам
u = (z - zo)cos у-(y - yo)sin у = R cos(y-9), cos 9 = -—— (1.14)
R
г-г о
Г(у, г) = Ауг ^ [ =АК -Ь (1.15)
Второй путь вычисления интеграла (1.10) позволяет также, действуя по аналогии, освободиться от квадратур по £,, п в первой формуле (1.4). В результате получим
а,(о, у, г) =--дуг Ц и(Уо dyоdzо (1.16)
2п(т2 - т^2 £ (у - уо)2СГС5
Б = т2(Н^)2СГ - т^)2С Г + 4(тх - т2)(г. - го)2СГСГС Г
Ь'Г = (тк + 1)у2(у - Уо)2 + 2(г - го)2, к = 1,2
имеем
С * =>1у П(У - Уо)2 + (г -1о)2, п = 1,2,3
В случае плоского разреза, занимающего область О в плоскости х = 0, предполагается, что на его берегах задано нормальное напряжение
ах(±0,У,г) = -?(у,г), (у,г) е О (1.17)
которое поддерживает разрез в открытом состоянии. Требуется определить раскрытие разреза
ых(±0,у,г) = ±и(у,г), (у,г) ей (1.18)
Затем может быть определен коэффициент интенсивности напряжений на контуре разреза.
При учете равенств (1.17) и (1.18) ясно, что задача сводится либо к интегральному уравнению (ИУ) (1.4), ядро которого является двукратным интегральным преобразованием Фурье, либо к интегро-дифференциальному уравнению (1.16), ядро которого получено в форме, свободной от квадратур.
Пусть область разреза О — полоса. Поскольку решение задачи будет зависеть от ориентации разреза, изучим два случая. В первом случае полоса О параллельна оси у (задача А), во втором — оси г (задача Б, см. фигуру).
В задаче А область О описывается неравенствами |у| < го, |г| < а. Для простоты считаем задачу симметричной по г. Предполагается, что функция #(у, г) — периодическая по у с периодом 21 и представима рядом Фурье по у. Тогда достаточно рассмотреть случай
?(У, г) = д*(1 )ехр(-/р у) (р = п т/I) (1.19)
5 Прикладная математика и механика, № 5
и составить суперпозицию решений, полученных при разных целых значениях m. Используя равенство (1.19), сведем ИУ в форме (1.4), (1.17) к одномерному ИУ относительно функции ы(г), при этом ы(у, г) = ы(г)ехр(-г'Ру).
Задача Б симметрична по у, область О описывается неравенствами У| < a, |г| < <»; функция q(y, z) — периодическая по z с периодом 2l и представима рядом Фурье по z. Тогда достаточно решить эту задачу для случая
9(у, г) = дГ(у)ехр(-/р г) (в = я т/1) (1.20)
Считая, что ы(у, г) = ы(у) ехр (-г'Р г), сведем задачу Б к одномерному ИУ относительно u(y). После введения безразмерных величин
(1.21)
х = га_1, Х = (ав)-1, / (х) = дГ(г)Лм, ф(х) = ы(г)а-1 (задача А) х = уа_1, Х = (ав)-1, /(х) = ?Г(у)Л661, ф(х) = ы(у)а-1 (задачаБ)
ИУ обеих задач запишем в виде
1 »
| Ф©/„ Л % = пХ2/(х) (|х |< 1), ) = | Ьп(ы)со&(ы1)йы; п = 1,2 (1.22)
Ьп(ы) =-Б-, с11 = Л 2к п +кз-п, I = 1,2,3; к1 = ы2, к2 =1 (1.23)
(т1 - т2)уз к п^1пс 2п
Бп = т1^2п^1п - Щ^п^ 2п - 4(т1 - т2)к3-п^1пС 2nZ3n, Кп = (тк + ^К п + 2к3-п1 к = ^ 2
где п = 1 для задачи А и п = 2 для задачи Б.
2. Замкнутое решение. Асимптотика символов ядер (1.23) на бесконечности имеет вид
Ьп(ы) Б1пы2 + Б2п + 0(ы Ъ) г Е2п 1 ^ 1Ч
= 1" -—--—г2 = Е1п + О 1-^1 при ы ^ да (2.1)
ы С1пы2 + С2п + 0(ы ) ы2 Iы4)
Р _ Б1п Т7 _ Б2пС1п - Б1пС2п
Е1п , Е2п --2-
С1п С1п
где для задачи А (п = 1)
2 +2
С11 = т - т2)у1у 2 У2, С21 = т - т2) ^—у2
2У1У 2
Б11 = [т1(т2 + 1)2У1 - т2(т1 + 1)2у2] У4 (2.2)
Б21 =
2 2" т1(т2 + 1) т2(т1 + 1)
. У1 У2 .
и+
2
+ 4 [т1(т2 + 1)У1 - т2(т1 + 1)у2]У3 - 4(т1 - т2)у1у2у3 а для задачи Б (п = 2)
2 +2
С12 = (т1 - т2)у2, С22 = (т1 - т2)У1 2 У2 у2
Б12 = 2[(т1 - т2)у2 - т1у2 + т2У2] (2.3)
Таблица 1
Случай Ап А13 А33 А44 Абб 2 У1 2 У2 2 Уз т1 т2
1 21 8 32 4 7 6.232 0.2445 0.5714 10.57 0.09459
2 32 8 21 7 4 1.862 0.3545 1.1750 3.505 0.2853
3 21 8 32 7 4 2.837 0.5371 1.750 3.505 0.2853
4 32 8 21 4 7 4.090 0.1605 0.5714 10.57 0.09459
5 21 14 32 4 7 3.947 0.3860 0.5714 4.383 0.2282
Таблица 2
Случай Задача А Задача Б
е В 10 ¿20 е В 10 ¿20
1 7 0.8402 -0.5720 1.033 6 1.190 -0.2142 0.6684
2 9 1.705 0.5470 0.4671 14 0.5865 -0.7002 1.440
3 3 1.498 0.001370 0.4419 5 0.6674 -0.7998 1.342
4 4 0.8850 -0.1442 1.206 6 1.130 -0.2929 0.6365
5 5 0.7542 -0.6135 1.112 2 1.326 0.1607 0.6668
^21 =
т1 |т2 + З) - т2 (т2 + 2
4 т2 4 т2 4
У3 + —У2 —2У1 2 2
- (т1 - т2)у2у2 + (2т1т2 + т1 + т2)(у2 - у2)у2 Асимптотика символов ядер в нуле имеет вид
Х1(ы) = Е12 + 0(и2), 12(и) = Е11 + 0(и2) при и ^ 0 (2.4)
Учитывая свойства (2.1)—(2.4), символы ядер ИУ (1.23) можно аппроксимировать выражением
^^ « и еШ(Ви), В = Е^ (задача А), В = Е12 (задача Б) (2.5)
Е1п Е12 Е11
В табл. 1 приведены пять случаев значений упругих постоянных, для которых сделаны расчеты. В табл. 2 для
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.