ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 2, 2013
УДК 531.01
© 2013 г. В. В. Козлов
О ПОВЕДЕНИИ ЦИКЛИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМАХ
Установлена общая теорема о поведении угловых переменных интегрируемых динамических систем как функций времени. В качестве примеров рассмотрены задачи о движении линии узлов волчка Ковалевской и о пространственном движении твердого тела в жидкости в интегрируемых случаях. Этот круг вопросов обсуждается для систем более общего вида, которые получаются из вполне интегрируемых систем после замены времени.
1. Интегрируемые системы и угловые переменные. Рассмотрим интегрируемую динамическую систему в я-мерном фазовом пространстве и предположим, что почти все фазовое пространство расслоено на k-мерные инвариантные торы, несущие на себе условно-периодические движения. В окрестности каждого неособого k-мерного тора можно ввести переменные действие—угол
хь xkmod2п, уу,, к + 5 = n в которых уравнения движения принимают простой вид
Х = ю! (у), Хк = ю к(у); У1 = ••• = Уs = 0 (1.1)
Переменные действие y1, ..., ys — первые интегралы. Их постоянные "нумеруют" инвариантные торы. Частоты ю1,..., % постоянны на каждом торе. Решения уравнений (1.1)
х = ю(у)t + х , у = у (1.2)
задают условно-периодические движения по инвариантным торам с частотами Ясно, что окрестность инвариантного тора диффеоморфна прямому произведению Тк х Б, где Тк = {х1, ..., хк, шод2л} — "стандартный" к-мерный тор, а Б — окрестность некоторой точки в пространстве переменных действия.
Многочисленные примеры дают вполне интегрируемые уравнения динамики. Это — гамильтоновы системы с (п = 2к)-мерным фазовым пространством, допускающие к функционально независимых первых интегралов с нулевыми попарными скобками Пуассона и компактными совместными к-мерными поверхностями уровня инволю-тивных интервалов. Есть целые классы интегрируемых гамильтоновых систем с избыточными наборами первых интегралов, фазовое пространство которых расслоено на торы меньшей размерности (2к < п). Имеется обзор известных результатов в этом направлении и точные формулировки [1].
Угловые переменные (по модулю 2п) — это многозначные функции на фазовом пространстве: при возвращении в начальную точку после обхода любого замкнутого контура угловая переменная получает приращение, кратное 2п. Чтобы сделать такое определение корректным и избавиться от многозначности, полезно перейти от угловых переменных к их дифференциалам.
Итак, пусть у mod2n — угловая координата, ¥ = dy — ненулевая гладкая замкнутая (но не точная) дифференциальная 1-форма (d¥ = 0), причем интегралы от 1-формы ¥ по замкнутым циклам, по-разному охватывающим инвариантные торы, кратны 2п. Примеры угловых координат дают независимые 1-формы dx1, ..., dxk.
Теорема 1. В окрестности инвариантного тора найдутся целые шъ ..., шк, такие, что
k
dy = ^ mjdXj + dS (1.3)
j = i
где S(x, у) — гладкая функция, 2п-периодическая относительно x1, ..., хк. Другими словами,
y = ^- xJ) + S(x, у) - S(x°, уУ) (1.4)
Эту формулу надо понимать следующим образом. Естественное накрытие Tk X D ^ [k X D
где [к — к-мерное линейное пространство с координатами хь ..., хк позволяет "поднять" 1-форму dy на [к х D. Поскольку это пространство односвязно и 1-форма dy замкнута, то у будет уже однозначной функцией на [Rk х D. Зафиксируем начальную точку (х0, y0) е [к х D, соединим ее с "текущей" точкой (х, у) некоторым гладким путем и проинтегрируем 1-форму (1.3) по этому пути. В результате получим формулу (1.4), которая, разумеется, не зависит от выбора пути в [к х D, соединяющего точки (х0, у0) и (х, у).
Доказательство теоремы 1. Дифференциальная 1-форма ¥ имеет вид ^ ар (x, у) dyp + ^ bq (x, у) dxq
Коэффициенты ap и bq — гладкие функции, периодические по угловым координатам с периодом 2п. Так как d¥ = 0, то
да да дЬ д Ь
—--йуг Л йу„ + V*-Ейх„ Л йу„ + V —-йуг Л йх„ + V —-йх„ Л йх„ = 0
дуг - ^ дхи и - ^ дуг 9 ^ дхи и "
Следовательно,
да - = даг да- = дЬи дЬл = дЬи ^ 5)
дуг д у- дхи ду- дхи д хч
для всех допустимых значений индексовр, q, г, и.
Из первой группы соотношений (1.5) и односвязности области В вытекает суще-
д V
ствование гладкой функции У(х, у), 2п-периодической по х1, ..., хк, такой, что ар = — .
ду-
Тогда вторую группу соотношений (1.5) можно представить в виде
А (»„ - а = о, 1 < - <,
д у- ^ д хУ
Следовательно,
Ьи = дг + Р„(*), 1 < и < к (1.6)
д Хи
Функции Р„ (как и коэффициенты Ьы) 2п-периодичны по угловым переменным x1, ..., xk. Наконец, из последней группы соотношений (1.5) и равенств (1.6) вытекает, что
дв = дв (1.7)
дхи дхд
для всех значений 1 < ы < k, 1 < q < k. Положим теперь
р?(х) = р0 + а9(х) (1.8)
где р0 — средние значения периодических функций по к-мерному тору. Функции аь ..., ак, конечно, удовлетворяют соотношениям (1.7), и их средние значения равны нулю. Отсюда вытекает существование гладкой функции К Тк ^ К, такой, что
а9 = дди, 1 < Я < к (1.9)
О ХЯ
Учитывая соотношения (1.8) и (1.9), равенства (1.6) можно представить в виде Ьи = + ри, 1 < и < к; Б = ¥+ и
д Хи
Поскольку функция и не зависит от переменных действия, то
д Б , , , ар = —, 1 < р < s
р дур, Р
Итак, 1-форма ¥ принимает вид
X ви^Хи + dS
Как уже говорилось, интегралы от этой формы по охватывающим к-мерный тор циклам должны быть кратны 2п. Выбирая замкнутые циклы так, чтобы все угловые переменные х:, ..., хк, кроме одной, были постоянными, а эта угловая переменная монотонно менялась бы от 0 до 2п, получаем заключение о целочисленности постоянных
в0, ..., вк. Что и требовалось.
Из теоремы 1 вытекает важное следствие.
Теорема 2. Зависимость угловой переменной от времени в интегрируемой системе определяется равенством
у(г) = (Xтю/у0))г + Б(ю(у0)г + Х0, у0) - Б\х°, у0) (1.10)
Другими словами,
у( г) = X г + о (1)
Ограниченный остаток — условно-периодическая функция времени на торе у = у0. Ее показатели Фурье образуют модуль — совокупность линейных комбинаций частот
юь ..., юп с целыми коэффициентами. Средняя скорость изменения угловой координаты X принадлежит модулю показателей Фурье условно-периодического остатка.
Из формулы (1.10) можно сделать ряд выводов. На каждом инвариантном торе у = у0 можно подобрать начальные фазы х0 е Тк так, что
у(0 - Xt > 0 (<0)
при всех значениях ?. Если функция $(х, у0) не постоянная и частоты ю^0), ..., юк(у0) рационально несоизмеримы, то разность у(?) — X? бесконечно много раз меняет знак при ? ^ ±».
Теорему 2 можно вывести и из общей теоремы Боля—Бора об аргументе почти периодической функции [2]. С этой целью рассмотрим комплекснозначную функцию времени
Д 0 = ехр (гу) (1.11)
Ясно, что ехр(;у) — однозначная функция в окрестности инвариантного тора интегрируемой системы (это — простое следствие формулы (1.4) — точного определения угловой переменной). Заменяя переменные действие—угол функциями времени по формуле (1.2), приходим к условно-периодической функции (1.11). По теореме об аргументе,
у( 0 = X t + g( 0
где g — условно периодическая функция, а X принадлежит модулю показателей Фурье условно-периодической функции /(?). Главное в этом круге вопросов — точное определение угловой переменной.
Замечание 1. Формула (1.4) для угловой переменой у записана в предположении, что у = 0 при х = х0 и у = у0. Если отказаться от такой нормировки, то в правую часть равенства (1.4) следует добавить у0 — значение функции у: Кк х В ^ К точке х = х0, у = у0. Тогда в формуле (1.10) справа появляется дополнительное слагаемое у0 = у(0).
2. Теорема о поведении циклических переменных в интегрируемых гамильтоновых системах. Рассмотрим гамильтонову систему с п + 1 степенями свободы, функция Гамильтона которой
Н( дь..., дп,р1,..., рп, Т) (2.1)
гладкая по своим переменным и не содержит в явном виде координаты у, канонически сопряженной с импульсом /. Без ущерба для общности координату у можно считать угловой с периодом 2п. Полезно рассмотреть систему с п степенями свободы, гамильтониан которой — функция (2.1), где / считается параметром. Такую систему назовем приведенной.
Система канонических уравнений Гамильтона с гамильтонианом (2.1) предполагается интегрируемой по Лиувиллю: существуют п + 1 функционально независимых первых интегралов в инволюции
/ = Н, Тт / +1 = Т (2.2)
гладких по всем каноническим переменным. Тогда приведенная система при каждом значении / = /0 также будет вполне интегрируемой, так как п функций
Г1 = Щт = То1,-, = Т0 (2.3)
независимы, не содержат у и находятся в инволюции.
Будем полагать, что в фазовом пространстве приведенной системы совместные уровни интегралов (2.3) компактны. Тогда эти п-мерные инвариантные многообразия суть п-мер-
ные торы Тп, которые несут на себе условно-периодические движения. В окрестности каждого такого тора можно ввести канонические переменные действие—угол хь ..., хпшоё2л, у1, ..., уп приведенной системы, в которых уравнения Гамильтона принимают вид (1.1) (но только к = 5 = п). Частоты юь ..., юп зависят от постоянных первых интегралов (2.3). Так как
у = дН/ д II = Jo = Ф( х, у) (2.4)
то согласно эргодической теореме Вейля
у = X г + о (г)
что является по сравнению с теоремой 2 более слабым результатом.
Теорема 3. Если совместные уровни интегралов (2.3) приведенной системы компактны, то
у = X г + s (г) (2.5)
где множитель X зависит от постоянных первых интегралов (2.2), а ? ^ 5(?) — условно-периодическая функция, показатели Фурье которой — линейные комбинации частот юь ..., юп приведенной системы с целыми коэффициентами. В частности, у = X? + 0(1).
Доказательство. Исходная гамильтонова система с п + 1 степенями свободы вполне интегрируемая: ее первые интегралы (2.2) функционально независимы и находятся в инволюции друг с другом. Их совместные многообразия уровня компактны, так как этим свойством обладают первые интегралы (2.3) приведенной системы и циклическая переменная у — угловая. Следовательно, все связные компоненты уровней первых интегралов (2.2) будут (п + 1)-мерными торами и в окрестности каждого из них можно ввести переменные действие—угол гамильтоновой системы с гамильтонианом (2.1). При этом
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.