ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 2, 2013
УДК 531.36;534.1
© 2013 г. В. С. Сергеев
О ПРЕДЕЛЬНО ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЯХ В НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ ПРИ РЕЗОНАНСЕ
Рассматриваются интегродифференциальные уравнения типа Вольтер-ры и их решения, которые при неограниченном возрастании времени экспоненциально стремятся к периодическим режимам. В критическом случае устойчивости, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней и остальные корни обладают отрицательными вещественными частями, решается вопрос о существовании предельно периодических решений при резонансе, вызванном совпадением частоты периодической части внешнего предельно периодического возмущения с собственной частотой линеаризованной системы. Показывается, что если правая часть уравнения — аналитическая функция и существование предельно периодических решений определяется членами (2m +1) -го порядка, то эти решения представляются степенными рядами по произвольным начальным значениям некритических переменных и параметру ц1/(2т +1}, где ц — малый параметр, характеризующий величину внешнего предельно периодического возмущения. Приведены амплитудные уравнения.
Интегродифференциальные уравнения типа Вольтерры с бесконечным последействием, у которых нижний предел интегрирования в интегральных членах равен —да, имеют чисто периодические решения. Вопрос о существовании периодических решений для таких уравнений рассматривался многими авторами ([1—7] и др.). Имеется [6, 7] библиография по данной теме, указаны общие условия существования периодических решений, рассмотрен ряд примеров. Периодические решения исследовались для уравнений второго порядка с бесконечным последействием, связанных с задачами механики; рассматривались как не резонансный, так и резонансный случаи [3, 4, 7].
1. Постановка задачи. Рассмотрим систему с последействием, описываемую инте-гродифференциальным уравнением типа Вольтерры
t
— = Ax + f K(t - s)x(s)ds + tf(t) + F(x, y, t), x e Un (1.1)
dt J
0
t
f(t) = colft)fn(t)), F = col(Fi,Fn), y = JKi(t - s)(Kx(s),s)ds (1.2)
0
A = (ay) — постоянная (n x n)-матрица, K(t) = (Ky(t)) — непрерывная (n x n)-матрица при t e U + = {t e U : t > 0}, удовлетворяющая условию
||K(t)|| < Сexp(-pt), С,в = const > 0 (1.3)
ц — малый параметр, F(x, y, t) и ф(x, t) — аналитические функции соответственно по x, y и x, разложения которых в сходящиеся степенные ряды в некоторой окрестности нуля начинаются с квадратичного и линейного членов, соответственно, а коэффициенты
этих разложений — непрерывные функции t, экспоненциально стремящиеся к постоянным, или постоянные величины. Функцияf (t) е C1, матрица K1(t) аналогична K(t).
Определения [8, 9].
1. Будем говорить, что непрерывная при t е функция f (t) принадлежит классу e1(-y1), т.е. f(t) е yj), если при t е выполнено неравенство
\\f (t)|| < Ci exp(-yit), Ci, yi = const > 0
2. Непрерывная на множестве 0 < s < t < функция Ф(t, s) принадлежит классу e2(-y), т.е. Ф(t, s) е e2(-y), если на этом множестве справедлива оценка
||0(t,s)|| < Cexp[-y(t - s)], C, у = const > 0
3. Непрерывная при t е [R+ функция f(t) называется экспоненциально предельно периодической (ЭПП) и принадлежит классу 1pe(T, -у), если
где непрерывная функция fp(t) — 7-периодическая.
4. Движение системы, описываемое функцией вида (1.4), будем называть экспоненциально предельно периодическим (ЭПП).
Функция f(t) в уравнении (1.1) считается экспоненциально предельно периодической, т.е.
f (t) е 1ре(2л/ю,-а1) а1 > 0
и для нее справедливо представление (1.4), в котором функцияfp(t) по предположению допускает непрерывную производную с ограниченным изменением и, следовательно, представляется абсолютно сходящимся рядом Фурье и для коэффициента an ряда Фурье справедлива оценка an = €(n ) [10].
Будем рассматривать критический случай устойчивости нулевого решения невозмущенного (ц = 0) уравнения (1.1), когда характеристическое уравнение
det(4 - XEn + K*(X)) = 0
где K*(X) — преобразование Лапласа для матрицы K(t), имеет в комплексной полуплоскости Re А, > -р конечное число корней Xj (j = 1,2,..., N, N > n), занумерованных в порядке возрастания вещественных частей. Среди этих корней имеется пара чисто мнимых:
X'N_i = io>, X'N =-iю, ю = const > 0, ReXk < 0, к = 1,N - 2 (1.5)
Корни X'N_n+i,X'N считаются простыми.
2. Выделение критической подсистемы. Пусть X'(t - s) = (xj(t - s)) — нормальная в смысле Ляпунова [11, 12] фундаментальная матрица решений линеаризованного невозмущенного уравнения (1.1) с нижним пределом интегрирования s в интегральном
члене и пусть матрица Y'(t) = (yj(t)) такова, что Y' (t)X'(t) = En.
Проведем, используя доказанную ранее лемму [13], замену переменных [8, 14]
f(t) = fp(t) + fe(t), fe(t) e ei(-y), y> 0
(1.4)
n
ys = xs, Ук = Z ykj(t)Xj, s = 1,n - 2, к = n - 1,n
(2.1)
j=i
позволяющую выделить критическую подсистему. Полученную таким образом некритическую подсистему преобразуем, приведя ее линейную однородную часть к диагональному виду с матрицей Л2 = _п+1, _2). С этой целью введем в рассмотрение нормальную в смысле Ляпунова фундаментальную [(п - 2) х (п - 2)]-матрицу X2(() решений линеаризованной однородной некритической подсистемы и матрицу 72'(0, такую, что 72(?)Х2(0 = Еп-2. С использованием матрицы У>(0 проводится замена [8,14]
г = ехрОЛ^ОТКОу, У = С01(У1,..., Уи-г), г = со1(гь ..., ^-2) (2.2)
с ограниченными непрерывными при I > 0 коэффициентами, экспоненциально стремящимися к постоянным при I ^ .
Перейдем далее к комплексно-сопряженным переменным
^п-1 = Уи-1 + >Уп, ™п = Уи-1 - >Уп (2.3)
После замен (2.1)—(2.3) уравнение (1.1) преобразуется в систему
' п
= г
сН
= IE (ф«-1 j(t, s) ± 'Фи(t, s))(FJ(z(s), w(s), y(s), s) +
1 0 j =1
n
+ f (s))ds + E (y'n-1 j(1) ± iYnj(1))(Fj(z(t), w(t),y(t), 1) + f (1)), k = n -1,n
j=1
dZ = A 2 z + exp(A 2 1) dt
j ф(1, s)©(z(s), w(s), y(s), s)ds + Y2(t)&(z(t), w(t), y(t), 1)
(2.4)
(2.5)
_ 0
в которой
w = COl(Wn-1, Wn), ©(z, w, t) = COl(©1,...,©n-2)
знак плюс соответствует k = n -1, минус — значению k = n, операторы F' (z, w, y, 1) представляют собой величины Fj(x, y, 1), выраженные через переменные z, w, y, t, где согласно соотношениям (1.3), (2.1)—(2.3) y(t) = y(z(0, w(t), t) и
©i(z, w, y, t) = an-1Xn-1 + anXn + F'(z, w, y, t) + f(t) +
t
+ j(Knn-1(t - s)Xn-1(s) + Kin(t - s)Xn(s))ds, i = 1,2,...,n - 2
0
В последней формуле переменные Xn, Xc„_1 выражены через w, г и не содержат y1, •••, Уп-2.
Интегральные ядра в уравнениях (2.4) имеют следующую структуру [8, 14]:
Ф„_и(t, s) ± iq„j(t, s) = ехр(±/'ю1)Ф±(1 - s) + Ф±(t, s) (2 6)
Ф±(1) е б1(-у), у > 0
где одновременно необходимо брать верхние или нижние знаки, Ф ±(1, s) — сумма слагаемых вида ф(0у(1, s), причем
ф(1) е б1(-у1), y(t, s) е б2(-у2), Уk > 0, k = 1,2
В этих уравнениях имеем
y'n-u(t) ± iy'nj(t) = Cj exp(±iat) + y'(t), Cj = const, y'(t) e ^(-y), y> 0 (2.7)
3. Преобразование уравнений. Преобразованиями (типа Ляпунова) переменных w, z, y к
переменным w' = col(wn_i, wn), u,y'(y' = y'(w',u,t)), содержащими экспоненциально убывающие функции t либо интегралы от функций с интегральными ядрами класса е2(—у) для некоторого у > 0, уравнения (2.4), (2.5) при учете полученных ранее результатов [8], приводим к следующей форме:
d ' m
w = X hks)r2sw'k + H/n_i(t) + Wk(u, wyt) + ц Wk(u, wyt, ц), k = n - 1, n (3.1)
s=1
— = Л2u + U(u, wy', t) + цf '(t) + ц U '(u, wy', t, ц) (3.2)
dt
где
,(s),(s) + 2 ,
hn-1, h„ = const, r = wn-iwn
Нелинейные операторы Wk (u, w', y', t) таковы, что они не содержат членов, зависящих только от W до порядка 2m + 1 включительно, и все их члены, порядок которых меньше 2m + 1, обращаются в нуль при подстановке значения u = 0 (в том числе и в выражение для у'). Разложение в степенной ряд по параметру v оператора U(vu,vw', vy', t) начинается с квадратичных членов.
Отметим, что члены оператора U, порядок которых меньше 2m + 1, обращаются в нуль, если положить в них и в выражении для у' значение u = 0. Операторы Wk и U появляются в системе (3.1), (3.2) в результате исключения интегральных членов, содержащих w', интегрированием по частям с заменой производных от критических переменных на правые части соответствующих им уравнений. Все интегральные ядра принадлежат классу e2(-y) (у > 0). Функции
fk (t), k = n - in, f \t) = COl(/1'(t),..., fn-2(t))
в уравнениях (3.1), (3.2) — предельно периодические. Уравнения для критических переменных w'n-1 и wn являются комплексно-сопряженными. Периодическая часть
fp(t) = COl(fp1(t), ..., fpn(t))
возмущения f(t) представляется абсолютно сходящимся рядом Фурье в комплексной форме
fpj(t) = Z «m°exp(;m®t), a^ = a-m, j = 1,..., n (3.3)
т=-<я
Тогда на основании соотношений (2.6), (2.7), (3.3) периодические части fpk(t) (k = = n — 1, n) можно представить в виде
n
fPk(t) = Z exp(±i ю t)(C]fpj (t) + Ф j (t)) (3.4)
j=1
где
Ф(?) = ^ Ъ](т)а{ш ехр(;тюг), Ъ±(т) = |Ф±(т)ехр(-;тют)Ст (3.5)
т=-з 0
и знак плюс в двойных знаках отвечает значению п —1, а знак минус — значению п.
Доказательство существования предельно периодических решений для уравнения типа (1.1) в резонансном случае, когда кубическая форма переменных в (3.1) не
вырождена, т.е. при ^ 0, было проведено [15] для автономной функции ¥ = ¥(х) в
уравнении (1.1).
Рассматривая здесь общий случай, будем далее считать, что все вещественные постоянные удовлетворяют условиям
^ = 0, * = 1,2,..., т - 1, ьпт^т * 0 (3.6)
4. Построение предельно периодического решения. Будем следовать схеме исследования, использованной ранее [15].
Введем в уравнения (3.1), (3.2) малый параметр б, полагая
=£0], ] = п - 1, п, и = £ и, и = со1(и1,..., ип-2) ц = Е2т+1 (4.1)
и будем строить решение уравнений (3.1), (3.2) в окрестности нуля в форме степенных рядов по б
ад
и;(?) = X еки(к)(0, ' = 1,2,..., п (4.2)
к=0
считая, кроме того, что начальные значения и0;- = и0;(е) ( = п — 1, п) критических переменных представляются рядами
ад
]) = Е 8ки0к) (4.3)
к=0
и определяются из условий разрешимости поставленной задачи.
Переменная у', выражающаяся согласно интегральной фо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.