ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 2, 2013
УДК 531.36:531.38
© 2013 г. А. П. Маркеев
О ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ТЕЛА, НЕСУЩЕГО ДВИЖУЩУЮСЯ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕГО МАТЕРИАЛЬНУЮ ТОЧКУ
Исследуется динамика сложной системы, состоящей из твердого тела и материальной точки, которая движется по заданному закону вдоль кривой, жестко скрепленной с телом. Система совершает свободное движение в однородном поле тяжести. Выведены дифференциальные уравнения, описывающие вращение тела относительно его центра масс. В двух частных случаях, допускающих введение малого параметра, при помощи асимптотических методов получена приближенная система уравнений движения. Указана точность, с которой решения приближенной системы аппроксимируют решения точных уравнений движения. В одном случае предполагается, что материальная точка имеет массу, малую по сравнению с массой тела, и совершает быстрое движение относительно тела. Показано, что в этом случае приближенная система интегрируема. Указан ряд частных движений тела, описываемого приближенной системой, и исследована их устойчивость. Во втором случае на массу материальной точки не накладывается ограничений, но предполагается, что относительное движение точки быстрое и происходит вблизи заданной точки тела. Показано, что в приближенной системе движение твердого тела относительно его центра масс является движением Эйлера — Пуансо.
Рассматриваемая задача — частный случай общей задачи о движении материальной системы, состоящей из "несущего тела" и материальных точек ("несомых тел"), положение которых относительно "несущего тела" задается конечным числом обобщенных координат [1]. Были изучены [2, 3] некоторые вопросы о движении спутника относительно центра масс при наличии "носимых материальных точек". В частности, исследован вопрос об использовании подвижных точечных масс для стабилизации положения равновесия спутника в орбитальной системе координат [3]. Рассмотрено [4] движение динамически симметричного тела, вдоль оси симметрии которого движется материальная точка по заданному гармоническому закону; при этом тело может соударяться с неподвижной абсолютно гладкой горизонтальной плоскостью, коэффициент восстановления при ударе произволен. Получены условия существования и устойчивости движения тела, при котором оно периодически соударяется с плоскостью и вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью. Был изучен [5] ряд вопросов о движении тела, несущего материальную точку, относительно его центра масс в режиме свободного полета тела над плоскостью. В частности, найдены условия существования поступательного движения тела с произвольной геометрией масс, а для случая, когда тело динамически симметрично и несомая точка совершает произвольно заданное движение вдоль оси симметрии, найдено общее решение уравнений движения, обобщающее решение, соответствующее классической регулярной прецессии в случае Эйлера.
1. Уравнения движения. Пусть свободное твердое тело массы М движется относительно некоторой неподвижной (абсолютной) системы координат ОаХаУа1а в однородном поле тяжести. Для описания вращательного движения тела относительно его центра масс О введем жестко связанную с телом систему координат Оху1, направив ее
оси х, у и г вдоль главных центральных осей инерции тела. Соответствующие им главные моменты инерции обозначим через /х, ]у и /г
Предположим, что вдоль некоторой кривой, жестко скрепленной с телом, движется материальная точка Р массы т. Ее положение в системе координат Оху7 определяется вектором ОР, компоненты которого х, у, 7 предполагаются заданными дважды непрерывно дифферецируемыми функциями времени: х = х(), у = у(0,7 = 7(0. Из теоремы о движении центра инерции следует, что в системе координат ОаХаУ^а центр масс С системы, образованной несущим твердым телом и несомой материальной точкой Р, движется либо по параболе, либо вдоль вертикальной прямой. Для получения дифференциальных уравнений, описывающих вращение тела относительно системы координат ОаХаУ^а, воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента.
Пусть ю — вектор угловой скорости тела, его компоненты в системе координат Оху7 обозначим через юх,юу,ю7. Для соответствующих компонент вектора кинетического момента К0 несущего тела относительно его центра масс О имеем выражения [6]
Кох = IхЮх (х, у, 7)
Здесь и в дальнейшем невыписанные соотношения получаются из выписанных круговой перестановкой символов, указанных в круглых скобках.
Пусть Р — сила, которая приложена к несущему телу со стороны несомой им материальной точки Р. Очевидно, что
Г = mg - mw (1.1)
где g — ускорение свободного падения, а w — абсолютное ускорение точки Р.
Из теоремы об изменении кинетического момента имеем следующее векторное уравнение:
нк
+ ю X Ко = ОР X Г (1.2)
Л
Первое слагаемое в левой части этого уравнения представляет собой вектор, компоненты которого равны производным по времени от проекций вектора К0 на оси жестко связанной с несущим телом системы координат Оху7.
Согласно известным [6] соотношениям из кинематики твердого тела и кинематики сложного движения точки, вектор w может быть вычислен по формуле
w = wо + ю х ОР + ю х (ю х ОР) + wr + 2ю х Vг (1.3)
где «0 — абсолютное ускорение точки О несущего тела, ( — его угловое ускорение, а \г и «г — скорость и ускорение точки Р относительно несущего тела. В системе координат Оху7 векторы (а , \г и «г задаются соответственно компонентами ¿ох, х, у, 7 и
х, у, 7', где точкой обозначено дифференцирование по времени I.
С другой стороны, из определения понятия центра масс системы следует очевидное соотношение
(т + М^ = Mw о + mw (1.4)
Из равенств (1.1), (1.3) и (1.4) получаем следующее выражение для силы, приложенной к телу со стороны точки Р:
Г = -ц[ю х ОР + ю х (ю х ОР) + wг + 2ю х Vг] (ц = тМ ) (1.5)
\ т + М!
Подставив это выражение в правую часть уравнения (1.2), получим векторное уравнение вращательного движения несущего тела относительно его центра масс. В скалярной форме оно запишется в виде системы трех уравнений
2 2
[Jx + v(y + г )]c(x - цxy(by - ^xzcoz + (Jz - Jy )®y®z + n[(x®x + yay + zcz )(y®z - z®y) +
+2(yy + zZ( - 2X(y&y + z&z) + yZ - zy] = 0 (x, y, z) (1.6)
Уравнения (1.6) должны быть дополнены кинематическими уравнениями, например, кинематическими уравнениями Эйлера или уравнениями Пуассона. Но сами уравнения (1.6) отделяются от кинематических и могут быть исследованы независимо от них.
Отметим, что динамические уравнения (1.6) допускают интеграл
K2 + к2 + K\ = K2 = const (1.7)
Величины Kx, Ky и Kz — проекции вектора кинетического момента K системы относительно ее центра масс C на оси Ox, Oy и Oz:
Kx = [Jx + ц(у2 + z2)]fflx - y - z + v(yz - zy) (x, y, z) (1.8)
В некоторых частных случаях, например, в случае плоского движения несущего тела или в случае, когда несущее тело динамически симметрично, а точка P движется вдоль его оси симметрии, можно получить [5] общее решение уравнений движения (1.6). Но такие случаи, по-видимому, являются исключительными. Поэтому целесообразно получить приближенные уравнения движения при тех или иных предположениях о характере относительного движения точки P. Эти уравнения могут оказаться более удобными для анализа вращательного движения несущего тела на конечном, но приемлемом для приложений, интервале времени.
Далее приближенные уравнения получены в двух частных случаях: 1) точка P имеет массу, малую по сравнению с массой несущего тела, а ее относительное движение быстрое, 2) на массу точки не накладывается ограничений; предполагается, что ее движение быстрое и происходит в малой окрестности заданной точки несущего тела. В обоих случаях предполагается, что относительное движение точки P — периодическое (с частотой Q) или условно-периодическое (с частотами Q1,Q2, ...,Q„).
2. Приближенные уравнения в случае быстрого относительного движения точки P малой массы. Пусть масса m точки P мала по сравнению с массой M несущего тела. Это предположение позволяет ввести в уравнения движения (1.6) малый параметр s. Определим его при помощи равенства
m = е2M (0 < е ^ 1) (2.1)
Преобразование уравнений движения. Будем считать, что величина Q велика по сравнению с величиной угловой скорости ш несущего тела (ю ~ sQ); Q — частота относительного движения точки P (в случае его периодичности) или наибольшая из частот Q1;Q2, (в случае, когда относительное движение точки условно-периодиче-
ское). Сделаем в уравнениях движения (1.6) замену переменных по формулам
т = Qt, юx = sQgx (x, y, z) (2.2)
Далее производную по безразмерной независимой переменной т обозначаем штрихом. Учитывая соотношения (2.1) и (2.2), уравнения (1.6) можно записать в виде
!ха'х + е(/? - 'у)ог + гМ{у1" - гу") + 3)
+ 2е2М[ (уу' + гг')ох - х'(уау + гог) ] +... = 0 (х, у, г)
многоточием обозначены слагаемые третьей и более высоких степеней относительно е.
Упростим уравнения (2.3), исключив из них независимую переменную т до членов порядка е2 включительно. С этой целью по алгоритму метода усреднения для систем в стандартной форме [7] построим близкую к тождественной периодическую (или условно-периодическую) замену переменных ох, оу, ог ^ цх, цу, цг, задаваемую многочленами второй степени относительно е . Вычисления показывают, что эта замена может быть задана равенствами
ох = цх + еМ (гу - у?') + О(е2) (х, у, г) (2.4)
' х
Члены второй степени относительно е здесь явно не выписаны, так как они далее не понадобятся.
В новых переменных уравнения движения (2.3) записываются в виде
-Г1
'х цх + £— - 1у)ЦуЦг ~т ХзЦу| + --- = 0 (х, у, г) (2.5)
О
'у Х„ 'г
XI = {¿у) (х, у, 2,3)
Угловыми скобками обозначено усреднение по времени, а многоточие, как и выше, обозначает совокупность слагаемых выше второй степени относительно е .
Укороченная система уравнений, получаемая из системы (2.5) отбрасыванием членов выше второй степени относительно е , будет автономной. Ее решения аппроксимируют решения системы уравнений (2.3) с погрешностью порядка е3—8 на интервале
значений т, длина которого имеет порядок £-8 (0 < 5 < 3).
Приб
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.